Công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1.
Trang 1VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi
sin 2 α = 2sin cos α α
cos2 α = cos α − sin α = 2 cos α − = − 1 1 2sin α tan 2 2tan2 ; cot 2 cot2 1
2cot
1 tan
α α
−
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2 sin
2
1 cos2 cos
2
1 cos2 tan
1 cos2
α α
α α
α α
α
−
= +
=
−
= +
3 3
3 2
sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
α
α
−
=
−
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) cos2 , sin2 , tan 2 khi cos 5 , 3
π
α α α α = − π α < <
b) cos2 , sin2 , tan 2 α α α khi tan α = 2
c) sin , cos khi sin 2 4 , 3
α α α = − < < α
d) cos2 , sin2 , tan 2 khi tan 7
8
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A cos20 cos40 cos60 cos80 = o o o o ĐS: 1
16
8 c) C cos cos 4 cos 5
8
d) D = cos10 cos50 cos700 0 0 ĐS: 3
8 e) E sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 = o o o o ĐS: 1
16 f) G cos 2 cos 4 cos 8 cos 16 cos 32
32 h) H sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin85 = o o o o o ĐS: 2
512 i) I = cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3
256 k) K 96 3 sin cos cos cos cos
l) L cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 5 cos 6 cos 7
128
Trang 2m) M sin cos cos
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
n
P
a
sin cos cos cos cos
2
cos cos cos
cos cos cos
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin cos4 4x 3 1 cos4 x
4 4
8 8
c) sin cos x 3x cos sin x 3x 1 sin 4 x
4
− = d) sin6 x cos6 x 1 cos (sin x 2x 4)
e) 1 sin x 2sin2 x
4 2
π
x
2 2
2 cot cos
g)
x x
x
1 cos
2
4 2 sin
2
π π
π
x
1 sin 2 tan
π
+ = +
x
cos cot
π
tan 2 tan tan tan3
1 tan tan 2
−
=
− l) tan x = cot x − 2 cot x m) x x
x
2 cot tan
sin 2
n) 1 1 1 1 1 1 cos x cos , x với 0 x
π
Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 7: Cơng thức biến đổi
1 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) tan tan
cos cos
a b
+
sin( ) tan tan
cos cos
a b
−
sin( ) cot cot
sin sin
a b
+
b a
sin( ) cot cot
sin sin
−
Trang 3sin cos 2.sin 2.cos
α + α = α + ÷ = α − ÷
α − α = α − ÷ = − α + ÷
2 Công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a) 2sin( a b + ).cos( a b − ) b) 2 cos( a b + ).cos( a b − )
c) 4sin3 sin 2 cos x x x d) 4sin 13 x .cos cos x x
e) sin( x + 30 ).cos(o x − 30 )o f) sin sin 2
g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x
i) sin x sin x cos2 x
k) 4 cos( a b − ).cos( b c − ).cos( c a − )
Bài 2. Chứng minh:
a) 4 cos cos x x cos x cos3 x
− + =
b) 4sin sin x 3 x sin 3 x sin3 x
− + =
Áp dụng tính:
A sin10 sin50 sin 70 = B cos10 cos50 cos70 = o o o
C = sin20 sin 40 sin800 0 0 D = cos20 cos40 cos800 0 0
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a) 2sin 4 x + 2 b) 3 4 cos − 2x
c) 1 3tan − 2x d) sin 2x+sin 4x+sin 6x
e) 3 4 cos4 + x + cos8 x f) sin 5 x + sin 6 x + sin 7 x + sin8 x
g) 1 sin 2 –cos2 –tan 2 + x x x h) sin (2 x + 90 ) 3cos (o − 2 x − 90 )o
i) cos5x+cos8x+cos9x+cos12x k) cosx+sinx+1
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin8 sin 9 sin10
=
B
sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5
=
1 cos cos2 cos3
cos 2 cos 1
=
D
sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6
=
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A cos cos 2
c) C = sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) D = sin 172 o+ sin 432 o+ sin17 sin 43o o
Trang 4e) E 1 o 2sin 70o
2sin10
sin10 cos10
g) G tan80o o o cot10o o o
cot 25 cot 75 tan 25 tan 75
h) H = tan 90− tan 270− tan 630+ tan810
ĐS: A 1
2
64
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin sin 7 sin 13 sin 19 sin 25
32 b) 16.sin10 sin30 sin 50 sin 70 sin 90o o o o o ĐS: 1
c) cos24o+ cos48o− cos84o− cos12o ĐS: 1
2 d) cos 2 cos 4 cos 6
2
− e) cos cos 2 cos 3
2 f) cos cos 5 cos 7
g) cos 2 cos 4 cos 6 cos 8
h) cos cos 3 cos 5 cos 7 cos 9
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) tan 9o− tan 27o− tan 63o+ tan81o = 4
b) tan 20o− tan 40o+ tan80o = 3 3
c) tan10o− tan 50o+ tan 60o+ tan 70o = 2 3
d) tan30o tan 40o tan 50o tan60o 8 3 .cos20o
3
e) tan 20o+ tan 40o+ tan80o+ tan 60o = 8sin 40o
f) tan 206 o− 33tan 204 o+ 27tan 202 o− = 3 0
Bài 8. Tính các tổng sau:
a) S1= cos α + cos3 α + cos5 α + cos(2 + n − 1) α ( α ≠ k π )
2 = sin π + sin 2 π + sin 3 π + sin + ( − 1) π .
3= cos π + cos 3 π + cos 5 π + cos (2 − 1) π .
cos cos2 cos2 cos3 cos4 cos5 5
π
= + ÷ + ÷ + ÷ + ÷
Trang 5ĐS: S n
1 sin2
2sin
α α
n
2 cot
2
π
n
3= − cos π ;
S
a
4 tan 5 tan 1 5
sin
−
n x S
x
1
5 tan 2 tan 2
−
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng: sin3x 1 (3sin x sin3 ) (1) x
4
b) Thay x an vào tính Sn 3a 3 a n 1 3 an
2
(1), sin 3sin 3 sin
3
−
ĐS: Sn 1 3 sinn an sin a
Bài 10.
a) Chứng minh rằng: a a
a
sin2 cos
2sin
b) Tính Pn x x xn
2
cos cos cos
n
x P
x
sin .
2 sin 2
=
Bài 11.
a) Chứng minh rằng: x x
x
1 cot cot sin = 2 − . b) Tính S 1 1 1n 1 (2n 1 k )
2
Bài 12.
a) Chứng minh rằng: tan tan 22x x = tan 2 x − 2 tan x
b) Tính Sn 2a a 2 a a n 1 2 an na
tan tan 2 tan tan 2 tan tan
ĐS: Sn tan a 2 tann an
2
Bài 13.Tính sin 2 , biết: 2 x
tan + cot + sin + cos = ĐS:
8 9
Bài 14.Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cot x − tan x − 2 tan2 x = 4 cot 4 x b) x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin 4 1 tan 2
2 6
x
1 sin 2 cos2 tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
+ e) tan 6 x − tan 4 x − tan 2 x = tan 2 tan 4 tan 6 x x x
x
sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6
g) cos5 cos3 x x + sin 7 sin x x = cos2 cos4 x x
Bài 15.
a) Cho sin(2 a b + = ) 5sin b Chứng minh: a b
a
2 tan( ) 3 tan
Trang 6b) Cho tan( a b + ) 3tan = a Chứng minh: sin(2 a + 2 ) sin2 b + a = 2sin 2 b
Bài 16.Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sin A sin B sin C 4 cos cos cos A B C
b) cos A cos B cos C 1 4sin sin sin A B C
c) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4sin sin sin A B C
d) cos2 A + cos2 B + cos2 C = − − 1 4 cos cos cos A B C
e) cos2A + cos2B + cos2C = − 1 2 cos cos cos A B C
f) sin2A + sin2B + sin2C = + 2 2 cos cos cos A B C
Bài 17.Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:
a) B C và sin sin B C 1
π
b) B C 2 và sin cos B C 1 3
Bài 18.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:
a) cos2 A + cos2 B + cos2 C = − 1 b) tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = 0
cos + cos = sin sin d)
B a c b
cot 2
+
=
Bài 19.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a) a tan A b tan B ( a b )tan A B
2
+ + = + b) 2 tan B + tan C = tan tan2B C
sin sin 1 (tan tan )
cos cos 2
C
2sin sin cot
2 = sin
Bài 20.Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) sin A sin B sin C 3 3
2
3
π vào VT.
b) cos A cos B cos C 3
2
3
π vào VT.
c) tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 (với A, B, C nhọn)
d) cos cos cos A B C 1
8
≤ HD: Biến đổi cos cos cos A B C 1
8
− về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)