BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:1. Góc và cung lượng giác:. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 3600.. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng 180Rπ và có số đo 10.. Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng 180aRπ.. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.. Cung có số đo bằng a0 ứng với α radian công thức đổi đơn vị là: πα=00180a.. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α. y. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ zOx đến Oy..Đường tròn lượng giác là đường tròn O xBán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn mộtchiều làm chiều dương (+).Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(1; 0), B’(0; 1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ.. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C.. Số đo của góc và cung lượng giác:sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π.sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = α + k2π. y B S M P T A’ O Q A x B’. Hệ thức Salơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.Ta có: .cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======ααααNhận xét: 1 ≤ cosα ≤ 1, 1 ≤ cosα ≤ 1.cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.tanα = ααcossin xác định khi α ≠ ,2ππk+ cotα = ααsincos xác định khi α ≠ α ≠ kπ sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1..sin1cot1,cos1tan12222αααα=+=+.
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Góc cung lượng giác: * Đường tròn bán kính R có độ dài 2πR có số đo 3600 * Chia đường tròn thành 360 phần cung tròn có độ dài πR có số đo 10 180 * Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) có độ dài πaR 180 * Radian số đo cung có độ dài bán kính đường tròn a0 α = * Cung có số đo a ứng với α radian công thức đổi đơn vị là: 180 π * Độ dài cung tròn tính theo công thức: l = R.α y * Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự góc quét tia Oz, theo chiều định từ z Ox đến Oy *.Đường tròn lượng giác đường tròn O x Bán kính đơn vị mà ta chọn chiều làm chiều dương (+) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác đường tròn tâm O(0; 0) qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương chiều ngược kim đồng hồ * Cung lượng giác AC với hai điểm A, C đường tròn lượng giác cung vạch điểm M di chuyển đường tròn lượng giác theo chiều định từ A đến C * Số đo góc cung lượng giác: sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 sđ(Ox, Oy) = α + k2π sđAM = a0 + k3600 sđAM = α + k2π y B * Hệ thức Sa-lơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) S M A’ P T O Q A B’ 1 x + Với M, N, K tùy ý đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK Các công thức lượng giác bản: Điểm M(x; y) đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO Ta có: cos α = OQ = x, sin α = OP = y, tan α = AT , cot α = BS Nhận xét: - ≤ cosα ≤ 1, - ≤ cosα ≤ cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α tanα = sin α π cos α xác định α ≠ + kπ , cotα = xác định α ≠ α ≠ kπ cos α sin α sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1 + tan α = 1 , + cot α = cos α sin α * Giá trị lượng giác cung đặc biệt: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 TS π π π π 2π 3π 5π π sin 2 3 2 2 cos 2 2 − tan 3 − cot 3 − 3 − 2 − -1 -1 − 3 -1 − 3.Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt: * Cung đối nhau: - α α: cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα * Cung bù nhau: π - α α: sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα * Cung π: π + α α: sin(π + α) = - sinα, cos(π α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα π - α α: π π π π sin − α = cosα, cos − α = sinα, tan − α = cotα, cot − α = tanα 2 2 2 2 π π * Cung : + α α: 2 π π π π sin + α = cosα, cos + α = - sinα, tan + α = - cotα, cot + α = - tanα 2 2 2 2 * Cung phụ nhau: 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO Các công thứ lượng giác khác: * Công thức cộng: cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, tan α + tan β tan(α + β) = − tan α tan β , * Công thức nhân đôi: sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ tan α − tan β tan(α– β) = + tan α tan β cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - = – 2sin2α; sin2α = 2sinαcosα; * Công thức hạ bậc: sinαcosα = tan2α = tan α − tan α 1 + cos 2α − cos 2α sin 2α ; cos α = ; sin α = 2 * Công thức biến đổi tích thành tổng: [ cos(α + β ) + cos(α − β )]; sin α cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]; 2 sinαsinβ = - [ cos(α + β ) − cos(α − β )] cosαcosβ = * Công thức biến đổi tổng thành tích: α +β α −β cos ; 2 α +β α −β cos ; sinα + sinβ = sin 2 cosα + cosβ = cos α +β α −β sin ; 2 α +β α −β sin sinα – sinβ = cos 2 cosα – cosβ = − sin B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn góc lượng giác (OA, OB) có số sau: - 450, 12000, - 8300 b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M cho cung AM có số đo bằng: π π π π + k ; − + k ; 450 + kπ c) Tính giá trị lượng giác cung biểu diễn câu a) b) Xác định điểm cuối M cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5 Tìm miền giá trị sinα, tanα cotα Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4x + cos4x = – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = – 3sin2xcos2x; - cosx sinx = ; d) (tan2x - tanx)(sin2x - tanx) = tan x; sinx + cosx sin x − cos x + cos x + 2cos4x e) = tan x; g) tan x + cot x = ; 2 cos x - sin x + sin x - cos4x c) 3 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x; π π π 2π i) sin 2x + cos x − - cos 2x + cos − x = cosx 3 6 3 Rút gọn biểu thức sau: 2cos x - cos3x + cos2x + cosx + ; B = sin x(1 + cotx) + cos x(1 + tanx) ; C = ; sinx 2cos x + cosx - 1 + cosx (1 - cosx) + cosx + - cosx D= E= ; 1 + ; sinx sin x + cosx − - cosx A= F= sina + sin2a + sin3a + sin4a sin(a + )sin(a - ) ; G= ; cos a + cos2a + cos3a + cos4a cosa + cosb + cosx x sin 2520 cos(-1880 ) I= tan H= + ; 0 - cosx tan368 2cos638 + cos98 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna; S2 = + cosa + cos2a + cos3a + + cosna Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a); B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x; π π 3π π C = cos x - cos x + + cos x + cos x + 3 4 6 2π sin x - cos8 x 2π D = cos x + cos x + - x ; E = ; + cos sin x - cos x − sin x cos x cos x - sin y 8 6 G = - cot xcot y F = 3(sin x – cos x) + 4(cos x – 2sin x) + 6sin x; 2 sin xsin y CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin x Áp dụng: Tính giá trị biểu thức: π 3π 5π A = sin60.sin420.sin660.sin780; B = cos cos cos 7 1080 < x < 270 Tính sinx, tanx cotx a) Cho cosx = a tana - sina ; b) Biết tan = m Tính tana + sina π c) Biết tana + cota = m, < a < , tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện m d) Cho sina + cosa = m với - ≤ m ≤ Tính sin2a, sina, cosa 2 ( )( Không dùng bảng tính MTĐT, tính: A = sin 11π 5π cos ; 12 12 B = sin C = cos100.cos500.cos700; π 5π 7π 11π sin sin sin 24 24 24 24 D = cos200.cos400.cos800 E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400 4 ) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI F = sin100.sin500.sin700; ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO G = tan π 5π + tan H = tan50tan550tan650 12 12 H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800 K = cos π 2π 3π - cos + cos ; 7 M = cos 5π 7π 5π π sin sin sin 12 12 24 24 10 Chứng minh định lý tang tam giác ABC: A-B tan a-b ; = A a + b tan + B B-C tan b-c ; = B + C b + c tan C-A tan c-a = C + A c + a tan 11 Chứng minh đẳng thức sau: sin(a + b + c) ; cosa.cosb.cosc sin(a + b)sin(a - b) tan 2a - tan a 2 = tana.tan3a; c) tan a - tan b = b) 2 cos acos b - tan 2a.tan a cos2a cosa - sina d) 4cos x - 2cos2x - cos4x - = 0; e) = ; f) sin x + cos x = + cos4x 2 + sin2a cosa + sina 4 π 5π 7π g) cos + cos + cos = 0; h) sin20 0.sin40 0.sin80 = 9 a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = 12) Chứng minh rằng: cos(x + y) 1 a) Nếu cos(x - y) = tanxtany = b) x, y hai góc nhọn thỏa mãn π điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 3sin2x 2sin2y x + 2y = 13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb tan(a + b) = 2tana 14 CMR: ∆ABC ta có: A B C 2 A B C b) cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin ; 2 a) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos ; c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosAcosBcosC; e) sin2A + sin2B + sin2C = + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; h) cot g) bcosB + ccosC = acos(B – C) A B C A B C + cot + cot = cot cot cot ; 2 2 2 i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; C A B + (b - c) cot + (c - a) cot = 0; l) S = 2R2sinAsinBsinC; 2 A B C A B B C C A m) r = 4Rsin sin sin ; n) tan tan + tan tan + tan tan = 1; 2 2 2 2 k) (a - b) cot 5 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI o) a = p.sin cos r) r = A B C cos 2 ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO ; p) B C sin 2; A sin asin a - b sin(A - B) = ; c2 sinC p s) R = 4cos A B C cos cos 2 q) r = p.tan ; t) A B C tan tan ; 2 r A B C = sin sin sin ; 4R 2 r 2pr = cosA + cosB + cosC; v) = acosA + bcosB + ccosC; R R 4R + r A B C w) = tan + tan + tan ; x) (b - c )cotA + (c - a )cotB + (a - b )cotC = 0; p 2 2 (a - b )sinAsinB y) S = ; z) S = a 2sin2B + b sin 2A 2sin(A - B) u) + ( ) 15 CMR: ∆ABC ta có: (a ) + b2 + c2 R ; b) p < p - a + p - b + p - c ≤ 3p; abc 1 1 1 c) + + ≥ 2 + + ; d) Nếu a4 = b4 + c4 2sin2A = tanB.tanC p-a p-b p-c a b c a) cotA + cotB + cotC = 16 Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sau: a) sinA = 2; sinBcosC sinBsinC = c) 3 a = a + b - c a -b-c b + c3 - a = a2 b) b + c - a ; cos(A + C) + 3cosB = cosBcosC = e) ; 3 a = a - b - c a −b-c sinB + sinC C g) sinA = ; h) tanA + tanB = 2cot ; cosB + cosC 2bcosC = a d) b + c - a ; = a2 b+c-a ( f) S = R sin 3A + sin B + sin 3C i) cosAcosBcosC = ; sinA + sinB + sinC = k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; l) cosA + cosB + cosC 17 Chứng minh điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = + cosA + cosB + cosC 18 Chứng minh ∆ABC vuông khi: b c a B a+c sinA + cosB + = ; b) cot = ; c) = tanA cosB cosC sinBsinC b sinB + cosA 2bc B C d) cos(B - C) = ; e) S = a 2sin2B; f) h a = 2p 2sin sin a 2 a) 19 Chứng minh ∆ABC vuông cân khi: c-b C-B a) = tan ; c+b 6 b2 - c2 b) sin(B - C) = a2 ) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO 20 Chứng minh ∆ABC cân khi: A+B ; b) 2tanB + tanC = tan BtanC; sinA + sinB cos A + cos B c) = tan(A + B); d) = (cot A + cot B); 2 cosA + cosB sin A + sin B 2 sin A sin B C C 2sinAsinB e) = (sinA + sinB)cot ; f) cot = ; cosA cos 2 sinC A B B A C B g) sin cos3 = sin cos ; h) (p - b) cot = ptan ; 2 2 2 + cosB 2a + c C i) = ; k) a + b = tan (atanA + btanB); l) asin(B - C) + bsin(C - A) = sinB 4a - c a) a.tanA + b.tanB = (a + b)tan 21 Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn biểu thức sau: sin B tanB b) = ; a) (b + c )sin(C - B) = c – b )sin(C + B); sin C tanC 2cosA + cosC sinB (b - c) - cos(B - C) c) + ; d) = 2cosB + cosC sinA b - cos2B 2 2 22 CMR: ∆ABC tam giác thỏa mãn điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; d) b + c = c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); a + h a 23 Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; c) a3 = + c3; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; d) sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2; f) (1 + cotA)(1 + cotB) = 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B g) sin2A + sin2B = 5sin2C; x h) A, B, C nghiệm phương trình: tanx - tan = 24 Tìm giá trị lớn hàm số: y = sinx cosx + cosx sinx (ĐH An ninh 1998) 25 CMR: ba góc A, B, C ∆ABC thỏa điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C A, , C ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998) 26 Cho ∆ABC có góc thỏa tan A B C + tan = CMR: ≤ tan < 2 (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) 27 Cho ∆ABC CMR: 2b = a + c ⇔ cot 1998) 7 A C + cot = 2 (ĐH Cần thơ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO 29 CMR: tất tam giác nội đường tròn cho trước tam giác có diện tích lớn (ĐH Công đoàn 1998) 30 Cho ∆ABC CMR: a + b2 + c2 4S (ĐH Dược hà nội 1998) M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội cotA + cotB + cotC = 31 Cho ∆ABC Tìm giá trị lớn biểu thức: 1998) 32 Cho ∆ABC CMR: sin(A - B) a - b = sinC c2 (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33 CMR: ∆AC ta có: 1 1 A B C A B C + + = tan + tan + tan + cot cot cot sinA sinB sinC 2 2 2 (ĐH Ngoại thương 1998) b + c ≤ a Tính góc ∆ABC sinA + sinB + sinC = + 2 2 34 Cho ∆ABC cho: (ĐH Ngoại thương 1998) 35 CMR: ∆ABC ta có: cos A B C 3 A B C + cos + cos ≤ + cos + cos + cos 3 4 3 3 (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 + + = + + cosA cosB cosC sin A sin B sin C CMR: ∆ABC 2 b) ∆ABC có đặc điểm gì, góc thỏa mãn biểu thức: sinB = 2cosA sinC (ĐH An ninh 1999) 37 CMR: điều kiện cần đủ để ∆ABC có hệ thức: 1 + + - ( cotA + cotB + cotC) = sinA sinB sinC (ĐH Bách khoa Hà nội 1999) 38 CMR: Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông là: + cos2A + cos2B + cos2C = (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999) 39 ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC) CMR: ∆ABC tam giác (ĐH Dược Hà nội 1999) 40 CMR: ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) tan A+B ∆ABC cân (ĐH Hàng hải 1999) 8 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO 41 Tìm giá trị nhỏ iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + (ĐH Giao thông vận tải 1999) 9 ... nhau: 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO Các công thứ lượng giác khác: * Công thức cộng: cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, tan α + tan β tan(α + β) =... B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn góc lượng giác (OA, OB) có số sau: - 450, 12000, - 8300 b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M cho cung AM có số. .. đối nhau: - α α: cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα * Cung bù nhau: π - α α: sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα *