Về cấu trúc của vành QF và một số vành mở rộng

Về cấu trúc của vành QF và một số vành mở rộng

Bộ giáo dục và đào tạo

luận án tiến sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: pgs Ts lê văn thuyết

Huế, 2006

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã đ−ợc sự nhất trí của đồng tác giả khi đ−a vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực ch−a từng đ−ợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

ii

Công trình được hoàn thành tại: Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Huế - Đại Học Huế

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Thuyết

Phản biện 1: GS TSKH Ngô Việt Trung – Viện Toán Học

Phản biện 2: PGS TS Bùi Xuân Hải – Trường Đại Học Khoa Học

Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Gia Định – Trường Đại Học Khoa Học, Đại Học Huế

Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại ………

……… vào hồi …… giờ … ngày …… tháng …… năm ………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: ………

Mở đầu

Lý thuyết vành QF có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Nakayama đã giới thiệu vành QF vào năm 1939, đó là lớp các vành Artin hai phía và mỗi iđêan một phía đều là một iđêan linh hóa tử hữu hạn sinh Các vành QF có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết vành kết hợp không giao hoán và đang đ−ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

Trên vành QF thì mỗi môđun trung thành đều là một vật sinh Sự

phân loại giữa vật sinh và môđun trung thành trong phạm trù Mod-R (R-Mod), đã tạo ra các lớp vành tổng quát của vành QF

Năm 1966, tác giả Osofsky đã đ−a ra ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại

vành R thỏa mãn mọi R-môđun trung thành đều là vật sinh, nh−ng R

không là vành QF Đồng thời tác giả cũng đã định nghĩa lớp vành PF phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành đều là vật sinh Các vành PF đã đ−ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Năm 1984, khi nghiên cứu lớp các môđun hữu hạn sinh trên một vành, tác giả Faith và Page (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp các vành FPF phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành hữu hạn sinh đều là vật sinh Sau đó, vành FPF đã đ−ợc nhiều tác giả khác quan tâm nghiên cứu nh− Faticoni (1987), Faith và Pillay (1990), Yousif (1994),… Khi quan tâm đến lớp các môđun

đối trung thành hữu hạn sinh, tác giả Lê Văn Thuyết (1992) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp các vành FSG phải (trái), tức là vành mà trên

nó mọi môđun phải (trái) đối trung thành hữu hạn sinh đều là vật sinh Vành FSG là một mở rộng thực sự của vành FPF và vành tự nội xạ

Năm 1967, khi phân loại giữa môđun nội xạ và môđun xạ ảnh, tác giả Faith và Walker đã đ−a ra đặc tr−ng rất đẹp của vành QF:

Một vành R là QF khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ

ảnh, khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ Khi

mọi R-môđun phải (trái) nội xạ đều là môđun nâng thì R đ−ợc gọi là

vành H (Harada) phải (trái), còn khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh

đều là môđun CS thì R được gọi là vành co-H phải (trái) Khái niệm

môđun CS là một mở rộng thực sự của khái niệm môđun nội xạ, do

đó mọi vành QF đều là vành co-H (phải và trái) Khái niệm vành H

và vành co-H không đối xứng, tuy nhiên vành H trái và vành co-H phải là trùng nhau

Nội dung của luận án được chia làm ba chương

Chương 1, nêu các khái niệm cơ bản và các kết quả cần thiết để

sử dụng trong các chương sau Cuối Chương 1, chúng tôi nêu mệnh

đề chứng tỏ rằng phần giao của lớp các vành co-H phải với một trong các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG phải, chính là lớp vành QF

Chương 2, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trưng vành co-H phải qua môđun tự do hữu hạn sinh Với bài toán này, trước đây tác giả Dân [12] đã giải quyết cho trường hợp vành hoàn chỉnh phải, trường hợp vành hoàn chỉnh trái vẫn chưa được giải quyết Nhiều tác giả, chẳng hạn như Oshiro [45], Vanaja [62], cũng đã đặc trưng vành co-H phải qua môđun tự do nhưng với hệ sinh đếm được Cũng trong chương này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải, đó là lớp vành mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H phải và PF phải Đây là một mở rộng có ý nghĩa và cần thiết vì

nó thừa hưởng được cấu trúc đẹp của cả hai lớp vành co-H phải và PF phải

Chương 3, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trưng vành QF,

PF phải qua các lớp vành mở rộng của vành tự nội xạ Đối với vành

tự nội xạ, thì bài toán này đã được giải quyết hầu như hoàn chỉnh Tuy nhiên, đối với các mở rộng của vành tự nội xạ như GP-nội xạ, FSG thì vấn đề vẫn đang còn để mở Những kết quả trong Chương 3

đã làm sáng tỏ được mối quan hệ giữa các vành GP-nội xạ, FSG với các vành QF và PF

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong luận án này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết

hợp có đơn vị 1 0≠ và mọi R-môđun được xét là môđun unita

Chương 1 của luận án, nêu những khái niệm cơ bản và một số kết quả liên quan đến luận án để sử dụng cho các chương sau Sau đây là những khái niệm cơ bản nhất mà luận án quan tâm nghiên cứu

Định nghĩa 1.2.1 Vành R được gọi là QF nếu nó là vành Artin (phải

và trái), tự nội xạ (phải và trái)

Tác giả Harada (1978) đã đưa ra và nghiên cứu các điều kiện sau:

(*) : Mọi R-môđun phải không bé đều chứa một môđun con nội xạ

Định nghĩa 1.2.8 Vành R được gọi là H phải nếu R là vành Artin

phải và thỏa mãn điều kiện Vành R được gọi là co-H phải nếu R

thỏa mãn điều kiện và ACC trên các linh hóa tử phải

(*)

*

(*)

Ta có các quan hệ: QF ⇒ co-H (hai phía),

co-H phải ⇔ H trái, tuy nhiên co-H phải ≠ H phải

Định nghĩa 1.2.15 Vành R được gọi là:

(i) PF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành là một vật sinh trong Mod-R

(ii) FPF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành hữu hạn sinh là

một vật sinh trong Mod-R

(iii) FSG phải nếu mỗi R-môđun phải đối trung thành hữu hạn sinh là một vật sinh trong Mod-R

Ta có các quan hệ: QF ⇒ PF phải ⇒ FPF phải ⇒ FSG phải

Mệnh đề sau đây chứng tỏ rằng giao của lớp vành co-H phải với một trong các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG phải, chính là lớp vành QF

Mệnh đề 1.2.22 Giả sử R là vành co-H phải Khi đó, những phát

biểu sau đây là tương đương:

(i) R là vành QF

(ii) R là vành GP-nội xạ phải

(iii) R là vành tự nội xạ đơn phải

(iv) R là vành FSG phải

Chương 2: Vành co-H và các vành liên quan

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp vành co-H phải (đây

là một trong hai lớp vành mang tên vành Harada (vành H và vành H)) và các lớp vành liên quan Cụ thể, nội dung gồm những vấn đề sau:

co-Đặc trưng vành co-H phải qua vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải và R R⊕R R là một môđun CS

(hoặc mọi mở rộng cốt yếu của R R đều xạ ảnh) (Định lý 2.1.6 và Định

lý 2.3.6) Kết quả này góp phần làm hoàn chỉnh các kết quả đã có trước của các tác giả Dân (1989), Huỳnh và Dân (1992)

Đặc trưng lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải Đó là lớp các

vành nửa hoàn chỉnh, thỏa mãn eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng không bé e của vành đã cho R và E(R R) là một môđun hữu hạn sinh (Định lý 2.2.3) Đây là lớp vành mở rộng thực sự của cả lớp vành PF phải và co-H phải Kết quả này là sự mở rộng một kết quả của tác giả Harada (1978), trong khi tác giả đã đặc trưng vành hoàn chỉnh phải QF-3 phải

Chúng tôi chứng minh được rằng trên vành nửa hoàn chỉnh R

thỏa mãn R R⊕R R là một môđun CS, thì điều kiện * tương đương

(*)

với điều kiện “mọi lũy đẳng nguyên thủy f∈R, fR không đẳng cấu

với bất kỳ môđun con thực sự nào của nó” (Định lý 2.2.7) Có được kết quả này là do xuất phát từ việc nhận thấy lớp vành nửa hoàn

chỉnh R thỏa mãn “ R R⊕R R là một môđun CS” có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các lớp vành co-H phải, PF phải và các vành tự nội xạ phải, liên tục phải, v v …

Ngoài ra, trong quá trình tiếp cận chứng minh một số vấn đề đã nêu ở trên, chúng tôi cũng đã chứng minh được trên vành hoàn chỉnh

phải hoặc trái R thì điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát tương đương với điều kiện “mọi R-môđun phải 2-sinh được phân tích

thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi” (Mệnh đề 2.3.2) Kết quả này

là một mở rộng của Định lý 32.3, trang 347 trong cuốn sách "Vành

và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller, 1992) Vì trong đó vành R

được giả thiết là Artin trái, và điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát tương đương với điều kiện “mọi R-môđun phải hữu hạn sinh

được phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi”

Chương 2 được viết chủ yếu dựa trên các bài báo 5, 6, 7

2.1 Đặc trưng vành co-H qua môđun tự do hữu hạn sinh thỏa mãn điều kiện C1

, ,

,

Q Q a b a b c Q V

(i) T là vành QF

(ii) V là vành H và co-H (phải và trái)

(iii) W là vành H trái và co-H phải Tuy nhiên, W không là vành H

phải cũng không là vành co-H trái

(iv) V, W không là vành PF phải (trái) hay QF.

Nhằm đặc trưng điều kiện trên vành hoàn chỉnh trái, chúng

trong đó e là một lũy đẳng nguyên thủy của R và U là môđun con nào

đó của eR Hơn nữa, nếu R là vành QF-2 phải thì mọi R-môđun phải

địa phương là xạ ảnh hoặc suy biến

Bổ đề 2.1.3 Cho R là một vành CS phải, nửa hoàn chỉnh và thỏa

mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy biến Khi đó, với mọi R-môđun phải đều U ta có:

(i) Với bất kỳ môđun con N ≤ , hoặc là U N≤Z U( ) hoặc

( )

Z U ≤ và N

(ii) U Z U là một môđun chuỗi ( )

Bổ đề 2.1.4 Cho R là một vành hoàn chỉnh trái, CS phải và thỏa

mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy biến Khi đó R là vành QF-3 phải Hơn nữa, R thỏa mãn điều kiện

*

(*)

Mệnh đề 2.1.5 Cho vành hoàn chỉnh trái R Khi đó các phát biểu

sau đây là tương đương:

(i) R thỏa mãn điều kiện (*)*

(ii) R R⊕R R là một môđun CS

(ii)' Mọi R-môđun phải 2-sinh là một tổng trực tiếp của một môđun

xạ ảnh và một môđun suy biến

(iii) R R( )k là một môđun CS với mỗi k ∈ N

(iii)' Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến

(iv) R là vành CS phải và mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là

xạ ảnh hoặc suy biến Việc đặc trưng điều kiện trên vành hoàn chỉnh trái (Mệnh đề 2.1.5) có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và đặc trưng vành co-H phải

minh những tính chất có ở phía phải của vành cũng có ở phía trái của vành, cũng như việc tìm phản ví dụ chứng tỏ rằng tính chất đó có bên phải nhưng không có bên trái là không đơn giản

*

(*)

Sau đây là đặc trưng vành co-H phải trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái:

Định lý 2.1.6 Cho vành R Những phát biểu sau đây là tương đương:

(i) R là vành co-H phải

(ii) R là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải, thỏa mãn ACC trên các

linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 2.1.5

Vận dụng Ví dụ 2.1.1, chúng ta có thể thấy rằng việc nghiên cứu vành co-H rất có ý nghĩa, đó là một mở rộng thực sự của vành QF Tiếp theo ta xét một vài ví dụ áp dụng của Định lý 2.1.6

C

trong đó V là một C-song đại số với dim( )CV =dim( )VC =1 và

Khi đó ta có R là vành Artin (hai phía),

2 0

R R⊕R R là các môđun CS áp dụng Định lý 2.1.6 ta có R là vành co-H (phải và trái) Tuy nhiên R không là vành QF

áp dụng cho vành co-H, vành H (hai phía) ta được: R là vành

co-H khi và chỉ khi R là vành H khi và chỉ khi R là vành Artin phải

(hoặc trái) thỏa mãn R R⊕R R và R R⊕R R là các môđun CS (Hệ quả 2.1.9)

Tiếp theo ta xét mối liên hệ giữa vành Artin chuỗi và vành H,

co-H hai phía trong trường hợp vành không suy biến Đó là: Với R là

vành không suy biến phải thì những phát biểu sau đây là tương

đương: (i) R là vành Artin chuỗi tổng quát; (ii) R là vành H; (iii) R

là vành co-H; (iv) R là vành hoàn chỉnh trái (hoặc phải) và thỏa mãn

một trong các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 2.1.5 (Mệnh đề 2.1.10)

2.2 Vành nửa hoàn chỉnh QF-3

Chúng tôi sử dụng khái niệm vành QF-3 phải theo Thrall (1948)

và Harada (1978), đó là vành R thỏa mãn bao nội xạ ( E R R) là một môđun xạ ảnh Như vậy các vành PF phải, co-H phải đều là vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải Trong mục này, chúng tôi mô tả cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải

Trước hết ta xét các ví dụ sau đây, để chứng tỏ lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 là một mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H và PF

Ví dụ 2.2.1 Cho F là một trường Vành R xác định như sau:

1 2 3

.0

Do đó Soc R( R) Soc(R R) và Soc(R R) Soc R( R Như vậy R

không là vành tự nội xạ đơn phải (hoặc trái)

Từ đó suy ra R là vành co-H (phải và trái), nửa hoàn chỉnh QF-3, nhưng R không là vành PF phải hoặc trái

Ví dụ 2.2.2 Vành R được xác định như sau:

1 2

Khi đó, R là vành nửa hoàn chỉnh (do R là nửa nguyên sơ) QF-3

phải ( (E R R) xạ ảnh) Nhưng R không là vành co-H phải hoặc PF

phải

Sau đây là một đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải

Định lý 2.2.3 Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh Khi đó, những

điều kiện sau đây là tương đương:

(i) R là vành QF-3 phải

(ii) (a) eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e

của R,

(b) ( E R R) là môđun hữu hạn sinh

(iii) (a) eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e

của R,

(b) ( E f R) có phủ xạ ảnh với mọi lũy đẳng nguyên thủy f của R

Định lý 2.2.3 là một mở rộng kết quả của Harada (1978) Vì ở đó

tác giả đã chứng minh rằng với R là vành hoàn chỉnh phải, thì R là QF-3 phải nếu và chỉ nếu eR nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy

không bé Lớp vành "hoàn chỉnh phải, QF-3 phải" là một mở rộng thực sự của lớp vành co-H phải, nhưng không là mở rộng của lớp vành PF phải Định lý 2.2.3 gợi cho chúng ta xuất phát từ một lớp vành rộng hơn cả co-H phải và PF phải, để từ đó đặc trưng ngược trở lại vành co-H phải và PF phải Đây là một mở rộng có ý nghĩa trong việc nghiên cứu các lớp vành PF phải và co-H phải

e∈R

Hệ quả sau đây mô tả kỹ hơn cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải

Hệ quả 2.2.4 Cho vành nửa hoàn chỉnh R Khi đó, R là vành QF-3

phải nếu và chỉ nếu

(i) t 1, mỗi e i R là một môđun nội xạ (với mọi i = 1,…, t) và mỗi f j R

là một môđun không nội xạ (với mọi j = 1,…,m)

(ii) Với mỗi f j R (j = 1,…,m), tồn tại các tập chỉ số hữu hạn F1, ,F t sao cho ( ) ( 1 1 ) ( )

t

E f R ≅ ⊕ e R ⊕ ⊕ ⊕ e R

Để đặc trưng điều kiện trên vành nửa hoàn chỉnh R thỏa

mãn

(*)

R R

R ⊕R là một môđun CS, ta cần các kết quả sau

Bổ đề 2.2.5 Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh Nếu R R⊕R R là môđun CS, thì eR là một R-môđun nội xạ với mọi lũy đẳng không bé

Định lý 2.2.7 Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn R R⊕R R

là một môđun CS Khi đó, những phát biểu sau đây là tương đương: (i) R thỏa mãn điều kiện (*)*

(ii) Với mọi lũy đẳng nguyên thủy f của R, fR không đẳng cấu với bất

kỳ môđun con thực sự nào của nó

Định lý 2.2.7 cho chúng ta phương pháp kiểm chứng điều kiện

khi vành R đã cho thỏa mãn

*

(*) R R⊕R R là một môđun CS Điều này rất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lớp vành co-H phải

2.3 Vành Artin chuỗi và vành co-H

Lớp các vành Artin chuỗi tổng quát là một lớp con của lớp các vành co-H phải Để đặc trưng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái, chúng ta xét cấu trúc của môđun chuỗi trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái qua bổ đề sau

Bổ đề 2.3.1 Cho vành R và M là một R-môđun phải Khi đó ta có:

(i) Nếu R là vành hoàn chỉnh phải và M là môđun chuỗi, thì M là

xiclic và Nơte

(ii) Nếu R là vành hoàn chỉnh trái và M là môđun chuỗi, thì M là

xiclic và Artin