bài tập lương giác lớp 10 nang cao

Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác1.. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư 3... VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giácĐể xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

Cho OA OM( , )=α Giả sử M x y( ; )

x OH

y OK

cos sin

sin tan

cos cot

sin

α α

α α

α

= =

= =

Nhận xét:

• ∀ − ≤α, 1 cosα ≤1; 1 sin− ≤ α ≤1

• tanα xác định khi k k Z,

2

π

α ≠ + π ∈ • cotα xác định khi α ≠k k Zπ, ∈

• sin(α +k2 ) sinπ = α • tan(α +kπ) tan= α

cos(α+k2 ) cosπ = α cot(α+kπ) cot= α

2 Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0

6

π

4

π

3

π

2

3 π 3

4

2 π 2π

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

2

2 2

3

3 2

2

2

2 2

1

1 2

2

3 3

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cosin

O

cotang

tang

M K

α

T

4 Hệ thức cơ bản:

sin α+ cos α =1; tan cotα α = 1; 1 tan2 12 ; 1 cot2 12

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

cos( ) cos−α = α sin(π α− ) sin= α sin cos

2

 − =

sin( )−α = −sinα cos(π α− ) = −cosα cos sin

2

 −  =

tan( )−α = −tanα tan(π α− )= −tanα tan cot

2

 −  =

cot( )−α = −cotα cot(π α− ) = −cotα cot tan

2

 − =

Góc hơn kém π Góc hơn kém

2 π

sin(π α+ ) = −sinα sin cos

2

 +  =

cos(π α+ )= −cosα cos sin

2

 +  = −

tan(π α+ ) tan= α tan cot

2

 +  = −

cot(π α+ ) cot= α cot tan

2

 +  = −

II Công thức lượng giác

1 Công thức cộng

sin(a b+ ) sin cos= a b + sin cosb a

sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b

cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

− tan tan tan( )

1 tan tan

a b

−

+

Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan

2 Công thức nhân đôi

sin 2α =2sin cosα α

cos2α = cos α−sin α = 2 cos α − = −1 1 2sin α

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

2 cot

1 tan

α α

−

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

α α

α α

α α

α

−

= +

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan3

1 3tan

α

α

−

=

−

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( ) tan tan

cos cos

a b

+

sin( ) tan tan

cos cos

a b

−

sin( ) cot cot

sin sin

a b

+

b a

sin( ) cot cot

sin sin

−

α+ α = α + ÷= α − ÷

4 Công thức biến đổi tích thành tổng

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.

a) A = sin 50 cos( 300 )0 − 0 b) B = sin 215 tan0 21

7 π

c) C = cot3 .sin 2

π − π 

os sin tan cot

a) A = sin(α +90 )0 b) B = cos(α −45 )0

c) C = cos(2700−α) d) D = cos(2α +90 )0

2

π α

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(α π+ ) b) B = tan(α π− )

c) C = sin 2

5

π α

3 cos

8

π α

a) A = sinA+sinB+sinC b) B = sin sin sinA B C

c) C = cos cos cosA B C

tan tan tan

2 + 2 + 2

Bài 5.

a)

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.

I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα

• Từ sin2α+cos2α =1 ⇒ cosα = ± −1 sin2α .

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα = 1 sin− 2α – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα = − −1 sin2α .

• Tính tan sin

cos

α α

α

tan

α

α

2 Cho biết cosα , tính sinα, tanα , cotα

• Từ sin2α+cos2α =1 ⇒ sinα = ± −1 cos2α .

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα = 1 cos− 2α – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sinα = − −1 cos2α .

• Tính tan sin

cos

α α

α

tan

α

α

3 Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα

• Tính cot 1

tan

α

α

• Từ 12 1 tan2

1 cos

1 tan

α

α

= ±

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 1 2

1 tan

α

α

=

– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos 1 2

1 tan

α

α

= −

• Tính sinα =tan cosα α .

4 Cho biết cotα , tính sinα , cosα , tanα

• Tính tan 1

cot

α

α

• Từ 12 1 cot2

1 sin

1 cot

α

α

= ±

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin 1 2

1 cot

α

α

=

– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin 1 2

1 cot

α

α

= −

II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

• Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức

• Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2+B2 =(A B+ )2−2AB A4+B4 =(A2+B2 2) −2A B2 2

A3+B3=(A B A+ )( 2−AB B+ 2) A3−B3 =(A B A− )( 2+AB B+ 2)

IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

• Đặt t=sin , 02x ≤ ≤t 1 ⇒ cos2x t= Thế vào giả thiết, tìm được t

Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

• Thiết lập phương trình bậc hai: t2− + =St P 0 với S x y P xy= + ; = Từ đó tìm x, y.

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5

π

α = − < <α

c) sina 5 , a

13 2

3

α = − < <α e) tana 3, a 3

2

π π

2

π

α = − < <α π g) cot150= +2 3 h) cot 3, 3

2

π

α = π α< <

a) A a a khi a a

cot tan sin 3, 0

π +

25 7

2

8tan 3cot 1 sin 1, 90 180

8 3

sin 2sin cos 2 cos cot 3

2sin 3sin cos 4 cos

23 47

−

sin 5cos tan 2

sin 2 cos

+

55 6

3

8cos 2sin cos tan 2

2 cos sin

3 2

−

g) G a a khi a

cot 3tan cos 2

+

19 13 h) H a a khi a

sin cos tan 5

cos sin

+

3 2

−

4 + = Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A=sin cosa a b) B=sina−cosa c) C=sin3a−cos3a

ĐS: a) 9

7 4

128

±

a) A=tan2a+cot2a b) B=tana+cota c) C=tan4a−cot4a

Bài 5.

a) Cho 3sin4x cos4x 3

4

+ = Tính A=sin4x+3cos4x ĐS: A 7

4

= b) Cho 3sin4x cos4x 1

2

− = Tính B=sin4x+3cos4x ĐS: B = 1

c) Cho 4sin4x 3cos4x 7

4

+ = Tính C =3sin4 x+4 cos4 x ĐS: C 7 C 57

= ∨ =

Bài 6.

a) Cho sinx cosx 1

5 + = Tính sin , cos , tan , cot x x x x

b) Cho tanx+cotx=4 Tính sin , cos , tan , cot x x x x

ĐS: a) 4; 3; 4; 3

5 −5 −3 −4 b)

1 ; 2 3; 2 3; 2 3

2

2 2 3

−

hoặc 2 3; 2 3; 2 3; 1

−

−

Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 25500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) 9 ; 11 ; 7 ;13 ; 5 ;10 ; 5 ;11 ; 16 ;13 ; 29 ; 31

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2

b) B 2 cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x

c) C 2sin x sin(5 x) sin 3 x cos x

d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)

a) A

sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )

cot 572 tan( 212 )

b) B sin( 234 ) cos216 tan3600 00 0

sin144 cos126

=

c) C=cos200+cos400+cos600+ + cos1600+cos1800 ĐS: C= −1

d) D=cos 102 0+cos 202 0+cos 302 0+ + cos 1802 0 ĐS: D 9=

e) E=sin 200+sin 400+sin600+ + sin3400+sin3600 ĐS: E 0=

f) 2sin(7900+ +x) cos(12600− +x) tan(6300+x).tan(12600−x) ĐS: F= +1 cosx

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C+ + =π và A B C

2 2 2 2

π + + =

a) sin4x−cos4x = −1 2 cos2x

b) sin4x+cos4x = −1 2 cos sin2x 2x

c) sin6x+cos6x = −1 3sin cos2x 2x

d) sin8x+cos8x = −1 4sin cos2x 2x+2sin cos4x 4x

e) cot2x−cos2x = cos cot2x 2x

f) tan2x−sin2x = tan sin2x 2x

g) 1 sin+ x+cosx+tanx = +(1 cos )(1 tan )x + x

h) sin tan2x x+cos cot2x x+2sin cosx x =tanx+cotx

sin cos 1 2 cos

1 cos sin cos 1

x

2

2 2

1 sin 1 tan

1 sin

−

tan tan tan tan

cot cot

+

=

2 2

sin cos cos sin 1 cot

+

sin cos

1 cot 1 tan

2

2

sin sin cos sin cos sin cos tan 1

+

2 2

1 cos 1 (1 cos ) 2 cot

tan .1 cot 1 tan

1 tan cot tan cot

2

2

1 sin 1 sin 4 tan

1 sin 1 sin

tan tan sin sin tan tan sin sin

6

sin tan tan

cos cot

sin cos

sin +cos = 1 , , > 0

+ Chứng minh:

( )

a) (1 sin )cot− 2x 2x+ −1 cot2x b) (tanx+cot )x 2−(tanx−cot )x 2

cos cos cot

sin sin tan

+

( sin − cos ) +( cos + sin )

sin tan

cos cot

−

sin cos cos cos sin sin

g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x + x + 2x + x h) x x x

1 cos 1 cos ; (0, )

1 cos+ − 1 cos− ∈ π

1 sin 1 sin ; ;

π π

2 2

π π

a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x − 6x+cos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8x−cos ) 4(cos8x + 6x−2sin ) 6sin6x + 4x ĐS: 1

c) (sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x ĐS: 2

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

2 3

f) x x x x

tan cos cot sin

sin cos 1

sin cos 1

3 2

a) sinB=sin(A C+ ) b) cos(A B+ )= −cosC

c) sin A B cosC

+ = d) cos(B C− )= −cos(A+2 )C

e) cos(A B C+ − )= −cos2C f) cos 3A B C sin 2A

2

g) sin A B 3C cosC

2

Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng

sin(a b+ ) sin cos= a b + sin cosb a

sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b

cos(a b− ) cos cos= a b+ sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

− tan tan tan( )

1 tan tan

a b

−

+

a) 15 ; 75 ; 1050 0 0 b) ; 5 ; 7

12 12 12

a) tan khi sin 3,

b) cos khisin 12 3, 2

−

c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1

144

− d) sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a b+ ) khi sina 8 , tanb 5

= = và a, b là các góc nhọn.

ĐS: 21 140; ; 21 .

221 221 220 e) tana+tan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b

< < + = và tan tana b = −3 2 2 Từ đó

suy ra a, b ĐS: 2 2 2− ; tana tanb 2 1,a b

8

π

a) A = sin 202 o+sin 1002 o+sin 1402 o ĐS: 3

2 b) B = cos 102 o+cos110o+cos 1302 o ĐS: 3

2 c) C = tan 20 tan80o o+tan80 tan140o o+tan140 tan 20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan 70o o+tan 70 tan130o o+tan130 tan190o o ĐS: –3

e) E = cot 225o ocot 79 cot 71o o o

cot 259 cot 251

−

2

− g) G = 1 tan15o0

1 tan15

−

HD: 400 =600−20 ; 800 0=600+200; 500 =600−10 ; 700 0 =600+100

a) sin(x y+ ).sin(x y− ) sin= 2x−sin2y

2sin( ) tan tan

cos( ) cos( )

+

c) tan tanx x tan x tan x 2 tan x 2 tanx 3

d) cos x cos x cos x cos x 3 2(1 3)

e) (cos70o+cos50 )(cos230o o+cos290 )o +(cos40o+cos160 )(cos320o o+cos380 ) 0o =

tan 2 tan tan tan3

1 tan 2 tan

−

=

−

a) 2 tana=tan(a b khi+ ) sinb=sin a cos a b( + )

b) 2 tana=tan(a b khi+ ) 3sinb=sin(2a b+ )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2 cos(a b)

3

k

1 tan( ).tan cos( 2 ) cos

1

−

+

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

a) sinC=sin cosA B+sin cosB A

0 sin tan tan ( , 90 )

c) tanA+tanB+tanC=tan tan tan ( , ,A B C A B C ≠90 )0

d) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C

sin cos sin cos

h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C

i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 900

g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos A B C

2 2 2

i) Khai triển sin A B C

2 2 2

Chú ý: Từ cos B C sinA

 + =

  ⇒ cos cosB C sinA sin sinB C

⇒ sin cos cosA B C sin2 A sin sin sinA B C

a) tanA+tanB+tanC ≥3 3,∀∆ABC nhọn

b) tan2 A+tan2B+tan2C ≥9,∀∆ABC nhọn

c) tan6A+tan6B+tan6C≥81,∀∆ABC nhọn

d) tan2 A tan2 B tan2C 1

2 + 2 + 2 ≥

e) tanA tanB tanC 3

2 + 2 + 2 ≥

HD: a, b, c) Sử dụng tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C và BĐT Cơ–si

d) Sử dụng a2+b2+c2≥ab bc ca+ +

và tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

e) Khai triển tanA tanB tanC 2

Bài 8.

a)