Cđ11 tứ giác nội tiếp

Chuyên đề 11: Tứ giác nội tiếp MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tiêu chuẩn Điều kiện cần đủ để bốn đỉnh tứ giác lồi nằm đường tròn tổng số đo hai góc tứ giác hai đỉnh đối diện A D B C Điều kiện để tứ giác lồi Hệ quả: Tứ giác x nội tiếp là: nội tiếp Bài tập 1: Cho tam giác vuông Kẻ đường cao phân giác góc Phân giác góc Chứng minh rằng: cắt Phân tích hướng dẫn giải: Ta có Nếu tứ giác A nội tiếp Vì thay trực tiếp góc ta chứng minh M B H tứ giác nội tiếp Tức ta chứng minh Thật ta có , N C D mà từ suy phụ với góc hay tứ giác nội tiếp Bài tập 2: Cho tam giác có góc nhọn nội tiếp đường trịn có trực tâm điểm Gọi điểm dây cung không chứa điểm ( khác ) Gọi theo thứ tự điểm đối xứng qua đường thẳng a) Chứng minh b) tứ giác nội tiếp thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm để độ dài đoạn lớn Phân tích hướng dẫn giải: A P I H N B O C K M a) Giả sử đường cao tam giác Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta chứng minh Mặt khác ta có ( đối đỉnh), ( tính đối xứng góc nội tiếp chắn cung) Như ta cần chứng minh điều hiển nhiên tứ giác tứ giác nội tiếp b) Để chứng minh thẳng hàng ta chứng minh ta tìm cách quy hai góc góc đối tứ giác nội tiếp Thật ta có: (tính chất góc nội tiếp), (1) (Tính chất đối xứng) Ta thấy vai trò tứ giác giống với nên ta dễ chứng minh tứ giác nội tiếp từ suy , mặt khác (2) (Tính chất đối xứng) Từ (1), (2) ta suy cần chứng minh điều hiển nhiên tứ giác nội tiếp Vậy hay thẳng hàng Chú ý: Đường thẳng qua đường thẳng Steiners điểm Thơng qua tốn em học sinh cần nhớ tính chất Đường thẳng Steiners tam giác qua trực tâm tam giác (Xem thêm phần “Các định lý hình học tiếng’’) c) Ta có kính Mặt khác ta có nên điểm thuộc đường trịn tâm bán Áp dụng định lý sin tam giác ta có: Như lớn lớn Hay đường kính đường trịn Bài tập 3: Cho tam giác đường cao gọi lầ n lượt trung điểm Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tứ giác nội tiếp qua trung điểm A Phân tích, định hướng cách giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta I M N E B K H C chứng minh: Ta cần tìm liên hệ góc với góc có sẵn tứ giác nội tiếp khác Ta có suy giác nội tiếp Hay tứ giác tứ Kẻ , giả sử cắt cát tuyến hai đường trịn , Lại có (Tính chất trung tuyến tam giác vuông) Suy tam giác cân ln qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Hay tiếp tuyến suy , tương tự ta có tiếp tuyến suy Xem thêm phần: ‘’Các tính chất cát tuyến tiếp tuyến’’ Bài tập 4) Cho tam giác cân đáy Kẻ đường thẳng gọi điểm cạnh song song với điểm đối xứng với Chứng minh bốn điểm A Bài toán có giả thiết cần lưu ý D Đó đường thẳng song song Q I với cạnh tam giác , điểm qua thuộc đường trịn Phân tích định hướng giải: đối xứng với qua E H B P C Do ta có: ( Đây chìa khóa để ta giải tốn này) Từ định hướng ta có lời giải sau: Do hình bình hành Mặt khác Suy Kéo dài cắt chứng minh đối xứng qua hình thang cân ta có Như để nội tiếp ta cần chứng minh: tứ giác nội tiếp Mặt khác ta có: (do tam giác suy cân), (Do tính đối xứng ) tứ giác nội tiếp Bài tập 5) Cho tam giác nội tiếp đường tròn Dựng đường tròn qua tiếp xúc với cạnh dựng đường tròn qua tiếp xúc với hai đường tròn cắt Chứng minh Phân tích định hướng giải: Ta thấy điểm A nằm đường trịn đường kính Ta mong muốn tìm góc Điều làm ta nghỉ đến tính chất N M O D B C quen thuộc ‘’Đường kính qua trung điểm dây cung vng góc với dây đó’’ Vì ta gọi trung điểm ta có: Do tứ giác nội tiếp Cơng việc cịn lại ta chứng minh tứ giác nội tiếp Mặt khác ta có: (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) đồng dạng nên ta suy nội tiếp suy năm điểm nằm đường trịn đường kính Bài tập 6: Cho tam giác tiếp xúc với vuông cân đường tròn Trên cung nằm tam giác lấy điểm Gọi hình chiếu giao điểm với giao điểm với Chứng minh Phân tích định hướng giải: Để chứng minh A ta chứng minh H tứ giác nên nội tiếp M Q P Mặt khác tiếp tuyến K B nên C I O ta có: nội tiếp nên Như để chứng minh cần chứng minh nội tiếp Để ý ta Tức ta cần chứng minh tứ giác , suy đpcm.(Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải) Tiêu chuẩn 2: Tứ giác nội tiếp A D O B C Bài tập Trên cạnh hình vng ta lấy điểm cho Đường thẳng cắt đường thẳng tương ứng điểm a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh điểm đường tròn nội tiếp nằm Lời giải: a) Gọi giao điểm Các điểm và B A P nằm hai cạnh tam giác lồi Các đỉnh , nên tứ giác nhìn đoạn thẳng góc Vì tứ giác nội tiếp Lập luận tương tự ta suy tứ giác D M Q N nội tiếp C E b) Từ kết câu a, suy Tập hợp điểm nhìn đoạn góc vng, nên điểm nằm đường trịn đường kính Bài tập 2) Cho điểm thuộc cung nhỏ đường tròn Một đường thẳng ngồi vng góc với cắt đường tròn Chứng minh ; thuộc Lời giải: Kẻ đường kính cắt giác nội tiếp, suy Mặt khác Ta có A , hay Vậy nên tứ thuộc đường tròn O C B M N E D Bài tập 3) Cho tam giác có đường cao đồng quy Gọi giao điểm , trung điểm Chứng minh trực tâm tam giác Lời giải: Lấy điểm , đối xứng với giao điểm Vì A qua với M R F (Tính chất trung K H tuyến), kết hợp tính đối xứng điểm B D ta có S E C nên tứ giác nội tiếp Suy (1) Lại có nên tứ giác nội tiếp, (2).Từ (1) (2) suy nên tứ giác nội tiếp Từ suy Trong tam giác , ta có nên trực tâm tam giác Bài tập 4) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm Đường tròn tiếp xúc với cạnh tiếp xúc với Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tứ giác nội tiếp Lời giải: Nhận xét: toán thực chất A định lý Lyness phát biểu theo cách khác;(Xem thêm phần: M N ‘’Các định lý hình học tiếng’’) Kéo dài cắt đường tròn I F O E O' C B Ta có tam giác cân nên S x điểm cung Kẻ đường phân giác góc cắt , ta chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác Thật ta có: thẳng hàng và nên tứ giác tứ giác nội tiếp Mặt khác tứ giác nội tiếp nên hay tứ giác nội tiếp Cơng việc cịn lại chứng minh: phân giác góc Vì mà Điều chứng tỏ phân giác góc tròn nội tiếp tam giác Hay tâm vòng Chú ý: Nếu thay giả thiết điểm tâm vòng tròn nội tiếp tam giác thành Các đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt hình thức toán khác chất định lý Lyness Để ý rằng: cân nên ta dễ dàng suy được: trung điểm Bài tập 5) Cho hai đường trịn tiếp xúc ngồi với Kẻ đường thẳng cắt hai đường tròn ( tiếp điểm ) Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn với tiếp điểm tương ứng Đường thẳng tiếp tuyến với qua Đường thẳng cắt cắt , cắt Chứng minh Phân tích định hướng giải: + Vì M góc N góc nội tiếp chắn đường Δ D1 I trịn Vì để chứng minh ta phải chứng minh ta chứng minh giác , tức A trực tâm tam D2 Δ' H O1 B O2 C Khi ta có: E hay tứ giác + Gọi với tứ giác nội tiếp giao điểm Xét tiếp tuyến chung qua cắt Khi ta có: vng , (cùng vng góc ) Do (Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung), mặt khác (so le trong) Suy tứ giác nội tiếp (1) Xét tứ giác Suy ta có: ( góc đồng vị) suy tứ giác hình thang cân nên nội tiếp (2) Từ (1), (2) ta suy điểm thuộc đường tròn Suy tứ giác nội tiếp Bài tập 6) Cho tam giác có hai đường cao cắt gọi trung điểm Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt , cắt Chứng minh tứ giác nội tiếp Phân tích định hướng giải: Ta thấy đường trịn ngoại tiếp tam giác cắt điểm (Định lý Miquel) Như ta thấy tứ giác nội tiếp, mặt khác từ giả thiết ta có: tứ giác nội tiếp Nên suy điểm thuộc A đường trịn đường kính Đây chìa khóa để giải tốn D E K H M B I C Lời giải: Trước tiên ta chứng minh: tứ giác nội tiếp (Bạn đọc tham khảo phần ‘’Các định lý hình học tiếng’’) Ta có: Theo giả thiết tứ giác nội tiếp , Kết hợp với tam giác vng nên nên ta có: tứ giác nội tiếp thẳng hàng , tứ giác nội tiếp (Tính chất góc ngồi ), mà ) tứ giác kết suy nội tiếp (chắn cung Theo nằm đường trịn đường kính thẳng hàng Tứ giác nội tiếp , tứ giác tứ giác nội tiếp nội tiếp Bài tập 7) Cho hai đường trịn dài phía lấy điểm qua với đường tròn cắt Kéo kẻ hai tiếp tuyến ( tiếp điểm) điểm nằm phía so với Đường thẳng cắt đường tròn gọi giao điểm Chứng minh trung điểm Phân tích định hướng giải: Q A I O1 F O2 P B E M Để ý rằng: Đường thẳng cắt ba cạnh tam giác Theo định lý Menelauyt ta có: minh trung điểm Để chứng ta chứng minh: Bây ta tìm cách thay đại lượng (*) thành đại lượng tương đương để thơng qua ta quy việc chứng minh tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng Xét đường tròn với cát tuyến hai tiếp tuyến Ta có tính chất quen thuộc: (Xem phần chùm tập cát tuyến tiếp tuyến) Từ suy thay vào (*) ta quy tốn chứng minh: ta có: nội tiếp chắn cung (tứ giác ta có kết cần chứng minh: góc nội tiếp) Qua Các em học sinh tự hoàn chỉnh lời giải dựa phân tích định hướng mà tác giải vừa trình bày Nếu khơng dùng định lý Menaleuyt ta giải theo khác sau: Vì tiếp tuyến đường trịn nên ta có: (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Suy đồng dạng đồng Tương tự ta có: dạng suy , (1) , mặt khác (do tứ giác (chắn cung mà ) nội tiếp) Suy tứ giác nội tiếp, suy , ta có: suy đồng dạng suy Tương tự ta chứng minh được: (2) đồng dạng suy (3).Từ (1), (2), (3) suy Bài tập 8) Cho tam giác Đường tròn qua cắt theo thứ tự Đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác cắt Chứng minh hình bình hành từ suy vng Phân tích định hướng giải: Để chứng minh B x M J hình bình hành ta chứng minh K N Q I O A C Mặt khác dễ thấy trực nên trung Ta cần chứng minh , việc tìm liên hệ trực tiếp tương đối khó ta nghỉ đến hướng tạo đường thẳng ‘’đặc biệt’’ vng góc với sau chứng minh đường thẳng song song với từ ta nghỉ đến dựng tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác Khi ta có : (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây) Mặt khác nội tiếp Từ suy Tương tự: Từ kẻ tiếp tuyến với đường trịn ngoại tiếp , chứng minh ta có: tứ giác hình bình hành Gọi giao điểm , trung trực (Tính chất đường nối tâm hai đường trịn cắt nhau) tam giác vng Bài tập 9) Cho hai đường tròn (đường tròn tròn qua tiếp xúc nằm trong) Hai điểm kẻ tiếp tuyến với kẻ tiếp tuyến với cắt cắt tại và qua Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác Phân tích định hướng giải: thuộc đường nằm A B E Vì giả thiết hai đường trịn tiếp xúc với điểm nên ta nghỉ đến việc tiếp tuyến chung O1 để tận dụng yếu tố góc: P D I Q O2 C M x Bài toán làm ta nghỉ đến định lý Lyness tiếng ( Xem thêm phần định lý hình học tiếng (Định lý Lyness mở rộng) tínhchất quen thuộc liên quan đến chứng minh định lý là: phân giác góc , kéo dài cắt trung điểm … Từ định hướng ta suy cách giải cho tốn sau: + Dựng tiếp tuyến chung ta có: hai đường trịn , mà (tính chất góc tam giác), phân giác giao điểm với trung điểm , gọi là phân giác + Gọi giao điểm ta cần chứng minh phân giác củan Mặt khác tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ta có: (Tính chất quen thuộc liên quan đến tâm vịng trịn nội tiếp, bạn đọc xem thêm phần ‘’góc ‘’ phần đầu ) + Ta có nội tiếp suy mà (Tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) suy đồng dạng Tương tự ta chứng minh tứ giác nội tiếp đồng dạng với tâm đường tròn nội tiếp + Tương tự, tâm đường tròn nội tiếp nằm Nhận xét: Đối với tốn có giả thiết hai đường trịn tiếp xúc với việc kẻ tiếp tuyến chung để suy góc từ phát tứ giác nội tiếp hướng quan trọng để giải toán Bài tập 10) Cho tam giác vng với đường trịn ngoại tiếp tam giác dài tại tiếp tuyến cắt cạnh kéo gọi điểm đối xứng qua , hình chiếu Gọi trung điểm đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Phân tích định hướng giải: A K I B O M C D H E Để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn thơng thường ta chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính tiếp điểm Muốn làm điều điều kiện cần phải xác định rõ tâm đường tròn Nhưng việc làm khơng dễ tâm đường trịn khơng phải điểm đặc biệt Để khắc phục khó khăn ta thường chọn cách chứng minh theo tính chất góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung Trở lại toán: Để chứng minh tiếp tuyến đường tròn ta phải chứng minh: + Vì điểm đối xứng qua tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Theo giả thiết nên nằm đường tròn ; (1) Mặt khác, (chắn cung ); (2) + Từ (1) (2) suy bốn điểm nằm đường tròn tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Tiêu chuẩn 3) Cho hai đường thẳng cắt điểm Trên hai đường thẳng lấy điểm điểm thuộc đường trịn B A O M C B C M D A D Bài tập 1) Cho đường trịn tâm đường kính đường thẳng nằm ngồi đường trịn vng góc với Kẻ cát tuyến với đường tròn , cắt Chứng minh nội tiếp được: tại Phân tích định hướng giải: A O Δ N B M C D E Vì tứ giác nội tiếp , suy (1) Tương góc hay tứ giác nội tiếp, từ suy (2) Kết hợp (1), (2) ta có: tứ giác nội tiếp Bài tập 2) Cho tam giác cân Gọi có đường cao theo thứ tự trung điểm đoạn Tia cắt cạnh Chứng minh tứ giác nội tiếp A Giải: Do tam giác nên cân mặt khác K D tứ giác nội tiếp I B N M C Vì , ta có (Tính chất tứ giác nội tiếp) suy tứ giác nội tiếp Ta có: mà Bài tập 3) Cho tứ giác lồi có giao điểm đường chéo Đường phân giác góc cắt Giả sử Chứng minh Phân tích định hướng giải: K A B N M D C Ta gọi giao điểm theo tính chất đường phân giác ta có: thức thay vào biểu ta có: Do nằm tứ giác theo tiêu chuẩn ta có: tứ ... hàng , tứ giác nội tiếp (Tính chất góc ngồi ), mà ) tứ giác kết suy nội tiếp (chắn cung Theo nằm đường tròn đường kính thẳng hàng Tứ giác nội tiếp , tứ giác tứ giác nội tiếp nội tiếp Bài tập 7)... E C nên tứ giác nội tiếp Suy (1) Lại có nên tứ giác nội tiếp, (2).Từ (1) (2) suy nên tứ giác nội tiếp Từ suy Trong tam giác , ta có nên trực tâm tam giác Bài tập 4) Cho tam giác nội tiếp đường... tam giác cân nên S x điểm cung Kẻ đường phân giác góc cắt , ta chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác Thật ta có: thẳng hàng và nên tứ giác tứ giác nội tiếp Mặt khác tứ giác nội tiếp