Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA 1 Định nghĩa Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai Một mệnh đề không thể vừa đúng vừ.
Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA Định nghĩa: Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P Kí hiệu Nếu P sai, P sai Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu P Q Khi mệnh đề Q P gọi mệnh đề đảo P Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P Q Mệnh đề P Q hai mệnh đề P Q Q P Chú ý: “Tương đương gọi thuật ngữ khác “điều kiện cần đủ”, “khi khi”, “nếu nếu” Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Câu: P (n): “n chia hết cho 5” với n số tự nhiên P (x; y): “2x + y = 5” với x, y số thực Các kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu Kí hiệu : đọc với mọi; : đọc tồn Phủ định mệnh đề “ ” mệnh đề “ Phủ định mệnh đề “ ” mệnh đề “ B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: ” ” DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Phương pháp: Muốn xác định mệnh đề ta áp dụng định nghĩa sau: Mệnh đề: Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Lưu ý Câu Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? (1) Đi Picnic niềm yêu thích tơi! (2) Phương trình có nghiệm (3) 16 khơng phải số chẵn (4) Số có phải số nguyên hay không? (5) Ấn độ nước đơng dân giới Trang -1- Tốn trắc nghiệm (6) Tam giác BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN vng có góc vng (7) Một tứ giác nội tiếp đường tròn tổng hai góc đối Lời giải tham khảo Câu (1) (4) khơng mệnh đề (vì câu cảm thán, câu hỏi) Câu (2) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (3) mệnh đề Vì khẳng định có tính sai Câu (5) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (6) mệnh đề Vì khẳng định có tính Câu (7) mệnh đề Vì khẳng định có tính sai Câu Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề chứa biến? a) b) c) d) e) 15 số phương f) chia hết cho (với ) Lời giải tham khảo Câu (a) mệnh đề Câu (b) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (c) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề mệnh đề sai Câu (d) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề mệnh đề sai Câu (e) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (f) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề mệnh đề sai 1.1 Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu 1.2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề chứa biến? mệnh đề? a) Số 11 số chẵn a) Không lối này! b) Huế thành phố Việt Nam b) Bây giờ? c) 2x + số nguyên dương c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm d) 1946 e) + x = d) 16 chia dư e) 2018 không số nguyên tố f) Phương trình có nghiệm f) số vơ tỉ Lời giải tham khảo g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều hai điểm Câu (a) mệnh đề mệnh chung đề chứa biến Câu (b) mệnh đề mệnh Lời giải tham khảo đề chứa biến Câu mệnh đề a), b) Câu (c) mệnh đề chứa biến Câu d), f) mệnh đề Câu e) sai Câu g) Câu (d) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (e) mệnh đề chứa biến Trang -2- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Câu (f) mệnh đề chứa biến DẠNG TỐN 2: XÉT TÍNH ĐÚNG-SAI CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phương pháp: Một câu khẳng định mệnh đề đúng, câu khẳng định sai mệnh đề sai Lưu ý Câu Xét tính Đúng-Sai mệnh đề sau: a) Phương trình bậc ln ln có nghiệm b) Tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn c) d) Lời giải tham khảo a) mệnh đề b) mệnh đề c) mệnh đề sai Vì d) mệnh đề 1.1 Xét tính Đúng-Sai mệnh đề sau: 1.2 Tìm giá trị để mệnh đề mệnh đề a) b) Nếu tam giác có góc tam Lời giải tham khảo giác c) Một tứ giác hình chữ nhật Mệnh đề chúng có góc vng d) Nếu với t Lời giải tham khảo a) Sai Vì b) Sai Vì Tam giác tam giác có góc c) Đúng d) Đúng 1.3 Cho ba mệnh đề sau, với n số tự nhiên (1) n + số phương (2) Chữ số tận n (3) n -1 số phương Biết có hai mệnh đề mệnh đề sai Hãy xác định mệnh đề đúng, mệnh đề sai Lời giải tham khảo Ta có số phương có chữ số tận 0, Trang -3- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN 1, 4, 5, 6, Vì - Nhận thấy mệnh đề (1) (2) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n + có chữ số tận nên số phương Vậy hai mệnh đề phải có mệnh đề mệnh đề sai - Tương tự, nhận thấy hai mệnh đề (2) (3) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n – có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy ba mệnh đề mệnh đề (1) (3) đúng, cịn mệnh đề (2) sai DẠNG TỐN 3: PHỦ ĐỊNH MỘT MỆNH ĐỀ Các phép toán mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh lại với tạo mệnh đề Một số mệnh đề toán là: Mệnh đề phủ định (phép phủ định), mệnh đề kéo theo (phép kéo theo), mệnh đề ảo, mệnh đề tương đương (phép tương đương) Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P Kí hiệu Nếu P sai, P sai Các kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu Kí hiệu : đọc với mọi; : đọc tồn Phủ định mệnh đề “ ” mệnh đề “ ” Phủ định mệnh đề “ ” mệnh đề “ ” Câu Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? P: “Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau” Q: “6 số nguyên tố” R: “Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại” S: “5 > -3” K: “Phương trình có nghiệm” H: “ Lời giải Ta có mệnh đề phủ định : “Hai đường chéo hình thoi khơng vng góc với nhau”, mệnh đề sai : “6 số nguyên tố”, mệnh đề : “Tổng hai cạnh tam giác nhỏ cạnh lại”, mệnh đề sai : “5 ≤ -3”, mệnh đề sai : ” Trang -4- mệnh “Phương đề trình vơ nghiệm”, Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN : “ sai Câu Xét tính (sai) mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) b) c) chia hết cho ”, mệnh đề Lời giải a) Mệnh đề sai, chẳng hạn x = -1 ta có (-1)3 – (-1)2 + = -1 < Mệnh đề phủ định b) Mệnh đề d) e) phương số Mệnh đề phủ định c) Mệnh đề chia hết cho n =1 n2 + = 4 Mệnh đề phủ định “ không chia hết cho 4” d) Mệnh đề Mệnh đề phủ định sai e) Mệnh đề “ số phương” Mệnh đề phủ định “ khơng số phương” Câu Dùng kí hiệu để viết câu sau viết mệnh đề phủ định a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Với số thực bình phương số số khơng âm c) Có số ngun mà bình phương nó d) Có số hữu tỉ mà nghịch đảo Trang -5- Lời giải a) Ta có P: , n(n +1)(n + 2) 6, mệnh đề phủ định : , n(n +1)(n + 2) b) Ta có Q: đề phủ định c) Ta có R: , mệnh : , mệnh Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN lớn đề phủ định d) mệnh đề phủ định Câu Xác định tính sai mệnh đề sau tìm phủ định nó: a) A: “ ” b) B: “Tồn số tự nhiên số nguyên tố” c) C: “ x chia hết cho x + 1” d) D: “ hợp số” e) E: “Tồn hình thang hình vng” f) F: “Tồn số thực a cho ” Lời giải a) Mệnh đề A : b) Mệnh đề B : “Với số tự nhiên số nguyên tố” c) Mệnh đề C sai :“ ” d) Mệnh đề D sai với n = ta có hợp số khơng phải Mệnh đề phủ định :” số nguyên tố” e) Mệnh đề E : “Với hình thang khơng hình vng” f) Mệnh đề F mệnh đề phủ định : “Với số thực a ” a) Cho mệnh đề P: “Với số thực x, x số hữu tỉ 2x số hữu tỉ” Lời giải a) Mệnh đề P: “ Dùng kí hiệu P, xác định tính –sai b) Phát biểu MĐ đảo P chứng tỏ MĐ Phát biểu mệnh đề dạng tưng đương ” MĐ :“ ” MĐ sai b) MĐ đảo P “Với số thực x, x Q 2x Q” Hay “ ” Trang -6- Toán trắc nghiệm Câu BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai: P: “Trong tam giác tống ba góc 1800” Lời giải Ta có mệnh đề phủ định là: Q: “ số nguyên” R: “Việt Nam vô địch Worldcup năm 2020” :“ số nguyên”, mệnh đề sai S: “ ” K: “Bất phương trình x2013 > 2030 vơ nghiệm” : “Trong tam giác tống ba góc không 1800”, mệnh đề sai : “Việt Nam không vô địch Worldcup năm 2020”, mệnh đề không xác định hay sai : “ ”, mệnh đề : “Bất phương trình x2013 > 2030 có nghiệm”, mệnh đề DẠNG TỐN 4: MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO, MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu P Q Khi mệnh đề Q P gọi mệnh đề đảo P Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P Q Mệnh đề P Q hai mệnh đề P Q Q P Chú ý: “Tương đương gọi thuật ngữ khác “điều kiện cần đủ”, “khi khi”, “nếu nếu” Lời giải Câu Phát biểu mệnh đề P Q phát a) Mệnh đề P Q “Nếu tứ giác biểu mệnh đề đảo, xét tính sai ABCD hình thoi AC BD cắt trung điểm a) P: “Tứ giác ABCD hình thoi” đường”, mệnh đề Q: “Tứ giác ABCD, AC BD Mệnh đề đảo Q P “Nếu tứ cắt trung điểm giác ABCD có AC BD cắt đường” trung điểm b) P: “2 > 9” Q: “4 < 3” đường ABCD hình thoi”, c) P: “Tam giác ABC vuông cân mệnh đề sai A” Q: “Tam giác ABC có b) Mệnh đề P Q “Nếu > ” < 3”, mệnh đề d) P: “Ngày tháng ngày Quốc mệnh đề P sai Khánh nước Việt Nam” Q: Trang -7- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN “Ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ” Mệnh đề đảo Q P “Nếu < < 9”, mệnh đề mệnh đề Q sai c) Mệnh đề P Q “Nếu tam giác ABC vng cân A ”, mệnh đề Mệnh đề đảo Q P “Nếu tam giác ABC có vng cân A”, mệnh đề sai d) Mệnh đề P Q “Nếu ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam Ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ” Mệnh đề đảo Q P “Nếu ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam” Hai mệnh đề mệnh đề P, Q Câu Phát biểu mệnh đề P Q hai cách xét tính sai a) P: “Tứ giác ABCD hình thoi” Q: “Tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” b) P: “Bất phương trình ” có nghiệm Q: “ ” Lời giải a) Ta có mệnh đề P Q mệnh đề P Q, Q P phát biểu theo hai cách sau: “Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” “Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau” b) Ta có mệnh đề P Q mệnh đề P, Q (do mệnh đề P Q, Q P đúng) phát biểu theo hai cách sau: “Bất phương trình có nghiệm ” Và “Bất phương trình Trang -8- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN có nghiệm Câu Phát biểu mệnh đề P Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật” Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với nhau” b) P: “ ” Q: “ ” c) P: “Hai tam giác ABC có ” Q: “Tam giác ABC có BC = AB2 + AC2” d) P: “Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam” Q: “Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc giới” ” Lời giải a) P Q: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với nhau”, mệnh đề sai Q P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với tứ giác ABCD hình chữ nhật”, mệnh đề sai b) P Q: “Nếu ”, mệnh đề Q c) P P: “Nếu ”, mệnh đề sai Q: “Nếu hai tam giác ABC có tam giác ABC có 2 BC = AB + AC2” Q P: “Nếu tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 hai tam giác ABC có ” Hai mệnh đề d) P Q: “Nếu Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc giới”, Q P: “Nếu Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc giới Tố Hữu nhà Tốn học lớn Việt Nam” Hai mệnh đề Câu Phát biểu mệnh đề P Q hai cách xét tính sai a) Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD hình vng” Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc Trang -9- Lời giải a) Ta có mệnh đề P Q mệnh đề P Q, Q P phát biểu hai cách sau: “Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN với nhau” b) P: “Bất phương trình có nghiệm” Q: “Bất phương trình vơ nghiệm” chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” “Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với b) Ta có mệnh đề P Q sai mệnh đề P cịn Q sai Phát biểu mệnh đề P Q hai cách “Bất phương trình có nghiệm Bất phương trình vơ nghiệm” “Bất phương trình vơ nghiệm Bất phương trình có nghiệm” Câu 10 Cho hai mệnh đề: A: “Nếu ΔABC có cạnh a, đường cao h ”; B: “Tứ giác có bốn cạnh hình vng”; C: “15 số nguyên tố” D: “ số nguyên” a) Hãy cho biết mệnh sau, mệnh đề đúng, mệnh sai: A B, A D, B C b) Hãy cho biết mệnh sau, mệnh đề đúng, mệnh sai: A B, B C, B D đề đề đề đề Câu 11 Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Q, P xét tính sai mệnh đề a) Cho tứ giác ABCD hai mệnh đề: P: “Tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800” Q: “Tứ giác nội Trang -10- Lời giải Ta có A D mệnh đề đúng, B C mệnh đề sai Do đó: a) Mệnh đề A B sai A đúng, B sai Mệnh đề A D A D Mệnh đề B C B sai b) Mệnh đề A B sai mệnh đề A B sai (Hoặc A B sai), Mệnh đề B C hai mệnh đề B C sai Mệnh đề A D hai mệnh đề A D Lời giải a) P Q: “Nếu tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn” P: “Nếu tứ giác khơng nội tiếp đường trịn tổng góc đối diện tứ giác lồi 1800” Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN tiếp đường tròn” b) P: “ Mệnh đề P ” Q: “ ” Q đúng, mệnh đề P sai b) P Q: “Nếu ” P: “Nếu Mệnh đề P sai, mệnh đề Q Câu 12 Cho số tự nhiên n, xét hai mệnh đề chưa biến: A(n): “n số chẵn” B(n): “n2 số chẵn” a) Hãy phát biểu mệnh đề Cho biết mệnh đề hay sai? b) Hãy phát biểu mệnh đề “ ” c) Hãy phát biểu mệnh đề “ ” ” Q sai P đúng, Q P P Lời giải a) : “Nếu n số chẵn n số chẵn” Đây mệnh đề số chẵn b) “ ”: Với số tự nhiên n, n số chẵn n số chẵn c) “ ”: Với số tự nhiên n, n số chẵn n2 số chẵn DẠNG TOÁN 5: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lí chứng minh định lí: Trong Tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: , P(x), Q(x) mệnh đề chứa biến Có cách để chứng minh định lí dạng Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x X mà P(x) - Chứng minh Q(x) suy luận kiến thức Toán học biết Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau: - Giả sử tồn cho P(x0) Q(x0) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ: Cho định lí dạng P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Trang -11- (1) Khi Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Q(x) điều kiện cần đề có P(x) Mệnh đề gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lí thuận gộp lại thành định lí , ta gọi P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) Ngồi cịn nói “P(x) Q(x)”, “P(x) Q(x)” B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 5.1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Lời giải Câu 13 Chứng minh với số tự Giả sử n không chia hết cho nhiên n, n3 chia hết cho n chia n = 3k + n = 3k + 2, k hết cho Với n = 3k + ta có n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + không chia hết cho (mâu thuẫn) Với n = 3k + ta có n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không chia hết cho (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho Câu 14 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a Chứng minh tồn số thực cho a.f( ) ≤ phương trình f(x) = ln có nghiệm Lời giải Ta có Giả sử phương trình cho vơ nghiệm, nghĩa Δ < Khi t có Suy không tồn cho a.f( ) ≤ 0, trái với giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, hay phương trình cho ln có nghiệm Câu 15 Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phản từ đỉnh tam giác cân đỉnh Trang -12- Lời giải Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác khơng cân A Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Khơng tính tổng qt xem Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH Khi AB = AD, AL chung nên ΔABL = ΔADL Do AL = LD hay L trung điểm BD Suy LH đường trung bình ΔCBD LH//DC điều mâu thuẫn LH, DC cắt A Vậy tam giác ABC cân A Câu 16 Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai: a c dấu vơ nghiệm Câu 17 Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số ngun dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho Trang -13- Lời giải Giả sử phương trình vơ nghiệm a, c trái dấu Với điều kiện a, c trái dấu ta có a.c < suy Δ = b – 4ac = b2 + 4(-ac) > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều mâu thuẫn với giả thiết phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm a, c phải dấu Lời giải Giả sử hai số ngun dương a b có số không chia hết cho 3, chẳng hạn a khơng chia hết cho Thế a có dạng a = 3k + a = 3k + Lúc a2 = 3m + 2, nên b chia hết cho b không chia hết cho a2 + b2 có dạng 3n + 3n + 2, tức a2 + b2 khơng Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN chia hết cho 3, trái giả thiết Vậy a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho Câu 18 Chứng minh rằng: Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c dộ dài cạnh nhỏ tam giác Lời giải Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ c a2 ≤ c2 (1) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có, b < a + c b2 < (a +c)2 (2) Do a ≤ c ( a +c)2 ≤ 4c2 (3) Từ (2) (3) suy b2 ≤ 4c2 (4) Cộng vế với vế (1) (4) ta có a2 + b2 ≤ 5c2 mâu thuẫn với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Câu 19 Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh ba bất đẳng thức sau sai Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức Khi đó, nhân vế theo vế bất đẳng thức ta được: , , hay (*) khác Mặt Do < a < Tương tự Nhân vế theo , vế ta (**) Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn với (*) Vậy có ba bất Trang -14- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN đẳng thức cho sai (đpcm) Câu 20 Nếu a1a1≥2(b1+b2) hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Lời giải Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi D1 = a12 – 4b1 < 0, D2 = a22 – 4b2 a12 – 4b1 + a22 – 4b2 < a12 + a22 < 4(b1 + b2) (1) Mà Từ (2) (2) (1) suy hay trái giả thiết Vậy phải có hai sô lớn phương trình có nghiệm Câu 21 Chứng minh số vô tỉ Lời giải Dễ dàng chứng minh n2 số chẵn n số chẵn Giả sử số hữu tỉ, tức , m, n , (m, n) = Từ m2 = 2n2 m2 số chẵn m số chẵn m = 2k, k Từ m2 = 2n2 4k2 = 2n2 n2 = 2k2 n2 số chẵn n số chẵn Do m chẵn, n chẵn mâu thuẫn với (m, n) = Vậy Câu 22 Cho số a, b, c thỏa mãn Trang -15- số vô tỉ Lời giải Giả sử ba số a, b, c không đồng thời số dương Vậy có Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN điều kiện: Chứng minh ba số a, b, c dương số khơng dương Do a, b, c có vai trị bình đẳng nên ta giả sử a: ≤ + Nếu a = mâu thuẫn với (3) + Nếu a < từ (3) suy bc < Ta có (2) a(b +c) > -bc a(b +c) > b+c CE nên Mâu thuẫn Trường hợp , chứng minh hồn tồn tương tự Do cân Câu 24 Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để có Trang -16- Vậy tam giác ABC A Lời giải Trước hết xếp đoạn cho theo thứ tự tăng dần độ Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN thể ghép thành tam giác dài a1, a2,…,a7 chứng minh dãy xếp ln tìm đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu hớn đoạn cuối (vì điều kiện để đoạn ghép thành tam giác tổng hai đoạn lớn đoạn thứ 3) Giả sử điều kiện cần chứng minh không xảy ra, nghĩa đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3; a2 + a3 ≤ a4;…; a5 + a6 ≤ a7 Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn 10, ta nhận a3 > 20 Từ a2 >10 a3 > 20 ta nhận a4 >30, a5 > 50, a6 > 80 a7 > 130 Điều a7 > 130 mâu thuẫn với giả thiết độ dài nhỏ 100 Có mâu thuẫn giả sử điều cần chứng minh không xảy Vậy, tồn đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu hớn đoạn cuối Hay nói cách khác đoạn ghép thành tam giác DẠNG TOÁN 5.2: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Lời giải Câu 25 Cho định lí: “Cho số tự nhiên n, a) P: “n số tự nhiên, n chia hết n5 chia hết cho n chia hết cho cho 5”, Q: “n chia hết cho 5” 5” Định lí viết theo dạng P b) Với n số tự nhiên, n chia hết Q cho điều kiện cần đề n5 chia hết a) Hãy xác định mệnh đề P Q cho 5; phát biểu khác: Với b) Phát biểu định lí cách n số tự nhiên, điều kiện cần đề n5 dung thuật ngữ “điều kiện cần” chia hết cho n chia hết cho c) Phát biểu định lí cách c) Với n số tự nhiên, n chia hết dung thuật ngữ “điều kiện đủ” cho điều kiện đủ để n chia hết d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) cho định lí dung thuật d) Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, ngữ “điều kiện cần đủ” để gộp n chia hết cho n chia hết hai định lí thuận đảo cho 5” e) Thật n = 5k n5 = 55.k5: Trang -17- Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN số chia hết cho Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho Câu 26 Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ” a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vng A AH đường cao AB2 = BC.AH Lời giải a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo d) Tam giác ABC vuông A AH đường cao điều kiện đủ để AB2 = BC.AH Tam giác ABC có AB2 = BC.AH điều kiện cần để vng A AH đường cao Câu 27 Phát biểu định lí sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện cần” “Điều kiện đủ” a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu số nguyên dương có chữ số tận chia hết cho c) Nếu tứ giác hình thoi hai đường chéo vng góc với d) Nếu hai tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho Lời giải a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện cần để hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ b) Số nguyên dương có chữ số tận là điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để có chữ số tận c) Tứ giác hình thoi điều kiện đủ để hai đường chéo vng góc với Trang -18- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Tứ giác có hai đường chéo vng góc với điều kiện cần để hình thoi d) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có góc tương ứng Hai tam giác có góc tương ứng điều kiện cần để chúng e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương a chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho 24 Câu 28 Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu thuật ngữ sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) d) Tứ giác MNPQ hình bình hành Lời giải a) Một tam giác tam giác cân điều kiện cần đủ để có hai góc b) Tứ giác hình bình hành điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) điều kiện cần đủ để d) Điều kiện cần đủ để tứ giác MNPQ hình bình hành Câu 29 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng, sao? b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng, sao? Trang -19- Lời giải a) Một tứ giác hình vng điều kiện đủ để có cạnh Một tứ giác có cạnh điều kiện cần để hình vng Khơng có định lí đảo tứ giác có cạnh hình thoi b) Một tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có hai đường chéo vng góc Một tứ giác có hai đường chéo vng góc điều kiện cần để hình thoi Khơng có định lí đảo tứ giác Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN có hai đường chéo vng góc hình vng đa giác có hai đường chéo vng góc Trang -20- ... (d) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề mệnh đề sai Câu (e) mệnh đề mệnh đề chứa biến Câu (f) mệnh đề chứa biến Vì mệnh đề mệnh đề sai 1.1 Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu 1.2 Trong mệnh đề sau, mệnh. .. (a) mệnh đề mệnh chung đề chứa biến Câu (b) mệnh đề mệnh Lời giải tham khảo đề chứa biến Câu mệnh đề a), b) Câu (c) mệnh đề chứa biến Câu d), f) mệnh đề Câu e) sai Câu g) Câu (d) mệnh đề mệnh đề. .. đề mệnh đề chứa biến Câu (e) mệnh đề chứa biến Trang -2- Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Câu (f) mệnh đề chứa biến DẠNG TỐN 2: XÉT TÍNH ĐÚNG-SAI CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phương pháp: