BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:1. Góc và cung lượng giác:. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 3600.. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng 180Rπ và có số đo 10.. Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng 180aRπ.. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.. Cung có số đo bằng a0 ứng với α radian công thức đổi đơn vị là: πα=00180a.. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α. y. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ zOx đến Oy..Đường tròn lượng giác là đường tròn O xBán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn mộtchiều làm chiều dương (+).Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(1; 0), B’(0; 1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ.. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C.. Số đo của góc và cung lượng giác:sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π.sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = α + k2π. y B S M P T A’ O Q A x B’. Hệ thức Salơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.Ta có: .cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======ααααNhận xét: 1 ≤ cosα ≤ 1, 1 ≤ cosα ≤ 1.cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.tanα = ααcossin xác định khi α ≠ ,2ππk+ cotα = ααsincos xác định khi α ≠ α ≠ kπ sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1..sin1cot1,cos1tan12222αααα=+=+.
Trang 1Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc và cung lượng giác:
* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 3600
* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng 180R và có số đo 10
* Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 a 360) thì có độ dài bằng 180aR
* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
* Cung có số đo bằng a0 ứng với radian công thức đổi đơn vị là:
0
0
180
a
* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R. y
* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ
* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C
* Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = + k2
sđAM = a0 + k3600
hoặc sđAM = + k2
y
B S
M
P T
A’ O Q A x
B’
* Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK
2 Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = + k2 (k Z).)
Trang 2Ta có: cos OQx, sin OPy, tan AT, cot BS.
Nhận xét: - 1 cos 1, - 1 cos 1
cos( + k2) = cos, sin( + k2) = sin, tan( + k) = tan, cot( + k) = cot
tan =
cos
sin xác định khi ,
2
k
cot =
sin
cos xác định khi k
sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin2 + cos2 + 1
sin
1 cot
1 , cos
1 tan
2 2
* Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
6
4
2
3
2
4
3
6
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau: - và :
cos(-) = cos, sin(-) = - sin, tan(-) = - tan, cot(-) = - cot
* Cung bù nhau: - và :
sin( - ) = sin, cos( - ) = - cos, tan( - ) = - tan, cot( - ) = - cot
* Cung hơn kém : + và :
sin( + ) = - sin, cos( ) = - cos, tan( + ) = tan, cot + ) = cot
* Cung phụ nhau: 2 - và :
2 = cos, cos
2 = sin, tan
2 = cot, cot
2 = tan
* Cung hơn kém
2
: 2
+ và :
2 = cos, cos
2 = - sin, tan
2 = - cot, cot
2 = - tan
Trang 34 Các công thứ lượng giác khác:
* Công thức cộng:
cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin
tan( + ) = 1tan tantantan , tan(– ) = 1tantan tantan
* Công thức nhân đôi:
cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 – 2sin2;
sin2 = 2sincos; tan2 = .
tan 1
tan 2
2
* Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1 cos
; 2 sin 2
* Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
1 cos sin
; ) cos(
) cos(
2
1
sinsin = - cos( ) cos( ).
2
1
* Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
cos 2 cos
2
sin 2 sin
2
2
cos 2 sin
2
sin 2 cos
2
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1 a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 450, 12000, - 8300
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
4 6
; 2 3
0
k k
c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)
2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác biết cos 0,5 Tìm miền giá trị của sin, tan và cot
3 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;
x;
tan tanx) -2x tanx)(sin
-(tan2x d)
; cosx 1
sinx sinx
cosx
-1
; cos4x -1
2cos4x 6
x cot
x tan g) x;
tan x sin
x sin
-x cos
x cos
x cos x sin
4 2
2
4 2
2
h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;
Trang 4i) x cosx.
3
2 cos 3 2x cos -6
x cos 3 2x
4 Rút gọn các biểu thức sau:
; 1 -cosx
x 2cos
1 cosx cos2x
cos3x C
; tanx) x(1
cos cotx) x(1
sin B
; sinx
1
-x 2cos
; cosx -1 cosx 1
cosx -1 cosx 1
E
; x sin
cosx) -(1 1 sinx
cosx 1
2
; cos4a cos3a
cos2a
a
cos
sin4a sin3a
sin2a
sina
F
cosb cosa
) -)sin(a sin(a
G
; cos98 2cos638
) cos(-188 2520
sin 2 tan368
1
0 0
0
2
x tan cosx -1
cosx 1
5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;
S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna
6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
3
3
x cos 6
x cos 4
x cos 3
-x cos
x cos
-x sin E
; x -3
2 cos 3
2
x cos
x cos
8 8
2 2
2
x x
F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x;
y xcot cot -y xsin
sin
y sin
-x
cos
2 2
2 2
7 CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin 8
8
1
x Áp dụng: Tính giá trị các biểu
thức:
A = sin60.sin420.sin660.sin780;
7
5 cos 7
3 cos 7 cos
8 a) Cho cosx = - và 108 x 270
5
Tính sinx, tanx và cotx
b) Biết tan .
2
a
m
Tính tanatana-sinasina
c) Biết tana + cota = m, ,
2 a
0 tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện của m
d) Cho sina + cosa = m với - 2 m 2 Tính sin2a, sina, cosa
9 Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
24
11 sin 24
7 sin 24
5 sin 24 sin B
; 12
5 cos 12
11 sin
C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800
E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400
F = sin100.sin500.sin700; .
12
5 tan 12 tan
H = tan50tan550tan650
Trang 5; 7
3 cos 7
2 cos -7 cos
24
sin 24
5 sin 12
7 sin 12
5 cos
10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
2
A C tan 2
A -C tan a c
a -c
; 2
C B tan 2
C -B tan c b
c -b
; 2
B
A tan 2
B
-A tan b a
b -a
11 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ;
cosc cosa.cosb.
c) b sin(a
b) tana.tan3 a;
a 2a.tan tan
-1
a tan -2a tan
2 2
2 2
b acos cos
b) -b)sin(a sin(a
b tan -a tan
cos4x 4
1 4
3
x cos
x sin f)
; sina cosa
sina -cosa sin2a
1
cos2a e)
0;
2
3 -cos4x 2
1 -2cos2x
-x 4cos
8
3 sin80 sin40
sin20 h) 0;
9
7 cos 9
5 cos 9 cos
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu cos(x cos(x -y)y)21 thì tanxtany = .
3
1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
2 2y
x
13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
14 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
; 2
C sin 2
B sin 2
A 4sin 1
cosC cosB
cosA
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C cot 2
B cot 2
A
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B cot a) -(c 2
A cot c) -(b 2
C cot b)
-(a
2
C sin 2
B sin 2
A 4Rsin
r
m)
1;
2
A tan 2
C tan 2
C tan 2
B tan 2
B tan
2
A
tan
Trang 6; 2
C cos 2
B cos
2
A p.sin a
sinC
B) -sin(A c
b -a p) 2
2 2
; 2
C tan 2
B tan 2
A p.tan
r
q)
; 2
A sin
2
C sin 2
B asin
r
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
p R
s)
; 2
C sin 2
B sin 2
A
sin
4R
r
)
cosC;
cosB cosA
R
r 1
R
2pr
2
C tan 2
B tan 2
A tan p
r 4R
0;
)cotC b
-(a )cotB a
-(c )cotA
c
-(b
; B) -2sin(A
)sinAsinB b
-(a S
y) 2 2 a sin2B b sin 2 A
4
1 S
15 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
; b) p p-a p-b p-c 3p;
abc
R c b a cotC cotB
cotA
a)
2 2 2
; c
1 b
1 a
1 2 c -p
1 b -p
1 a
-p
1
d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
16 Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
c -b -a c -b a a
4 3 sinBsinC c) 1 3cosB C)
A cos(
a a -c b a -c b b) 2;
sinBcosC
sinA
2 2
3 3 3
; c -b a c -b -a a 4 cosBcosC e) a a
-c
b
a
-c
b
a 2bcosC
2 2
3 3
3
R sin A sin B sin C
3
2 S
8
1 sC cosAcosBco
i)
; 2
C 2cot tanB
tanA h)
; cosC cosB
sinC sinB
sinA
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 3
cosC cosB
cosA
sinC sinB
sinA
17 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
18 Chứng minh ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA
c)
; b
c a 2
B cot b)
; sinBsinC
a cosC
c cosB
b
2
C sin 2
B sin 2 2p h f) sin2B;
a 4
1 S e)
; a
2bc C) -cos(B
19 Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi:
a
c -b C) -sin(B b)
; 2
B -C tan b c
b -c
Trang 720 Chứng minh rằng ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC;
tan tanC 2tanB
b)
; 2
B
A b)tan (a
b.tanB a.tanA
B);
cot
A cot ( 2
1 B sin
A sin
B cos
A cos d) B);
tan(A 2
1 cosB cosA
sinB sinA
2 2
2 2
; sinC
2sinAsinB 2
C cot f)
; 2
C sinB)cot (sinA
cos
B sin cosA
A sin
e)
2 2
; 2
B ptan 2
C cot b) -(p h)
; 2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
A sin
0 A) -bsin(C C)
-asin(B
l) btanB);
(atanA 2
C tan b a k)
; c -4a
c 2a sinB
cosB 1
i)
2
21 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); ;
tanC
tanB C
sin
B sin b) 2
2
cos2B
-1
C) -cos(B -1 2.
b
c) -(b d)
; sinA
sinB cosC
2cosB
cosC 2cosA
2
22 CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); h 3
2
a c b d) a
23 Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2;
cotB) cotA)(1
(1
f) g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình: .
3
3 2 2
x tan
24 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y sinx cosx cosx sinx
(ĐH An ninh 1998)
25 CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998)
26 Cho ABC có các góc thỏa 1
2
B tan 2
A
2
C tan 4
3
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
2
C cot 2
A cot (ĐH Cần thơ
1998)
29 CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất (ĐH Công đoàn 1998)
30 Cho ABC CMR:
Trang 84S
c b a cotC cotB
cotA 2 2 2 (ĐH Dược hà nội 1998)
31 Cho ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội
1998)
c
b -a sinC
B) -sin(A
2
2 2
33 CMR: trong mọi AC ta đều có:
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C tan 2
B tan 2
A tan 2
1 sinC
1 sinB
1 sinA
1
(ĐH Ngoại thương 1998)
2 sinC sinB sinA a c
b 2 2 2
Tính các góc của ABC
(ĐH Ngoại thương 1998)
35 CMR: trong mọi ABC ta luôn có:
3
C cos 3
B cos 3
A cos 4
3 8
3 3
C cos 3
B cos 3
A
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
2
C sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 cosC
1 cosB
1 cosA
1
CMR: ABC đều
b) ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA
sinC
sinB
(ĐH An ninh 1999)
37 CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức:
cotA cotB cotC 3
-sinC
1 sinB
1 sinA
1
38 CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0 (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39 ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC)
CMR: ABC là tam giác đều (ĐH Dược Hà nội 1999).
40 CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)tanA 2B thì ABC cân
(ĐH Hàng hải 1999).
41 Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2
(ĐH Giao thông vận tải 1999).