Bai tap luong giac Lop 10

Dùng cung liên kết không dùng máy tính, hãy tính các giá trị sau: 0.. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức không dùng máy tính cos.[r]

CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các hệ thức lượng giác 2 tan a = sin a cosa cot a = cosa sin a sin a + cos a = 1 1 + tan2 a = 1+ cot2 a = cos a sin2 a tan a.cot a = Giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biệt 2.1 Cung đối nhau: a và - a 2.2 Cung bù nhau: a và p - a cos(- a) = cosa sin(p - a) = sin a sin(- a ) = - sin a cos(p - a) = - cosa tan(- a) = - tan a tan(p - a) = - tan a cot(- a) = - cot a cot(p - a) = - cot a 2.3 Cung kém p : a và a + p p - a sin(a + p) = - sin a 2.4 Cung phụ nhau: a và cos(a + p) = - cosa æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ÷ ÷ sinç a = cos a cos a = sin a ç ç tan(a + p) = tan a ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2 è ø è ø cot(a + p) = cot a æ ö æ ö p p ÷ ÷ tanç = cot a cot ç = tan a ç - a÷ ç - a÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è2 ø è2 ø Công thức lượng giác 3.1 Công thức cộng 3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin(a + b) = sina cosb + sinbcosa sin2a = 2sina cosa sin(a - b) = sina cosb - sinbcosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb = 1- 2sin2 a cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb 2tana tan2a = tana + tanb tan(a + b) = 1- tan2 a 1- tana tanb sin3a = 3sina - 4sin3 a tana - tanb tan(a - b) = cos3a = 4cos3 a - 3cosa + tana tanb 3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích 3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng a +b a- b ù cosa + cosb = 2cos cos cosa cosb = é ëcos(a + b) + cos(a - b)ú û 2 2ê a +b a- b ù cosa - cosb = - 2sin sin sina sinb = - é êcos(a + b) - cos(a - b)û ú 2 2ë a +b a- b ù sina + sinb = 2sin cos sina cosb = é êsin(a + b) + sin(a - b)û ú 2 2ë a +b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 3.5 Công thức hạ bậc + cos2a 1- cos2a cos2 a = sin2 a = 2 1- cos2a tan2 a = + cos2a BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG æ ö p ÷ ÷ sin a = 0,8ç < a < p Tính cosa , tan a , cot a ç ÷ ç ÷ è ø Ví dụ Cho 2 Giải: Áp dụng công thức: sin a + cos a = Þ cos2 a = 1- sin2 a = 1- 0,82 = 0,36 Þ cosa = ±0,6 p <a <p Vì nên cosa < Do đó cosa = - 0,6 tan a = sin a 0,8 = =cosa - 0,6 cot a = cosa - 0,6 = =sin a 0,8 2sin x + 3cosx 3sin x - 2cosx biết tan x = - Ví dụ Tính ìï sin x ï =- tan x = - Û ïí cosx Û sin x = - 2cosx ïï cosx ¹ ïî Giải: B= B= 2sin x + 3cosx - 2cosx + 3cosx cosx - = = = 3sin x - 2cosx - 2cosx - 2cosx - 4cosx A= 2cos2 x - sin x + cosx Ví dụ Đơn giản biểu thức: 2cos2 x - (sin2 x + cos2 x) cos2 x - sin2 x (cosx - sin x)(cosx + sin x) A= = = = cosx - sin x sin x + cosx sin x + cosx sin x + cosx Giải: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ví dụ Tính GTLG các cung (góc): 315 Giải: sin3150 = sin(- 450 + 3600) = sin(- 450) = - sin450 = cos3150 = cos(- 450 + 3600) = cos(- 450) = cos450 = 2 2 sin3150 - sin450 tan315 = = =- cos3150 cos450 cot 3150 = =- tan3150 0 0 Ví dụ Tính A = cos0 + cos20 + cos40 + L + cos160 + cos180 Giải: 0 Ta có: cos180 = - cos0 cos1600 = - cos200 cos1400 = - cos400 Do đó: A = MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN Điền các giá trị thích hợp vào ô trống Độ 00 150 300 450 600 750 5p 11p 900 1200 1500 1800 Radian Radian p 16 p - 3p 7p - - 13p 24 4p - p 12 - 3p Độ BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC p 15p 2010p Bài Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A: 30 ; - 45 ; 750 ; ; ; p p p p k2p p kp p k3p k k k + + + ; 2 ; 4 (k Î ¢ ) Bài Xác định điểm cuối cung có số đo: k2p ; kp ; ; ; ; Ð Ð p kp sdAM = sdAN = và 798 với k Î ¢ Tìm k Î ¥ cho: Bài Cho hai điểm M và N cho a) M và N trùng b) M và N đối xứng qua O GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài Xác định dấu các giá trị lượng giác biểu thức: æ pö æ ö æ pö æ pö 3p p ÷ ÷ ÷ ÷ sinç cosç tanç cot ç çx + ÷ çx - ÷ çx + ÷ ç - x÷ ÷ ÷ ÷ ÷ < x < ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 4ø 2ø 2ø è è2 ø; è è a) ; ; với 0 - 0 0 b) A = sin40 cos(- 290 ) c) B = sin(- 25 ).cos170 æ 2p ö 3p ÷ 4p p 4p 9p ÷ C = cot sinç ç ÷ D = cos sin tan cot ç ÷ 3ø è 3 d) e) Bài Tính các giá trị lượng giác còn lại biết: 3p sin a = p <a < cosx = với 13 với 1800 < x < 2700 a) b) 3p < b < 2p 0 c) tan b = - với d) cot x = - với 90 < x < 180 Bài Tính giá trị các biếu thức lượng giác sau: 5cot x + 4tan x 2sin x + cosx A1 = A2 = 5cot x - 4tan x và cosx - 3sin x a) Cho tan x = - Tính 3sin x - cosx sin x - 3cosx B2 = sin x + cosx và sin x + 3cosx b) Cho cot x = Tính p cot x + tan x tan x - cosx sin x = 0< x < C1 = C2 = với Tính cot x - tan x và cot x c) Cho sin x p cot x + tan x D2 = cot x + cosx = <x <p D1 = + cosx với cot x - tan x và d) Tính B1 = sin x + cosx = Hãy tính giá trị biểu thức sau: Bài Cho a) A = sin x.cosx b) B = sin x - cosx Bài Cho tan x - cot x = Hãy tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A = tan x + cot x b) B = tan x + cot x 3 c) C = sin x - cos x 4 c) C = tan x - cot x Bài Tính sin x,cosx, tan x,cot x Biết rằng: a) sin x + cosx = b) sin x - cosx = c) tan x + cot x = Bài Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau: a) sin150 æ 16p ÷ ö ÷ cosç ç ÷ ç è ÷ ø f) b) cot135 æ 19p ö ÷ ÷ cot ç ç ÷ ç ÷ è ø g) c) cos11p æ 159p ö ÷ ÷ tanç ç ÷ ç ÷ è ø h) d) sin13p æ 115p ö ÷ ÷ sinç ç ÷ ç ÷ è ø i) e) cot 7p Bài Rút gọn các biểu thức sau: æ ö æ ö æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ A = cosç a + sin a cos + a sin + a ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç2 ç2 ç2 ÷ ÷ ÷ ÷ è2 ø è ø è ø è ø a) æ ö æ ö æ 7p ÷ ö æ 7p ö 3p 3p ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ B = cosç a sin a + cos a sin aç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ 2 2÷ 2ø è ø è ø è ø è b) æ ö æ ö 7p 3p ÷ ÷ ç ÷ ÷ C = 2cosx + 3cos(p - x) - sinç x + tan x ç ç ÷ ÷ ç ç2 ÷ ÷ è ø è ø c) æ ö æ ö æ ö p 3p p ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ D = 2sinç + x + sin(5 p x ) + sin + x + cos + x ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç2 ÷ ÷ ÷ 2 è ø è ø è ø d) Bài Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 a) cos a - sin a = 1- 2sin a b) 2cos a - = 1- 2sin a 2 c) - 4sin a = 4cos a - d) sin a cot a + cosa tan a = sin a + cosa 4 2 4 2 e) sin a + cos a = 1- 2sin a cos a f) cos a - sin a = cos a - sin a 3 4 2 g) sin a cosa + sin a cos a = sin a cosa h) sin a - cos a = 1- 2cos a = 2sin a - Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau: 1- cosx sin x 1 = + =1 tan x + cot x = + cosx sin x cosx a) b) sin x c) + tan x + cot x æ öæ ö ÷ ÷ tan x + tan y ç ç ÷ ÷ + tan2 x = + sin x = 1+ 2tan2 x ç1ç1 + tan x tan y = ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç cosx øè cosx ø cot x + cot y d) è e) 1- sin x f) cosx sin x 1+ cosx 1- cot4 x = tan x + = + = + sin x cosx sin x sin x sin x sin x g) h) i) + cosx Bài 11 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : 4 2 a) A = cos x - sin x + 2sin x b) B = sin x + sin x cos x + cos x ( ) ( ) D = cos4 x 2cos2 x - + sin4 x 2sin2 x - 2 c) C = cos x + sin x cos x + sin x d) 6 4 2 2 2 e) E = sin x + cos x - 2sin x - cos x + sin x f) F = cos x cot x + 5cos x - cot x + 4sin x Bài 12 Chứng minh A, B,C là ba góc tam giác thì: a) sin B = sin(A + C ) b) cos(A + B ) = - cosC A +B C = cos 2 c) e) cos(A + B - C ) = - cos2C sin d) cos(B - C ) = - cos(A + 2C ) f) sin(A + 2B + C ) = - sin B - 3A + B + C = - sin2A g) cot(A - B + C ) = - cot2B h) Bài 13 Rút gọn và tính giá trị biểu thức (không dùng máy tính) cos 0 0 a) A = cos0 + cos20 + cos40 + L + cos160 + cos180 0 0 b) B = cos10 + cos40 + cos70 + L + cos140 + cos170 0 0 c) C = tan20 + tan40 + tan60 + L + tan160 + tan180 0 0 d) D = cot15 + cot 30 + cot 45 + L + cot150 + cot165 0 0 e) E = sin5 + sin10 + sin15 + L + sin355 + sin360 0 0 f) F = cot15 cot 35 cot 55 cot 75 0 0 g) G = tan1.tan2 tan3 K tan89 2 2 h) H = sin 10 + sin 20 + sin 30 + L + sin 80 + sin 90 2 2 i) I = cos 10 + cos 20 + cos 30 + L + cos 170 + cos 180 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Không dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức: 0 0 0 0 a) A = sin12 cos48 + cos12 sin48 b) B = cos38 cos22 - sin38 cos22 0 0 c) C = sin10 cos55 - cos10 sin45 0 0 e) E = cos11.cos21 + cos69 cos79 - cos10 Bài Tính giá trị biểu thức: + tan150 A= 1- tan150 a) 0 0 0 d) D = sin200 sin310 + cos340 cos50 0 0 f) F = cos68 cos78 + cos22 cos12 - sin100 b) sin10 cos20 + sin20 cos10 C = cos170 cos130 - sin170.sin130 c) 2 e) E = sin 20 + sin 100 + sin 140 B= tan250 + tan200 1- tan250.tan200 D= sin730.cos30 - sin870.cos170 cos1320.cos130 + cos420.cos280 d) 2 f) F = cos 10 + cos 110 + cos 130 0 0 0 g) G = tan20 tan80 + tan80 tan140 + tan140 tan20 0 0 0 h) H = tan10 tan70 + tan70 tan130 + tan130 tan190 Bài Tính giá trị các biểu thức sau: æ pö p ÷ sin a = A = cosç a+ ÷ ç ÷ 0< a < ç ÷ è ø biết và a) æ ö p ÷ 12 3p ÷ B = sinç a ç ÷ cosa = p <a < ç ÷ è ø biết 13 và b) æ pö p ÷ C = tanç ça + ÷ ÷ sin a = <a <p ÷ ç è ø biết và c) æ pö 3p ÷ D = cot ç ça - ÷ ÷ sin a = p < a < ÷ ç 4ø è và d) biết sin a = sin b = 00 < a < 900 5, 17 , Bài Biết và A = cos(a + b) và B = sin(a - b) ( ) ( 90 < b < 1800 ) Hãy tính giá trị biểu thức tan b = 17 , 12 và a , b là các góc nhọn Hãy tính giá trị các biểu thức A = sin(a - b) , Bài Biết B = cos(a + b) và C = tan(a + b) sin a = Bài Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin(x + y)cos(x - y) + sin(x - y)cos(x + y) 0 0 b) B = cos(40 - x)cos(x + 20 ) - sin(40 - x)sin(x + 20 ) 0 0 c) C = sin(x + 10 )cos(2x - 80 ) + sin(x + 100 )cos(2x + 10 ) æ pö æ ö æ ö æ pö p p ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ D = sinç x cos x + sin x cosç x- ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 4 3ø è ø è ø è ø è d) æ p÷ ö æ pö æ p÷ ö æ 3p ÷ ö ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ E = cosç cos x + + cos x + cos x + çx - ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 3÷ 4ø 6÷ 4÷ è ø è è ø è ø e) æ p÷ ö æ ö æ ö æ ö 9p 5p 5p ÷ ÷ ÷ F = sinç cosç - sinç cosç çx - ÷ ç - x÷ ç - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç4 ç4 ç3 3÷ è ø è ø è ø è ø f) Bài Chứng minh các đẳng thức sau: æ pö æ pö ÷ ç ÷ ÷ cosx + sin x = 2cosç x = 2sin x+ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø 4ø è è a) æ pö æ pö ÷ ÷ ç ÷ ÷ cosx - sin x = 2cosç x + = 2sin ç ç ÷ ÷ ç çx - 4ø ÷ ÷ 4ø è è b) 2 2 c) sin(x + y)sin(x - y) = sin x - sin y = cos y - cos x 2 2 d) cos(x + y)cos(x - y) = cos x - sin y = cos y - sin x Bài Chứng minh các đẳng thức sau: æ ö æ ö æ p÷ ö æ p÷ ö p p ÷ ÷ sinç - sinç = 2sin x 4sin ç sin ç = 4sin2 x - ç + x÷ ç - x÷ çx + ÷ çx - ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 3ø è 3ø è4 ø è4 ø è a) b) æ p÷ ö æ p÷ ö æ 2p ÷ ö æ 2p ÷ ö tan x.tanç + tanç tanç + tanç tan x = - çx + ÷ çx + ÷ çx + ÷ çx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 3÷ 3÷ 3÷ 3÷ è ø è ø è ø è ø c) æ pö æ pö æ pö æ 3p ö ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ cosç cos x + + cos x + cos = 1- çx - ÷ ç ç çx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ÷ è ÷ ç ç ç ç 3ø 4ø 6ø 4ø è è d) Bài Chứng minh các đẳng thức sau: cos(a - b) cot a cotb + sin(a - b) sin(b - c) sin(c - a) = + + =0 a) cos(a + b) cot a cotb - b) cosa cosb cosbcosc cosc cosa ( ) sin(a + b)sin(a - b) cos(a + b)cos(a - b) = tan2 a - tan2 b = 1- tan2 a tan2 b 2 2 cos a cos b cos a cos b c) d) x Bài 10 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến æ ö æ ö æ ö æ ö p p 2 çp çp ÷ ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ A = sin2 x + cosç x cos + x B = cos x + cos x + cos + x ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç3 ç ç3 ÷ è ÷ ÷ ÷ è3 ø ø è3 ø è øb) a) b) æ ö æ ö æ 2pö æ 2p ö 2p ç2p 2ç 2ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ C = sin2 x + sin2 ç x + sin + x D = cos x + cos x + + cos xç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 è ø è ø è ø è ø c) d) Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) p 2p B = cos cos 0 5 a) A = cos36 cos72 b) d) D = sin p p p cos cos 16 16 0 e) E = sin10 sin50 sin70 p p p C = sin cos cos 8 c) p 2p 4p F = cos cos cos 7 f) p 4p 5p G = cos cos cos 0 0 7 g) h) H = sin6 cos12 cos24 cos48 Bài 12 Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a) + cosx + cos2x + cos3x b) sin x - sin3x + sin7x - sin5x c) sin x - sin2x + sin5x + sin8x d) cos10x - cos8x - cos6x + e) cos9x - cos7x + cos3x - cosx f) cos7x + sin3x + sin2x - cos3x