c. Vành FSG, GP-nội xạ và vành QF
3.3Vành nửa hoàn chỉnh FSG với điều kiện acc, dcc
Tr−ớc tiên ta xét tính chất của vành nửa hoàn chỉnh, FSG phải và thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
Bổ đề 3.3.1. Giả sử R một vành nửa hoàn chỉnh FSG phải và
{e e1, 2,…,en} là một tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của R. Khi đó ta có:
(i) Những phát biểu sau là t−ơng đ−ơng:
(a) R là vành Artin phải.
(b) e Ri là môđun Artin, với mọi i=1, 2,…,n. (c) R thỏa mãn DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
(ii) Những phát biểu sau là t−ơng đ−ơng:
(a) R là vành Nơte phải.
(b) e Ri là môđun Nơte, với mọi i=1, 2,…,n.
(c) R thỏa mãn ACC trên các iđêan phải cốt yếu.
Mệnh đề 3.3.2. Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành nửa hoàn chỉnh, FSG phải và thỏa mãn DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
Hệ quả 3.3.3. Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành FSG phải, Artin phải hoặc trái.
Để ý rằng, nếu thay thế điều kiện vành Artin bởi điều kiện vành Nơte trong hệ quả trên, thì kết quả không còn đúng. Thật vậy, vành các số nguyên Z là Nơte, FSG hai phía nh−ng không nội xạ, do đó không là vành QF.
Ví dụ 3.3.4. Tồn tại vành P-nội xạ phải (do đó GP-nội xạ phải) nh−ng không là vành FSG phải hoặc trái.
Thật vậy, xét vành R đ−ợc xây dựng nh− trong Ví dụ 3.1.9. Khi đó, R không là vành FSG phải hoặc trái. Vì nếu R là vành FSG phải hoặc trái, thì theo Hệ quả 3.3.3 ta có R là vành QF và điều này dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định "R không là vành tự nội xạ đơn trái". Vậy R không là vành FSG phải hoặc trái.
Ngoài ra ta có: Một vành R là QF khi và chỉ khiR là vành FSG phải, liên tục phải và thỏa mãn ACC trên các iđêan phải cốt yếu khi và chỉ khiR là vành hoàn chỉnh phải hoặc trái, FSG phải và thoả mãn ACC trên các iđêan phải cốt yếu (Hệ quả 3.3.5 và Hệ quả 3.3.6).
Để ý rằng, vành các số nguyên Z là vành FSG, có chiều Goldie hữu hạn (Nơte) nh−ng không là vành liên tục (do không thỏa mãn điều kiện C2: vì 2Z≅Z nh−ng 2Z không là hạng tử trực tiếp của Z). Mệnh đề sau đây chứng tỏ vành FSG, liên tục, có chiều Goldie hữu hạn là vành nửa hoàn chỉnh tự nội xạ.
Mệnh đề 3.3.7. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là t−ơng đ−ơng:
(i) R là vành nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ phải.
(ii) R là vành FSG phải, liên tục phải và RR có chiều Goldie hữu hạn.
Từ Mệnh đề 3.3.7 ta suy ra: R là vành PF phải khi và chỉ khi R
là vành FSG phải liên tục phải, RR có chiều Goldie hữu hạn và thỏa mãn Soc R( R) RR (Hệ quả 3.3.8).
Sau đây là một đặc tr−ng vành QF qua vành FSG phải, liên tục phải và có chiều Goldie (phải) hữu hạn.
Định lý 3.3.9. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là t−ơng đ−ơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành FSG phải, liên tục phải, RR có chiều Goldie hữu hạn và thoả mãn mọi môđun con đều UR của môđun xạ ảnh PR, tồn tại môđun con hữu hạn sinh VR của PR sao cho UR≤VR.
Ví dụ 3.3.10. Xét vành R đ−ợc xây dựng nh− trong Ví dụ 3.1.10. Khi đó R là vành FSG (hai phía), liên tục (hai phía) và RR có chiều Goldie hữu hạn nh−ng R không là vành QF. Điều đó chứng tỏ rằng điều kiện "mọi môđun con đều UR của môđun xạ ảnh PR đều tồn tại môđun con hữu hạn sinh VR của PRsao cho UR≤VR" trong định lý trên là không thể bỏ đ−ợc.