Cđ13 tứ giác nội tiếp

MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tiêu chuẩn Điều kiện cần đủ để bốn đỉnh tứ giác lồi nằm đường trịn tổng số đo hai góc tứ giác hai đỉnh đối diện A D B C Điều kiện để tứ giác lồi x nội tiếp là: Hệ quả: Tứ giác nội tiếp Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác vuông Kẻ đường cao phân giác góc Phân giác góc cắt Chứng minh rằng: Phân tích hướng dẫn giải: Ta có Nếu tứ giác nội tiếp Vì thay trực tiếp góc ta chứng minh B tứ giác A M H N nội tiếp Tức ta chứng minh Thật ta có , từ suy C D mà phụ với góc hay tứ giác nội tiếp Ví dụ 2: Cho tam giác có góc nhọn nội tiếp đường trịn có trực tâm điểm Gọi điểm dây cung không chứa điểm ( khác ) Gọi theo thứ tự điểm đối xứng qua đường thẳng a) Chứng minh tứ giác nội tiếp b) thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm để độ dài đoạn lớn Phân tích hướng dẫn giải: A P I H N B O C K M a) Giả sử đường cao tam giác Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta chứng minh Mặt khác ta có ( đối đỉnh), ( tính đối xứng góc nội tiếp chắn cung) Như ta cần chứng minh điều hiển nhiên tứ giác tứ giác nội tiếp b) Để chứng minh thẳng hàng ta chứng minh ta tìm cách quy hai góc góc đối tứ giác nội tiếp Thật ta có: (tính chất góc nội tiếp), (1) (Tính chất đối xứng) Ta thấy vai trò tứ giác giống với nên ta dễ chứng minh tứ giác nội tiếp từ suy , mặt khác (2) (Tính chất đối xứng) Từ (1), (2) ta suy cần chứng minh điều hiển nhiên tứ giác nội tiếp Vậy hay thẳng hàng Chú ý: Đường thẳng qua đường thẳng Steiners điểm Thơng qua toán em học sinh cần nhớ tính chất Đường thẳng Steiners tam giác qua trực tâm tam giác (Xem thêm phần “Các định lý hình học tiếng’’) c) Ta có Mặt khác ta có nên điểm thuộc đường trịn tâm bán kính Áp dụng định lý sin tam giác ta có: Như lớn lớn Hay đường kính đường trịn Ví dụ 3: Cho tam giác đường cao gọi trung điểm Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tứ giác nội tiếp vàA qua trung điểm Phân tích, định hướng cách giải: Để chứng minh I N M tứ giác nội tiếp ta chứng minh: E Ta cần tìm liên hệ góc với góc có sẵn B K H C tứ giác nội tiếp khác Ta có suy giác nội tiếp Hay tứ giác tứ Kẻ , giả sử cắt cát tuyến hai đường trịn , Lại có (Tính chất trung tuyến tam giác vuông) Suy tam giác cân ln qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Hay tiếp tuyến suy , tương tự ta có tiếp tuyến suy Xem thêm phần: ‘’Các tính chất cát tuyến tiếp tuyến’’ Ví dụ 4) Cho tam giác cân điểm cạnh đáy Kẻ đường thẳng song song với gọi điểm đối xứng với Chứng minh bốn điểm qua thuộc đường trịn A Phân tích định hướng giải: D Bài tốn có giả thiết cần lưu ý I Đó đường thẳng song song E với cạnh tam giác , điểm đối xứng với qua Do ta có: B P ( Đây chìa khóa để ta giải tốn này) Từ định hướng ta có lời giải sau: Do hình bình hành Mặt khác đối xứng qua Suy hình thang cân Kéo dài cắt Q H C ta có Như để chứng minh nội tiếp ta cần chứng minh: tứ giác nội tiếp Mặt khác ta có: (do tam giác ) suy cân), (Do tính đối xứng tứ giác nội tiếp Ví dụ 5) Cho tam giác nội tiếp đường trịn Dựng đường tròn qua tiếp xúc với cạnh dựng đường tròn qua tiếp xúc với hai đường tròn cắt Chứng minh Phân tích định hướng giải: Ta thấy điểm nằm đường trịn A đường kính Ta mong muốn tìm góc N M Điều làm ta nghỉ đến tính chất O quen thuộc ‘’Đường kính qua trung D điểm dây cung vng góc C B với dây đó’’ Vì ta gọi trung điểm ta có: Do tứ giác nội tiếp Cơng việc cịn lại ta chứng minh tứ giác nội tiếp Mặt khác ta có: (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) đồng dạng nên ta suy nội tiếp suy năm điểm nằm đường trịn đường kính Ví dụ 6: Cho tam giác tiếp xúc với giác vng cân đường trịn Trên cung nằm tam lấy điểm Gọi hình chiếu giao điểm giao điểm với Chứng minh Phân tích định hướng giải: A Để chứng minh ta chứng minh với H K M P B Q C tứ giác nội tiếp nên Mặt khác tiếp tuyến ta có: nên nội tiếp nên Như để chứng minh cần chứng minh ta Tức ta cần chứng minh tứ giác nội tiếp Để ý , suy đpcm.(Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải) Tiêu chuẩn 2: Tứ giác nội tiếp A D O B C Ví dụ Trên cạnh hình vng ta lấy B A điểm cho Đường thẳng P cắt đường thẳng tương ứng điểm M a) Chứng minh tứ giác nội tiếp b) Chứng minh điểm nằm Q đường tròn Lời giải: a) Gọi giao điểm Các điểm nằm hai cạnh tam giác , nên tứ giác lồi Các đỉnh nhìn đoạn thẳng góc Vì tứ giác nội tiếp D N C E Lập luận tương tự ta suy tứ giác nội tiếp b) Từ kết câu a, suy Tập hợp điểm nhìn đoạn góc vng, nên điểm nằm đường trịn đường kính Ví dụ 2) Cho điểm thuộc cung nhỏ đường trịn Một đường thẳng ngồi vng góc với cắt Chứng minh thuộc đường trịn Lời giải: Kẻ đường kính cắt Ta có giác Mặt khác Vậy nội tiếp, suy ; nên tứ A , hay thuộc đường tròn O C B M N E D Ví dụ 3) Cho tam giác có đường cao đồng quy Gọi giao điểm , trung điểm Chứng minh trực tâm tam giác A Lời giải: M E Lấy điểm đối xứng với qua R K , giao điểm với F Vì (Tính chất trung H tuyến), kết hợp tính đối xứng điểm B ta có D nên tứ giác nội tiếp Suy S C (1) Lại có nên tứ giác (2).Từ (1) (2) suy nội tiếp, nên tứ giác nội tiếp Từ suy Trong tam giác , ta có nên trực tâm tam giác Ví dụ 4) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm Đường tròn tiếp xúc với cạnh tiếp xúc với Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tứ giác nội tiếp Lời giải: A Nhận xét: toán thực chất M định lý Lyness phát biểu theo cách khác;(Xem thêm phần: N ‘’Các định lý hình học tiếng’’) O Kéo dài cắt đường trịn I E F Ta có tam giác O' cân nên C B điểm cung S x Kẻ đường phân giác góc cắt , ta chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác Thật ta có: thẳng hàng và nên tứ giác Mặt khác tứ giác tứ giác nội tiếp nội tiếp nên hay tứ giác nội tiếp Cơng việc cịn lại chứng minh: phân giác góc Vì mà Điều chứng tỏ phân giác góc vịng trịn nội tiếp tam giác Hay tâm Chú ý: Nếu thay giả thiết điểm tâm vòng tròn nội tiếp tam giác thành Các đường trịn ngoại tiếp tam giác cắt hình thức tốn khác chất định lý Lyness Để ý rằng: cân nên ta dễ dàng suy được: trung điểm Ví dụ 5) Cho hai đường trịn tiếp xúc ngồi với Kẻ đường thẳng cắt hai đường tròn ( tiếp điểm ) Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn với tiếp điểm tương ứng Đường thẳng tiếp tuyến với qua Đường thẳng cắt cắt , Chứng minh Phân tích định hướng giải: Δ + Vì góc D1 góc nội tiếp chắn đường trịn Vì để chứng minh ta phải chứng minh , tức A O1 ta chứng minh trực tâm tam giác Khi ta có: hay tứ giác + Gọi cắtM N I D2 Δ' H B O2 C tứ giác nội tiếp giao điểm Xét tiếp tuyến chung Khi ta có: E qua vng (cùng vng góc với ) Do cắt , (Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung), mặt khác trong) Suy (so le tứ giác nội tiếp (1) Xét tứ giác ta có: Suy suy tứ giác ( góc đồng vị) hình thang cân nên nội tiếp (2) Từ (1), (2) ta suy điểm thuộc đường tròn Suy tứ giác nội tiếp Ví dụ 6) Cho tam giác có hai đường cao cắt gọi trung điểm Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt , cắt Chứng minh tứ giác nội tiếp Phân tích định hướng giải: Ta thấy đường trịn ngoại tiếp tam giác cắt điểm (Định lý Miquel) Như ta thấy tứ giác nội tiếp, mặt khác từ giả thiết ta có: tứ giác nội tiếp Nên suy điểm thuộc đường trịn đường kính Đây chìa khóa để giải tốn Lời giải: Trước tiên ta chứngAminh: tứ giác nội tiếp (Bạn đọc tham khảo phần ‘’Các định lý hình học tiếng’’) Ta có: Theo giả thiết giác nội tiếp , nội tiếp tứ giác Kết E hợp với K H tam giác vuông nên tiếp nên ta có: M B góc ngồi ), (chắn cung tứ D ) thẳng hàng , tứ giác nội I (Tính chất C mà tứ giác nội tiếp Theo kết suy nằm đường tròn đường kính thẳng hàng Tứ giác nội tiếp tiếp nội tiếp Ví dụ 7) Cho hai đường trịn , tứ giác nội tứ giác cắt Kéo dài phía với đường trịn ( lấy điểm tiếp điểm) điểm qua kẻ hai tiếp tuyến Q A I nằm phía so với Đường thẳng cắt đường tròn tạiO gọi giao P O1 điểm Chứng minh Flà trung điểm B Phân tích định hướng giải: E M Để ý rằng: Đường thẳng lượt cắt ba cạnh tam giác lần Theo định lý Menelauyt ta có: chứng minh trung điểm Để ta chứng minh: Bây ta tìm cách thay đại lượng (*) thành đại lượng tương đương để thơng qua ta quy việc chứng minh tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng Xét đường tròn với cát tuyến hai tiếp tuyến Ta có tính chất quen thuộc: (Xem phần chùm tập cát tuyến tiếp tuyến) Từ suy thay vào (*) ta quy toán chứng minh: góc nội tiếp chắn cung ta có: (tứ giác nội tiếp) Qua ta có kết cần chứng minh: Các em học sinh tự hồn chỉnh lời giải dựa phân tích định hướng mà tác giải vừa trình bày Nếu khơng dùng định lý Menaleuyt ta giải theo khác sau: Vì tiếp tuyến đường trịn nên ta có: (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Suy đồng dạng đồng Tương tự ta có: dạng suy (1) , mặt khác (do tứ giác (chắn cung mà ) nội tiếp) Suy tứ giác nội tiếp, suy suy , , ta có: đồng dạng suy Tương tự ta chứng minh được: (2) đồng dạng suy (3).Từ (1), (2), (3) suy Ví dụ 8) Cho tam giác Đường tròn qua cắt theo thứ tự Đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác cắt Chứng minh hình bình hành từ suy vng B x Phân tích định hướng giải: M Để chứng minh hình bình hành ta chứng minh N J Q K Mặt khác dễ thấy trung I trực nên Ta cần chứng minh , O việc tìm liên hệ trực tiếp tương A C đối khó ta nghỉ đến hướng tạo đường thẳng ‘’đặc biệt’’ vng góc với sau chứng minh đường thẳng song song với từ ta nghỉ đến dựng tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi ta có : (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây) Mặt khác nội tiếp Từ suy Tương tự: Từ kẻ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp , chứng minh ta có: tứ giác hình bình hành Gọi giao điểm , trung trực (Tính chất đường nối tâm hai đường tròn cắt nhau) tam giác vng Ví dụ 9) Cho hai đường tròn (đường tròn đường tròn qua nằm trong) Hai điểm qua kẻ tiếp tuyến với kẻ tiếp tuyến với cắt tiếp xúc thuộc cắt tại Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm Phân tích định hướng giải: Vì giả thiết hai đường trịn tiếp xúc với Anhau điểm nên ta nghỉ đến việc tiếp tuyến chung B E để tận dụng yếu tố góc: Bài tốn làm ta nghỉ đến định lý Lyness tiếng O1 ( Xem thêm phần định lý P hình học tiếng I Q (Định lý Lyness mở rộng) O2 tínhchất quen thuộc liên quan đến D C chứng minh định lý là: M x phân giác góc , kéo dài cắt trung điểm … Từ định hướng ta suy cách giải cho toán sau: + Dựng tiếp tuyến chung hai đường trịn ta có: , mà (tính chất góc ngồi tam giác), phân giác giao điểm với , gọi trung điểm phân giác + Gọi giao điểm ta cần chứng minh phân giác củan Mặt khác tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ta có: (Tính chất quen thuộc liên quan đến tâm vòng tròn nội tiếp, bạn đọc xem thêm phần ‘’góc ‘’ phần đầu ) + Ta có nội tiếp suy mà (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) suy đồng dạng Tương tự ta chứng minh đồng dạng với tứ giác nội tiếp tâm đường tròn nội tiếp + Tương tự, tâm đường tròn nội tiếp nằm Nhận xét: Đối với tốn có giả thiết hai đường trịn tiếp xúc với việc kẻ tiếp tuyến chung để suy góc từ phát tứ giác nội tiếp hướng quan trọng để giải tốn Ví dụ 10) Cho tam giác vuông tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt cạnh kéo dài gọi điểm đối xứng qua , hình chiếu Gọi trung điểm đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác Phân tích định hướng giải: A K I B O D C M H E Để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn thơng thường ta chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính tiếp điểm Muốn làm điều điều kiện cần phải xác định rõ tâm đường tròn Nhưng việc làm khơng dễ tâm đường trịn khơng phải điểm đặc biệt Để khắc phục khó khăn ta thường chọn cách chứng minh theo tính chất góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung Trở lại toán: Để chứng minh tiếp tuyến đường tròn ta phải chứng minh: + Vì điểm đối xứng qua tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Theo giả thiết nên nằm đường tròn ; (1) Mặt khác, (chắn cung ); (2) + Từ (1) (2) suy bốn điểm nằm đường tròn tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác B Tiêu chuẩn 3) Cho hai đường thẳng cắt điểm Trên hai đường thẳng lấy điểm C A điểm thuộcBmột đường tròn O A M M C D D Ví dụ 1) Cho đường trịn tâm đường kính đường thẳng nằm ngồi đường trịn vng góc với Kẻ cát tuyến với đường trịn , cắt Chứng minh nội tiếp được: Phân tích định hướng giải: A O B Δ Vì N M E tứC giác D nội tiếp , suy (1) Tương góc nội tiếp, từ suy ta có: Ví dụ 2) Cho tam giác cân hay tứ giác (2) Kết hợp (1), (2) tứ giác nội tiếp có đường cao Gọi theo thứ tự trung điểm đoạn Tia cắt cạnh Chứng minh tứ giác nội tiếp A Giải: Do tam giác cân nên mặt khác tứ giác nội tiếp K D Vì , ta có (Tính chất tứ giác nội tiếp) suy tứ giác nội tiếp Ta có: mà Ví dụ 3) Cho tứ giác lồi có giao điểm đường chéo Đường phân giác góc cắt Giả sử Chứng minh Phân tích định hướng giải: K A Ta gọi B M giao điểm phân giác ta có: thức D N theo tính chất đường C thay vào biểu ta có: Do nằm tứ giác tứ giác nội tiếp nên theo tiêu chuẩn ta có: Theo tiêu chuẩn ta có: tứ giác nội tiếp Suy Ví dụ 4) Cho tam giác Đường tròn qua cắt theo thứ tự Đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác cắt Chứng minh vuông (IMO 1985) Phân tích định hướng giải: Gọi giao điểm đường thẳng Ta có nên điểm nằm đường trịn Ngồi ta có (do tứ giác nội tiếp) nên ta suy điểm nằm đoạn Gọi bán kính đường trịn Ta có: cộng vế hai đẳng thức ta thu được: Khi ta có: Từ suy B M K N O A C P Chú ý: Để chứng minh ta dùng kết quả: Cho tam giác điểm nằm cạnh Khi đường cao Thật vậy: Nếu đường cao ta ln có: (Theo định lý Pitago) Ngược lại: Nếu ta có: (*), gọi điểm Từ ta có: cho hay suy điều phải chứng minh: Bạn đọc tham khảo cách giải khác ví dụ Dấu hiệu ... cung tứ D ) thẳng hàng , tứ giác nội I (Tính chất C mà tứ giác nội tiếp Theo kết suy nằm đường trịn đường kính thẳng hàng Tứ giác nội tiếp tiếp nội tiếp Ví dụ 7) Cho hai đường tròn , tứ giác nội. .. D nên tứ giác nội tiếp Suy S C (1) Lại có nên tứ giác (2).Từ (1) (2) suy nội tiếp, nên tứ giác nội tiếp Từ suy Trong tam giác , ta có nên trực tâm tam giác Ví dụ 4) Cho tam giác nội tiếp đường... tam giác O'' cân nên C B điểm cung S x Kẻ đường phân giác góc cắt , ta chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác Thật ta có: thẳng hàng và nên tứ giác Mặt khác tứ giác tứ giác nội tiếp nội tiếp