áp dụng hình học sơ cấp giải các bài toán nâng cao

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán nâng cao áp dụng hình hình học sơ cấp Phạm vi nghiên cứu: Chương trình Toán tiểu học hiện hành và một số đề thi học

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học với tư cách là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của thế giớihiện thực, có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản, cần thiết chođời sống, cho hoạt động lao động Đó cũng là công cụ cần thiết cho việc học các mônkhoa học khác, tiếp tục nhận thức, khám phá thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệuquả hơn trong thực tiễn Chính vì thế mà nhà toán học vĩ đại người Pháp Ganxơ đã cho

rằng “Toán học là Ông hoàng của mọi ngành khoa học”.

Một học sinh giỏi môn toán, chắc chắn khi học các môn học khác các em sẽ cónhững tư duy, lập luận chặt chẽ, lôgic, ngôn ngữ các em sử dụng chính xác hơn, nó sẽ tạođiều kiện hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác Trong môn toán tiểu học, nội dung

và phương pháp dạy các yếu tố hình học ngày càng được quan tâm Hình học là một bộphận được gắn bó mật thiết với các kiến thức về số học, đại số, đo lường và giải toán cólời văn Từ đó tạo thành bộ tạo thành bộ môn Toán thống nhất Trong chương trình toántiểu học, các yếu tố hình học được sắp xếp từ dễ đến khó, từ trực quan cụ thể đến tư duytrừu tượng, rồi đến khái quát vấn đề và đặc biệt chú trọng đến vấn đề bồi dưỡng năng lực

tư duy cho học sinh tiểu học Xuất phát từ mục tiêu dạy học Toán ở Tiểu học đã xác địnhrõ: “…Góp phần bước đầu phát triển tư duy và khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúngcách phát hiện và giải quyết các vấn đề đơn giản cần thiết trong cuộc sống, kích thích trítưởng tượng…” Từ lâu giải Toán hình học đã trở thành hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấpdẫn đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo

Muốn giải được bài toán ngoài các vấn đề khách quan khác nhau, hai vấn đề thenchốt quan trọng cần đặt ra trong việc giải toán đó là: Nhận dạng được bài toán, lựa chọn

và sử dụng phương pháp giải thích hợp Trong thực tế rất nhiều học sinh gặp khó khănkhi tiến hành giải toán là do chưa nhận diện được dạng toán và chưa nắm được các

phương pháp giải Do đó tôi chọn đề tài “Áp dụng hình học sơ cấp giải các bài toán nâng cao” nhằm đi sâu nghiên cứu hai vấn đề then chốt đó, nhất là về phương pháp giải

toán nhằm giúp cho các em giải toán được tốt hơn Trong thời gian nghiên cứ làm đề tài

do bận nhiều công việc và thời gian có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sựgóp ý của quý thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài này ngày một hoàn thiện hơn Xin chânthành cảm ơn!

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung hình học trong chương trình Toán tiểu học hiện hành

Nghiên cứu các bài toán nâng cao áp dụng hình học sơ cấp

Tìm hiểu các dạng toán cơ bản áp dụng hình hình học sơ cấp đồng thời đưa ra phươngpháp giải hợp lí

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán nâng cao áp dụng hình hình học sơ cấp

Phạm vi nghiên cứu: Chương trình Toán tiểu học hiện hành và một số đề thi học sinh giỏicác tỉnh, thành phố

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến nội dungcác bài toán áp dụng hình học sơ cấp trong chương trình Toán tiểu học từ đó tiến hànhphân tích làm rõ vấn đề

- Phương pháp tư duy toán học logic: sử dụng cách lập luận suy luận logic hợp lí để giảicác bài toán nâng cao có liên quan

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN ĐỀ TÀI

1.1 Nội dung và mục tiêu dạy học phần hình học sơ cấp trong chương trình Toán Tiểu học

+ Nhận ra hình vuông, hình tamgiác, hình tròn ở những vị trí khácnhau

+ Tham gia các hoạt động xếp,ghép hình

- Nhận biết bước đầu về điểm, đoạnthẳng

- Biết nối hai điểm để có đoạn thẳng

- Nhận biết bước đầu về điểm ởtrong, điểm ở ngoài một hình

- Biết vẽ đoạn thẳng có độ dàikhông quá 10cm

tứ giác, hình vuông là hình chữ nhật), đường thẳng, đường gấp

trên giấy ô vuông

- Khái niệm ban đầu về chu vi

của một số hình đơn giản Tínhchu vi hình tam giác, hình tứ giác

khúc

- Biết tính độ dài đường gấp khúc khi cho sẵn độ dài mỗi đoạn thẳng của nó, tính chu vi hình tam giác, hình tứ giác khi cho sẵn độ dài mỗicạnh của nó

3 - Góc vuông, góc không vuông

Giới thiệu ê ke Vẽ góc bằng thước thẳng và ê ke

- Giới thiệu đỉnh, góc, cạnh của

hình đã học; giới thiệu một số đặc điểm của hình chữ nhật, hình vuông

- Chu vi hình chữ nhật, hình

vuông

- Giới thiệu compa Tâm, bán

kính và đường kính của hình tròn Vẽ hình tròn bằng compa

- Diện tích hình chữ nhật và diện

tích hình vuông

- Nhận biết một số đặc điểm của một số hình: góc vuông, góc khôngvuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn (có tâm, bán kính, đườngkính)

- Biết tính chu vi diện tích hình chữ nhật, hình vuông

- Thực hành xác định tính chất hình học mỗi hình bằng ê ke, compa

- Biết vẽ: đường cao của hình tam giác; hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, hình chữ nhật, hình vuông khi biết độ dài các cạnh

- Biết tính chu vi, diện tích của hình bình hành, hình thoi

- Thể tích của một hình

- Thể tích của hình hộp chữ nhật,

hình lập phương

- Giới thiệu hình trụ, hình cầu

- Nhận biết được hình thang, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình trụ, hình cầu và một số dạng của hình tam giác

- Biết tính chu vi, diện tích hình tamgiác, hình thang, hình tròn

- Biết tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương

1.2 Các dạng toán hình học của chương trình Toán Tiểu học

1.2.1 Dạng toán nhận dạng các hình hình học

Nội dung:

Cho các hình hình học cùng với các điều kiện nào đấy (có thể cho bằng hình vẽ hoặc bằng đồ vật), yêu cầu học sinh:

- Tô màu hoặc chỉ ra một loại hình hình học nào đó

- Đếm số các hình hình học nào đó được tạo thành

- Gọi tên các hình hình học nào đó

Phương pháp giải:

Để giải các bài toán về nhận dạng các hình hình học, ta tiến hành các bước sau:

- Xác định yêu cầu của bài toán là nhận dạng các hình dựa vào hình dạng hay đặc điểm của hình

- Nhớ lại định nghĩa các hình liên quan tới bài toán và đặc điểm của các hình đó

- Sử dụng một số phương pháp đếm thường sử dụng:

1 Đếm trực tiếp trên hình vẽ hoặc trên đồ vật

2 Sử dụng sơ đồ để đếm rồi khái quát thành công thức tính số hình cần nhận dạng

3 Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết

4 Sử dụng phương pháp suy luận lôgic

Ví dụ: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm bất kì E và F không trùng với hai đỉnh B, C Nối đỉnh A với các điểm E và F bằng các đoạn thẳng Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

E F

F C C C

Cách 2: Phương pháp suy luận lôgic

Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút của một đoạn thẳng bất kì trên BC bằng hai đoạn thẳng ta sẽ được 1 tam giác Do đó để xác định số tam giác được tạo thành ta chỉ cần đếm số đoạn thẳng được tạo thành trên cạnh BC

Cho trước một hoặc một số hình hình học Học sinh cần cắt hình đã cho thành những hình đã học, hoặc cắt hình đã cho thành những mảnh rời rồi ghép những mảnh rời đó thành những hình đã học thỏa mãn yêu cầu nào đấy.

Phương pháp giải:

Bài toán cắt, ghép hình cũng là bài toán biến đổi hình dạng các hình hình học, đây là một trong những bài toán khó ở bậc tiểu học Để giải bài toán này, ta có thể tiến hành các bước sau:

- Nhớ lại định nghĩa và một số tính chất của các hình hình học có liên quan

- Xác định dữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện

- Thiết lập mối quan hệ giữa dữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện

- Xác định phương pháp cắt, ghép hình thỏa mãn bài toán

Ví dụ 1: Hãy cắt một hình chữ nhật có chiều dài 16cm, chiều rộng 9cm thành 2 mảnh sao cho khi ghép lại ta được một hình vuông

( Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1992 – 1993) Hướng dẫn:

Bước 1: Theo bài toán, hình chữ nhật đã cho có diện tích:

16 x 9 = 144 (cm2)

Vì 144 = 12 x 12, nên hình vuông cần tìm có cạnh 12 cm

Bước 2: Để có hình vuông cần tìm, ta cần giảm chiều dài hình chữ nhật 4cm và tăngchiều rộng của hình chữ nhật 3cm

Bước 3: Cắt hình chữ nhật đã cho ABCD dọc theo đường gấp khúc EFGHLM sao cho

BE = 12cm, các đoạn song song với chiều dài dài 4cm (Hình 1)

Hình 1

Bước 4: Ghép 2 mảnh vừa cắt trên thành hình vuông

B

L H

G F

A

D

C E

M

Ví dụ 2:Một tấm bìa hình thang có đáy lớn dài gấp 3 lần đáy nhỏ Hãy cắt tấm bìa đó bằng hai nhát cắt thành 3 mảnh sao cho khi ghép lại được 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn:

Bước 1:

Gọi S là diện tích, h là chiều cao của hình thang (Hình 2)

Diện tích của hình thang ABCD là:

3 2

Để giải bài toán “Vẽ một nét liền” ta tiến hành các bước sau:

 Dựa vào nguyên tắc của “Hành trình Ơle”: Nếu trên đó xuất phát từ một điểm bất

kì đi theo chiều nào cũng được đi qua tất cả các cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần

 Một đỉnh được gọi là chẵn, nếu số cạnh xuất phát hay tận cùng đỉnh đó là một số chẵn Một đỉnh được gọi là lẽ, nếu số cạnh xuất phát hay tận cùng đỉnh đó là một

số lẽ

 Nếu một đồ thị liên thông có số đỉnh lẻ là 0 hoặc 2 thì đồ thị đó là một hành trình Ơle: nếu đồ thị có số đỉnh lẻ là 0, thì xuất phát từ một điểm bất kì đều đi qua tất cả các cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần, rồi quay về điểm xuất phát; còn nếu đồ thị có đỉnh lẻ là 2 thì phải xuất phát từ một trong hai đỉnh lẻ cũng đi qua tất cả các cạnh và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần, rồi quay về đỉnh lẻ còn lại

 Quan sát hình vẽ và đếm số đỉnh lẻ, nếu trên hình vẽ không có đỉnh lẻ thì bao giờ cũng vẽ được bằng một nét liền và điểm đầu, điểm cuối của nét vẽ trùng nhau.

 Nếu trên hình vẽ chỉ có hai đỉnh lẻ thì bao giờ cũng vẽ được bằng một nét liền, nhưng phải xuất phát từ một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ còn lại

 Nếu trên hình vẽ số đỉnh lẽ là số chẵn khác 2 thì không thể vẽ được bằng một nét liền.Ví dụ 1: Hãy vẽ hình bên bằng một nét liền, không rời bút khỏi giấy và không

tô hai lần một đường

C E

 Bước 2: Thực hành vẽ như sau:

Xuất phát từ một trong hai đỉnh lẻ, chẳng hạn đỉnh A, kết thúc nét vẽ tại đỉnh B

Ví dụ 2: “Bài toán 7 chiếc cầu” (ở Kownibe) của Ơle.

A

B

Hình 5

Hướng dẫn: Quan sát hình vẽ và đếm số đỉnh lẻ, ta thấy hình vẽ có tới 4 đỉnh lẻ là A, B,

C, D Do đó không thể vẽ hình 5 bằng một nét liền không rời bút khỏi tờ giấy và không tôhai lần một đường Từ đó suy ra, không thể bắt đầu bằng bất kì điểm nào để đi một vòng theo chiều đó qua được cả 7 chiếc cầu và chỉ qua một lần sau đó trở về lại điểm xuất phát

1.2.4 Dạng toán dùng đoạn thẳng xếp thành các hình hình học.

Nội dung: Cho một số đoạn thẳng Yêu cầu xếp các đoạn thẳng đó thành những hình hình

học thỏa mãn những điều kiện nào đấy

Phương pháp giải:

Để giải bài toán ta thực hiện như sau:

 Xếp rời: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm bằng số hình cần xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của hình cần xếp Bằng phương pháp xếp rời các hình xếp được có các cạnh hoàn toàn khác nhau

 Xếp giao: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm ít hơn số hình cần xếp), số đoạn thẳng trong mỗi nhóm bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của hình cần xếp Sau đó chuyển dịch các hình vừa xếp được cho đến khi chúng giao nhau và phần giao của chúng cũng tạo thành hình cần xếp Bằng phương pháp xếp giao một số hình trong số các hình xếp được phải mượn cạnh của hình khác

 Xếp ghép: Chia số đoạn thẳng đã cho thành các nhóm (số nhóm bằng số hình cần xếp), có ít nhất một nhóm có số đoạn thẳng bằng số tự nhiên chia hết cho số cạnh của hình cần xếp Bằng phương pháp xếp ghép một hình trong số các hình xếp được phải mượn cạnh của hình khác

 Kết hợp xếp giao và xếp ghép

Ví dụ 1: Hãy xếp 6 que diêm thành 4 hình tam giác

Hướng dẫn:

Bước 1: Quan sát và nhận xét: Mỗi hình tam giác có 3 cạnh, tổng số que diêm tạo thành

cả 4 hình tam giác phải bằng 6

Bước 2: Vì 6 = 3 + 3, nên chia 6 que diêm thành 2 nhóm, mỗi nhóm đều có 3 que diêm Theo bài toán, cần xếp 6 que thành 4 hình tam giác nên mỗi que là cạnh chung của hai tam giác Do đó ta áp dụng phương pháp xếp ghép.

Bước 3: Xếp hình (Hình 6)

Hình 6

Ví dụ 2: Cần ít nhất bao nhiêu điểm để có các đỉnh của 4 hình tam giác

(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1983 – 1984) Hướng dẫn:

Với 3 điểm ta chỉ vẽ được đúng một hình tam giác Do đó để có các đỉnh của 4 hình tam giác phải có ít nhất 4 điểm Với 4 điểm A, B, C, D (mà không có điểm nào thẳng hàng) ta

vẽ được 4 hình tam giác (Hình 7)

Vậy để có các đỉnh của 4 hình tam giác cần có ít nhất 4 điểm

1.2.5 Dạng toán chia một hình hình học theo yêu cầu cho trước

Nội dung: Cho một hình hình học (có thể kèm theo một hay một số điều kiện) Chia hình

đó theo yêu cầu bài toán

Phương pháp giải:

Để giải bài toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đấy ta tiến hành các bước sau:

- Giả sử hình hình học đã được chia theo yêu cầu bài toán

- Quan sát và tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện đã cho và điều cần tìm

Ví dụ: Một sợi dây dài 1

1

3 m Hãy cắt một đoạn dây 0,5m mà không dùng thước

Hướng dẫn: Tỉ số giữa đoạn dây cần cắt và đoạn dây đã có là:

Từ đó suy ra cách cắt sợi dây như sau: Gấp đôi sợi dây rồi gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp, lại gấp đôi tiếp sợi dây vừa gấp, lại gấp đôi sợi dây vưa gấp thêm lần nữa Bằng cách đó, sợi dây được chia thành 8 phần bằng nhau Lấy ra 3 phần từ phía đầu sợi dây, thì đoạn dây đó dài 0,5 m

1.2.6 Dạng toán tính chu vi và diện tích các hình

Nội dung: Bài toán cho trước dữ kiện yêu cầu vận dụng công thức tính chu vi và diện tích

thích hợp

Phương pháp giải:

- Nắm chắc công thức tính chu vi và diện tích các hình

- Tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện và yêu cầu bài toán

Ví dụ 1: Nhà em có một thửa ruộng hình thang vuông: đáy lớn 60 m, đáy bé 30 m, cạnh bên (cũng là chiều cao) AD dài 40 m

Năm nay, xã đào một con kênh rộng 8 m chạy dọc theo đáy lớn Hãy tính diện tích còn lại của thửa ruộng

Hướng dẫn: Con kênh lấy mất của thửa ruộng khoảng đất hình thang vuông CDHE

Muốn tính được SABHE ta cần tính được EH Muốn được chiều cao EH của tam giác ADE

ta cần tính được diện tích tam giác đó

Bây giờ ta tính SADE : (60+30) X 40

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán

- Tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện và yêu cầu cần tìm

- Áp dụng công thức tính diện tích, thể tích để tính.

Ví dụ 1: Một thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật có kích thước 2,5m x 1,8m x 2m có nắp Người thợ cần bao nhiêu kg sơn để sơn đủ hai mặt chiếc thùng đó? Biết rằng mỗi

ki – lô – gam sơn sơn được 5m2 mặt thùng

1,8m 2,5m

1 Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD

lấy N sao cho NC =

SAMN = SABCD – SADN – SABM – SMCN = SABCD –

Từ (1) và (2) suy ra: SMCN = SADN.

2 Cho hình chữ nhật ABCD, trên AB lấy trung điểm E, trên AD lấy trung điểm G Nối

B với G, C với E chúng cắt nhau tại O Biết diện tích hình tam giác OBE là 8 cm2 Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

(Đề thi HS giỏi trường Nguyễn Trọng Nghĩa – Quảng Nam) Hướng dẫn:

4 chiều cao hạ từ C xuống GB

Ta thấy hai tam giác OBE và OBC có chung cạnh OB và chiều cao hạ từ E xuống OB

3 Cho hình thang ABCD, có AB =

Vậy để diện tích hình thang MNBC gấp 3 lần diện tích hình thang MNAD thì N phải

cách A một đoạn bằng 1 cm

4 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 3m, chiều dài gấp 6 lần chiều rộng Hỏi

phải tăng chiều rộng lên bao nhiêu mét để được một hình chữ nhật có cùng diện tích như

hình ban đầu nhưng chiều dài chỉ gấp rưỡi chiều rộng?

( Đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1994 – 1995 ) Hướng dẫn:

Chiều dài lúc đầu là:

EF Gọi diện tích hình vuông AEFD là S1, diện tích hình chữ nhật EBCF là S2

Vì AE = 2EB nên S1 = 2S2 Ta có:

S2 + S1 = 54 (m2)

S2 = 54 : (2 +1) = 18 (m2)

S1 = 36 (m2)

Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh của hình vuông AEFD là 6m Đó cũng là chiều rộng của hình chữ

nhật lúc sau Do đó chiều dài của hình chữ nhật lúc sau là:

F

5 Bằng các miếng nhựa hình vuông có cạnh 1 cm, bạn An đã ghép được 2 hình vuông

mà hiệu diện tích của chúng là 23cm2 Hỏi bạn An đã dùng tất cả bao nhiêu miếng nhựa

để ghép được hai hình vuông đó ?

(Đề thi HS giỏi khối 5 Tp Đà Nẵng năm 2009) Hướng dẫn:

Giả sử bạn An ghép được 2 hình vuông ABCD và AEFG, cạnh AB = a, AE = b