Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:A.. Góc và cung lượng giác: *.. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.. Độ dài của một cung tròn được tính
Trang 1Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc và cung lượng giác:
* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 3600
* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng
180
R
π
và có số đo 10
* Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng
180
aR
π
* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
* Cung có số đo bằng a0 ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:
π
α
=
0
0
180
a
* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α y
* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ
* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C
* Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = α + k2π
y
B S
M
P T
A’ O Q A x
B’
* Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK
2 Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z)
Trang 2Ta có: cos α =OQ=x, sin α =OP= y, tan α =AT, cot α =BS.
Nhận xét: - 1 ≤ cosα≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1
cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α
tanα = α
α cos
sin xác định khi α≠ ,
π +k
cotα = α
α sin
cos xác định khi α≠α ≠ kπ
sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1
sin
1 cot
1 , cos
1 tan
2
2
α
α α
+
* Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3 π
6
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
−
2
2
−
2
3
3
3
3
3
3
3
3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau: - α và α:
cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα
* Cung bù nhau: π - α và α:
sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα
* Cung hơn kém π: π + α và α:
sin(π + α) = - sinα, cos(π α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα
* Cung phụ nhau:
2
π
- α và α:
−α π
2 = cosα, cos
−α π
2 = sinα, tan
−α π
2 = cotα, cot
−α π
2 = tanα
* Cung hơn kém
2
π : 2
π + α và α:
+α π
2 = cosα, cos
+α π
2 = - sinα, tan
+α π
2 = - cotα, cot
+α π
2 = - tanα
Trang 34 Các công thứ lượng giác khác:
* Công thức cộng:
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ
tan(α + β) = α β
β α
tan tan 1
tan tan
−
+
, tan(α– β) = α β
β α
tan tan 1
tan tan
+
−
* Công thức nhân đôi:
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 – 2sin2α;
sin2α = 2sinαcosα; tan2α = .
tan 1
tan 2
2 α
α
−
* Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1 cos
; 2 sin 2
* Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
1 cos sin
; ) cos(
) cos(
2
1
β α β
α β
α β
α β
sinαsinβ = - [cos( ) cos( )].
2
1 α + β − α − β
* Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
cos 2 cos
2 α + β α − β
2
sin 2 sin
2 α + β α − β
−
2
cos 2 sin
2 α + β α − β
2
sin 2 cos
2 α + β α − β
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1 a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 450, 12000, - 8300
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
4 6
; 2 3
π π π
π +k − +k +k c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)
2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5 Tìm miền giá trị của sinα, tanα và cotα
3 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;
x;
tan tanx) -2x tanx)(sin
-(tan2x d)
; cosx 1
sinx sinx
cosx
-1
+
=
; cos4x -1
2cos4x 6
x cot
x tan g) x;
tan x sin
x sin
-x cos
x cos
x cos x sin
4 2
2
4 2
+ +
−
Trang 4h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;
3
2 cos 3 2x cos -6
x cos 3 2x
−
+
−
4 Rút gọn các biểu thức sau:
; 1 -cosx
x 2cos
1 cosx cos2x
cos3x C
; tanx) x(1
cos cotx) x(1
sin B
; sinx
1
-x 2cos
+
+ +
+
= +
+ +
=
=
; cosx -1 cosx 1
cosx -1 cosx 1 E
; x sin
cosx) -(1 1 sinx
cosx 1
− +
+ +
=
+
+
=
; cos4a cos3a
cos2a
a
cos
sin4a sin3a
sin2a
sina
F
+ +
+
+ +
+
cosb cosa
) )sin(a sin(a
G
+
+
=
; cos98 2cos638
) cos(-188 2520
sin 2 tan368
1
0 0
2
x tan cosx -1
cosx 1
I= + 2
5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;
S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna
6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
3
3
x cos 6
x cos 4
x cos 3
-x cos
+
+ +
+
cos sin 2 1 x cos
-x sin
x cos
-x sin E
; x -3
2 cos 3
2
x cos
x cos
8 8
2 2
2
x x
−
=
+
+ +
F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x; - cot xcot y
y xsin sin
y sin
-x cos
2 2
2 2
=
7 CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin 8
8
1
x Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
A = sin60.sin420.sin660.sin780;
7
5 cos 7
3 cos 7 cos
8 a) Cho cosx = - và 108 x 270
5
3 0< < 0 Tính sinx, tanx và cotx.
b) Biết tan .
2
a
m
sina tana
sina -tana + c) Biết tana + cota = m, ,
2 a
0< <π
tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện của m d) Cho sina + cosa = m với - 2 ≤ m ≤ 2 Tính sin2a, sina, cosa
9 Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
24
11 sin 24
7 sin 24
5 sin 24 sin B
; 12
5 cos 12
11 sin
C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800
E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400
Trang 5F = sin100.sin500.sin700; .
12
5 tan 12 tan
G = 2 π + 2 π H = tan50tan550tan650
H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800
; 7
3 cos 7
2 cos -7 cos
24
sin 24
5 sin 12
7 sin 12
5 cos
10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
2
A C tan 2
A -C tan a c
a -c
; 2
C B tan 2
C -B tan c b
c -b
; 2
B
A tan 2
B
-A tan b a
b -a
+
= + +
= + +
= +
11 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ;
cosc cosa.cosb.
c) b sin(a + +
a 2a.tan tan
-
1
a tan -2a tan
2 2
2 2
b acos cos
b) -b)sin(a sin(a
b tan -a tan
cos4x 4
1 4
3
x cos
x sin f)
; sina cosa
sina -cosa sin2a
1
cos2a e)
0;
2
3 -cos4x 2
1 -2cos2x
-x 4cos
+
= +
=
8
3 sin80 sin40 sin20 h) 0;
9
7 cos 9
5 cos 9 cos
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu cos(x cos(x + -y)y)=21 thì tanxtany = .
3
1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
2 2y
x + =π
13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
14 CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC = ;
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
; 2
C sin 2
B sin 2
A 4sin 1 cosC cosB
cosA
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C cot 2
B cot 2
A
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B cot a) -(c 2
A cot c) -(b 2
C cot b)
-(a
; 2
C sin 2
B sin 2
A 4Rsin
r
2
A tan 2
C tan 2
C tan 2
B tan 2
B tan 2
A tan
Trang 6; 2
C cos 2
B cos
2
A p.sin a
sinC
B) -sin(A c
b -a p) 2
2 2
2
C tan 2
B tan 2
A p.tan
r q) =
; 2
A sin
2
C sin 2
B asin
r
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
p R
s) =
2
C sin 2
B sin 2
A sin 4R
r )
cosC;
cosB cosA R
r 1
R
2pr
; 2
C tan 2
B tan 2
A tan p
r 4R
w) + = + + x) (b 2 - c 2 )cotA + (c 2 - a 2 )cotB + (a 2 - b 2 )cotC = 0;
; B) -2sin(A
)sinAsinB b
-(a S
y)
2 2
= (a sin2B b sin 2 A)
4
1 S
15 CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
( ) ; b) p p -a p -b p -c 3p;
abc
R c b a cotC cotB cotA
a)
2 2 2
≤ +
+
<
+ +
= +
+
; c
1 b
1 a
1 2 c -p
1 b -p
1 a
-p
1
+ +
≥ + + d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
16 Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
c -b -a
c -b a a
4
3 sinBsinC
c) ; 1 3cosB C)
A cos(
a a -c b
a -c b b) 2;
sinBcosC
sinA
2
2 3 3 3
+
=
=
= +
+
= +
+
=
; c -b a
c -b -a a
4
1 cosBcosC
e) ;
a a -c b
a -c b
a 2bcosC
2 2
3 3 3
−
=
=
= +
+
=
R (sin A sin B sin C)
3
2 S
; 8
1 sC cosAcosBco
i)
; 2
C 2cot tanB tanA h)
; cosC cosB
sinC sinB sinA
+
+
= k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 3
cosC cosB
cosA
sinC sinB sinA
+ +
+ +
17 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
18 Chứng minh ∆ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA c)
; b
c a 2
B cot b)
; sinBsinC
a cosC
c cosB
b
+
+ +
=
= +
2
C sin 2
B sin 2 2p h f) sin2B;
a 4
1 S e)
; a
2bc C) -cos(B
=
19 Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
a
c -b C) -sin(B b)
; 2
B -C tan b c
b -c
2 2
=
= +
Trang 720 Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC;
tan tanC 2tanB
b)
; 2
B
A b)tan (a
b.tanB a.tanA
B);
cot
A cot ( 2
1 B sin
A sin
B cos
A cos d) B);
tan(A 2
1 cosB cosA
sinB sinA
2 2
2 2
+
= +
+ +
= +
+
; sinC
2sinAsinB 2
C cot f)
; 2
C sinB)cot (sinA
cos
B sin cosA
A sin
e)
2 2
= +
=
; 2
B ptan 2
C cot b)
- (p h)
; 2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
A sin
0 A) -bsin(C C)
-asin(B l) btanB);
(atanA 2
C tan b a k)
; c -4a
c 2a sinB
cosB
1
i)
2
= +
21 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); ;
tanC
tanB C
sin
B sin b) 2
2
=
cos2B -1
C) -cos(B -1 2.
b
c) -(b d)
; sinA
sinB cosC
2cosB
cosC 2cosA
2
= +
+
+
22 CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); h 3
2
a c b d) + = + a
23 Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2;
cotB) cotA)(1
(1
f) + + = g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình: .
3
3 2 2
x tan
24 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx cosx + cosx sinx
(ĐH An ninh 1998)
25 CMR: nếu ba góc A, B, C của ∆ABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998)
26 Cho ∆ABC có các góc thỏa 1
2
B tan 2
A
2
C tan 4
3
<
≤
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
27 Cho ∆ABC CMR: 2b = a + c ⇔ 3.
2
C cot 2
A cot + = (ĐH Cần thơ
1998)
Trang 829 CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất (ĐH Công đoàn 1998)
30 Cho ∆ABC CMR:
4S
c b a cotC cotB
cotA
2 2
= +
31 Cho ∆ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội
1998)
c
b -a sinC
B) -sin(A
2
2 2
33 CMR: trong mọi ∆AC ta đều có:
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C tan 2
B tan 2
A tan 2
1 sinC
1 sinB
1 sinA
1
= +
+
(ĐH Ngoại thương 1998)
2 sinC
sinB sinA
a c
b 2 2 2
+
= + +
≤ +
Tính các góc của ∆ABC
(ĐH Ngoại thương 1998)
35 CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có:
3
C cos 3
B cos 3
A cos 4
3 8
3 3
C cos 3
B cos 3
A
+
≤ +
+
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
2
C sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 cosC
1 cosB
1 cosA
CMR: ∆ABC đều
b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA
sinC
sinB = .
(ĐH An ninh 1999)
37 CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC đều là có hệ thức:
(cotA cotB cotC) 3
-sinC
1 sinB
1 sinA
38 CMR: Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0 (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39 ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC)
CMR: ∆ABC là tam giác đều (ĐH Dược Hà nội 1999).
40 CMR: nếu ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)
2
B
A tan +
thì ∆ABC cân
(ĐH Hàng hải 1999).
Trang 941 Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot a + cot b + 2tan a.tan b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).