Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A.. Lý thuyết cần nhớ Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với mộ
Trang 1Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác
A Kiến thức cần nhớ
1 Các hằng đẳng thức cơ bản
tan x
cos x
cos x
cot x
sin x
=
1 tan x
cos x
1 cot x
sin x
tan x.cot x 1 =
2 Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2 π
cos( x) cos x
sin( x) sin x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
− =
− = −
− = −
− = −
sin( x) sin x cos( x) cos x tan( x) tan x cot( x) cot x
π − = −
sin(x 2 ) sin x cos(x 2 ) cos x tan(x 2 ) tan x cot(x 2 ) cot x
+ π = + π = + π = + π =
d) Hai cung khác nhau π e) Hai cung phụ nhau
sin( x) sin x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
sin x cos x ; cos x sin x
B Bài tập
1 Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
α
1
; sin 1
1
−
= +
A
2 Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin123o −sin132o b) cot304o −cot316o
3 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5tan 540o + 2cos1170o + 4sin 990o − 3cos540o
b)
3
19 cos 2 4
13 tan 3 6
25
sin
c) sin215o +sin235o +sin255o +sin275o
d) cos 152 o + cos 352 o + cos 552 o + cos 752 o
f)
12
11 cos 12
9 cos 12
7 cos 12
5 cos 12
3 cos
12
+
− +
+
−
2
3 tan ) 2 cot(
2 cos )
h) A=sin4a+cos2a+sin2a.cos2a
Trang 2i)
2 cos 2
sin 2
tan
1 2
cos 2
sin
2
a a a
a a
B
−
−
=
342 cot 252 tan
156 cos 530 tan )
260 tan(
696
cos
2 2
2 2
+
−
− +
=
4
13 cot 2
7 tan 4
17
tan
+
π
l)
−
+
− +
−
−
+
− +
−
x
x x
x x
x x
x
cos 1
cos 1 cos
1
cos 1 sin
1
sin 1 sin
1
sin
1
m) sin3a(1+cota)+cos3a(1+tana)
n) tan b
tan b cot b +
o)
a
a a
4
4 4
cos
sin cos
−
−
−
−
−
x x
x
x x
x
2
3 cot )
cot(
2
sin
) 2 sin(
)
2 cos(
)
sin(
π π
π
π π
π
q)
2 2
) 2 cos(
2
3 cos )
sin(
2
sin + − + −
+ +
2
3 tan )
tan(
3
5 cos 3
2 tan
3
s)
) 5 , 3 tan(
)
6
cot(
) 4 tan(
) 5
,
5
cot(
π π
π
π
−
−
−
− +
−
b a
b a
t) tan50o.tan190o.tan250o.tan260o.tan400o.tan700o
4 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC Chứng minh:
a) sin(A B) sin C; cos(B C) -cosA + = + = c)
-cotC B)
cot(A ; tan )
b)
2
sin 2
C B cos ; 2
cos 2
B
A
2
tan 2
B A cot ; 2
cot 2
5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 cos sin
cos 2
− +
+
=
x x
x y
6 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng −π <x<π:
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
+
−
+ +
=
x x
x x
7 Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC
a) Cho sin2 B+sin2C=2sin2 A Chứng minh A≤60o
b) 2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c⇒∆ABC đều.
c) Chứng minh: 0<sinA+sinB+sinC-sinA.sinB-sinB.sinC-sinC.sinA<1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
b a b a b
a
a b b a b
a
sin sin cos cos )
cos(
)
2
cos sin cos sin )
sin(
)
1
=
±
±
=
±
b a
b a b
a
tan tan 1
tan tan ) tan(
) 3
±
=
±
B Bài tập
Trang 31 Chứng minh các công thức sau:
+
=
−
=
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
−
=
+
=
a
4 sin 2 4
cos 2 sin
2 Rút gọn các biểu thức:
a)
4
2 sin a 2sin a
4
π
π
b) cos10o +cos11o.cos21o +cos69o.cos79o
c) (tana−tanb).cot(a−b)−tana.tanb
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
2 tan 2
tan 2 tan 2
tan 2 tan 2
c) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1 d)
2 cot 2 cot 2
cot 2
cot 2
cot 2
4 a) Cho
4
π
=
−b
b
b
tan tan
1
tan
−
+
a
a
tan tan
1
tan
+
−
b) Cho
4
π
=
+b
a , chứng minh: (1+tana)(1+tanb)=2 và (1−cota)(1−cotb)=2
c) Cho
n y a
m a x
=
−
= +
) tan(
) tan(
Chứngminh:
ab
b a y x
+
−
= + 1 )
d) Cho
5
2 tana= ,
7
3 tanb= (0<a, b<1v) Tìm a + b
e) Cho
2
1 tana=− ( a )
2
2 0
( < <π
b Tìm a + b
f) Cho
3
2 1 tana= ,
4
1 tanb= (0<a, b<1v) Tìm a - b
g) Cho
12
1 tana= ,
5
2 tanb= ,
3
1 tanb= Chứng minh a + b + c = 45o
5 Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15 hoặc o
12
π
và 75 hoặc o
12
5π
6 Cho α ,β ,γ thoả mãn điều kiện:
2
π γ β
α+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
α γ γ
β β
α.tan 1 tan tan 1 tan tan tan
=
A
7 Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân:
2
1 sin
sin
cos
2 2
2 2
B A
B A
B
+
C
B
cos 2 sin sin =
2
b
a+ = + d) tanA+2tanB=tanA.tan2B
II Công thức nhân đôi nhân ba.
A Lý thuyết cần nhớ
Trang 42 2 2 2
2 3 3
sin 2a 2sin a cosa
cos 2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2 tan a
tan 2a
1 tan a
sin3a 3sin a 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
=
=
−
B Bài tập
1 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a a a
a
a a
sin 3 cos cos
3
sin
4 sin 4
sin
−
+
b)
8 tan
1 8
tan2 π
π −
c) cos20o.cos40o.cos80o d) 2sinacosa(cos2a−sin2a)
e) cos a 6sin a cos a sin a4 − 2 2 + 4 f)
2
cos 2 sin 4
a− g) 1−8sin2acos2a h) 8cos10ocos20ocos40o
i) 4sin3acos3a+4cos3asin3a j) 4sin44a+sin22a
k)
5
2
cos
5
l) cos20ocos40ocos60ocos80o
m) tana+2tan2a+4tan4a+8tan8a+16tan16a+32tan32a
n)
a a
a a
3 cos
cos
3 sin
sin
3
3
−
a a
a a
3 sin sin
3 cos cos
+
−
2 Chứng minh:
4
1 3
sin 3
sin
+
Áp dụng với
9
π
=
a b) 8sin318+8sin218=1
c)
32
cot 32
tan 16 tan 2 8
tan
4
d) tan236otan272o =5
4
1 3
cos 3
cos
+
Tính:
18
7 cos 18
5 cos 18
f)
a
a a
3 tan 3 1
tan tan
3
3
tan
−
−
=
3
tan 3
tan
+
Chứng minh:
5 2 10
1 5 66
tan 54 tan 6 tan
+
−
=
o o
o
3 a) Cho sin 2 ( , >0)
+
b a
ab
α Tìm sin2α, cos2α , tan2α
1
2 cos
a
a
+
=
α Tìm sin2α, cos2α , tan2α
c) Cho
4
5 cos sinα+ α = Tìm sin2α, cos2α , tan2α
4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
−
+
=
4
sin 4
y b) y=cos4x−sin4 x c) y=1−8sin2xcos2x
Trang 5III Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo
2 tana
t = .
A Lý thuyết cần nhớ
a a
a a
2
2 sin
2
2
cos
1
cos
2
2
cos
1
=
−
=
+
2 1
2 sin
t
t a
+
1
1 cos
t
t a
+
−
1
2 tan
t
t a
−
=
B Bài tập
1 Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan 2
sin
sin
2
2 sin
sin
a a
a
+
−
−
= +
+
+
−
a a
a
a a
4
tan 2
cos 2 sin 1
2 cos 2 sin
c)
2 cos 4 ) cos (cos
) sin
b a
b
d) a a 2cota
2
cot 2
−
=
−
+
2 4
cot
sin
1
sin
a
f) tan7o30'=( 3− 2)( 2−1)
g)
2 cos 2 ) cos (cos
cos ) sin (sin
b a
a b
a
h)
2 sin 4 ) cos (cos
) sin
b a b
i)
a
a a
a
sin 1
2 4 sin sin
1
2
4
sin
+
−
−
−
) 0
( <a<π
2 Rút gọn các biểu thức sau:
2
1 2
1
2
1
2
2
1 2
1 2
1 2
1− + (0<α ≤π)
c)
2
cot
1
2
cot
2
2 a
a
4
tan 4 cot
2
tan 2
cot
a a
a a
+
−
e)
2 tan 1
2 tan
2
tan
1
2
tan
a
a a
a
−
+
1 2
tan 1
1
a
a − +
−
g)
α α
α α
sin
2
sin
2 cos
cos
1
−
+
−
h)
α
α α
α
cos 1
cos 2 cos 1
2 sin
+
+
3 Tìm giá trị biểu thức
a)
a
a
cos
2
3
sin
a a
a a
sin tan
sin tan
−
+
Biết
15
2 2 tana =
4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y=2cos2x+sin2x b) y=2sin2x−cos2x
4
−
IV Công thức biến đổi tổng và tích
A Lý thuyết cần nhớ
1 Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 6[ ]
2
1
sin
sin
) cos(
) cos(
2
1
cos
cos
) sin(
) sin(
2
1
cos
sin
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
+
−
−
=
− +
+
=
− +
+
=
2 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 sin 2 sin 2 cos
cos
2 cos 2 cos 2 cos
cos
2 sin 2 cos 2 sin
sin
2 cos 2 sin 2 sin
sin
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
− +
−
=
−
− +
=
+
− +
=
−
− +
=
+
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
sin sin
) sin(
cot cot
sin sin
) sin(
cot cot
cos cos
) sin(
tan tan
cos cos
) sin(
tan tan
−
−
=
−
+
= +
−
=
−
+
= +
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+ +cos(a+nb )(n∈N)
b)
a a
a a
a a
a a
7 sin 5 sin 3
sin
sin
7 cos 5 cos 3
cos
cos
+ +
+
− +
−
c)
a a
a
a a
a
3 sin 2 sin sin
3 cos 2 cos 2 cos
+ +
+ +
d)
a
a a
a
cos 2
6 2 cos 6
2 cos
cos
−
−
π
π
e)
2 cot cot
3
cos 3
cos
a a
a a
−
− +
2
1 4 cos 4
1 cos
2
h) sin1o +sin91o +2sin203o(sin112o +sin158o)
i) cos35o +cos125o +2sin185o(sin130o +sin140o)
j) sin20osin40osin60osin80o k) tan20o tan40otan60o tan80o
2 Chứng minh:
a)
16
3 80 sin 60 sin 40
sin
20
a n a
a a
a n a
a a
tan )
1 2 cos(
5 cos 3 cos
cos
) 1 2 sin(
5 sin 3 sin
− +
+ +
+
− +
+ +
+
c)
2 sin 2
) 1 ( sin 2
sin sin
3 sin 2
sin
sin
a
a n na na
a a
a
+
= +
+ +
+
d)
2 sin 2
) 1 ( cos 2
sin cos
3 cos 2
cos
cos
a
a n na na
a a
a
+
= +
+ +
+
3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
2
cos 2
cos 2 cos 4 sin sin
Trang 7b)
2
sin 2
sin 2 sin 4 1 cos cos
c) sin2 A+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)
d) cos2 A+cos2B+cos2C=1−2cosAcosBcosC
e)
2
cos 2
sin 2 sin 4 sin sin
2
sin 2
cos 2 cos 4 cos cos
g) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
h) cos2A+cos2B+cos2C=−1−4cosAcosBcosC
i) sin2 A+sin2B−sin2C=2sinAsinBcosC
4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )
2
1 2 sin x+y≥ x+ y với 0<x, y<π .
5 Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7 sin 16
5 sin 16
3 sin
16
sin4 π + 4 π + 4 π + 4 π
b) tan67o5'−cot67o5'+cot7o5'−tan7o5'
c) cos5ocos55ocos65o
d)
11
9 cos 11
7 cos 11
5 cos 11
3 cos
11
6 Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
− +
+
2 4 cos 4 2 sin sin
x
với
2
3π
π <x<
b) 4cos4 x+cos22x−4cos2xcos2x
− +
+
x
3
cos 3
cos
+
x
3
2 sin 3
2 sin
7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
B A
C B
A
cos cos
sin sin
sin
+
+
=
8 Chứng minh nếu các góc của ∆ABC thoả mãn:
2
3 cos cos
cosA+ B+ C= thì nó là tam giác đều
9 Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ∆ABC thoả mãn hệ thức:
a
c b B
A+ = + cos
tam giác đó là tam giác vuông
2
tan 2 tan
5 A B = Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b)
Phần 3: Phương trình lượng giác
I Phương trình lượng giác cơ bản
A Lý thuyết cần nhớ
1 Phương trình: sin x=sinα ⇔
π α π
π α
2
2
k x
k x
+
−
=
+
=
2 Phương trình: cos x=cosα ⇔ x=±α+k2π
2 Phương trình: tanx=tanα ⇔α+kπ 4 Phương trình: cotx=cotα ⇔α+kπ
B Bài tập
1 Giải các phương trình sau:
a)
2
3 6
3
5 2 cos
x− π
Trang 8d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) =
3 tanπ
f) cot(45o - x) =
3 3
g) sin3x - cos2x = 0 h) x cos3x
3
2
4 3 cos 6
5 3
+ +
2
=
+
4 2 sin 4
12
2
1 6 12
x+ π
o)
2
3 2
6
+ πx
p) cos(π−5x)=−1 q) tan(3π −6x)=1 r) tan(x−6π)= 3
s)
3
1 2
4
−π x
6
5
π + x
u)
3
3 5
7
12
π − x
2
2 3
12
sin π− x = w) cos(2x−a)=sin3x x) sin(3x−b)=cos5x
=
6
5 cot 4
=
12
7 tan 3
II Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A Lý thuyết cần nhớ
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t
B Bài tập
1 Giải các phương trình sau:
a) 3sin22x+7cos2x−3=0 b) 6cos2 x+5sinx−7=0 c) cos2x−5sinx−3=0
d) cos2x+cosx+1=0 e) 6sin23x+cos12x=14 f) 4sin4 x+12cos2 x=7
g) 8sin2x−cosx=5
2 Giải các phương trình lượng giác:
5 cot
4 2
x− π
c) 7tanx−4cotx=12 d) cot2 x+( 3−1)cotx− 3=0
III Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: asinx+bcosx=c
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 +b2 ≤c2
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho a2 +b2 rồi đặt: cos 2 2
b a
a
+
=
2 2
sin
b a
b
+
=
Đưa phương trình về dạng: cosαsinx+sinαcosx=sinβ ⇔sin(x+α)=sinβ Giải ra tìm được x.
B Bài tập
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y =(2− 3)sin2x+cos2x b) y=(sinx−cosx)2 +2cos2x+3sinxcosx
c) y =(sinx−2cosx)(2sinx+cosx)−1 d)
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
+
−
+ +
=
x x
x x
y
2 Giải các phương trình sau:
2
9 sin 3 2 cos
Trang 9c) 3sin2x+2cos2x=3 d) 2sin2x+3cos2x= 13sin14x
e) 4sinx−3cosx=2 f) sinx− 3cosx=1
3 Tìm các giá trị của
−
∈ π;π 4
3
x thoả mãn phương trình sau với mọi m:
x x x
m x m x m x
m2sin − sin2 − 2cos + cos2 =cos −sin
4 Tìm các giá trị của α để phương trình:
a) (cosα +3sinα − 3)x2 +( 3cosα −3sinα −2)x+sinα −cosα + 3=0 có nghiệm x = 1 b) (2sinα −cos2α+1)x2 −( 3sinα)x+2cos2α −(3− 3)sinα =0 có nghiệm x = 3
5 Giải phương trình:
14 sin 5 cos 12
5 sin
5
cos
+ +
+ +
x x
x
b) (4sinx−5cosx)2−13(4sinx−5cosx)+42=0
1 sin 4 cos 3
6 sin
4
cos
+ +
+ +
x x
x x
IV Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d
- Nếu cosx = 0 Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cosx≠0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: (a−d)tan2 x+btanx+c−d =0
B Bài tập
1 Giải các phương trình sau:
a) sin2 x−2sinxcosx−3cos2 x=0 b) 6sin2 x+sinxcosx−cos2 x=2
c) sin2x−2sin2 x=2cos2x d) 2sin2 2x−2sin2xcos2x+cos22x=2
2
3 sin 2 cos ) sin(
4 2 cos
sin
+ +
+
f)
2
1 cos 2 cos sin
4
sin
2 Giải các phương trình sau:
a) 2sin3 x+4cos3x=3sinx
+ +
= +
2 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2 sin 3 2 2
3 cos
2
sin
3 Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
0 cos 3 2 sin sin sin3 x+ x x− 3x= Chứng minh tam giác ABC vuông cân
V Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a(sinx±cosx)+bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t=sinx±cosx, ta có: |t|≤ 2 →t2 =1±2sinxcosx=1±sin2x Thay vào phương trình rồi giải ra t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) cotx−tanx=sinx+cosx b) 2sinx+cotx=2sin2x+1
c) cos3x−sin3x=−1 d) |sinx−cosx|+4sin2x=1
2
3 2 cos 2
sin
VI Một số dạng phương trình lượng giác khác
1 Giải các phương trình lượng giác sau:
Trang 10a) 2 0
4
3 cos
2
2
1 2
sin
cos
x x x
x
c) 4cos2x+3tan2x−4 3cosx+2 3tanx+4=0 d) 1+sinx+ 1−sinx =2cosx
e)
2
7 2 4 sin 4 2 sin 4
cos
−
=
x
2
5 cos
2 tan
2
x x
g) (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx−(4m−3)cosx=0 (Biện luận theo m) h) 1−tan2 x=2tanxtan2x i) sin4x=2cos2x−1
2 cos 2 sin 2 cos
x
x+ = +
l)
2
3 4 sin
2
sin2 x+ 2 x= m) tanx+tan2x=sin3xcosx
n) tanx−3cotx=4(sinx+ 3cosx) o) sin3x+cos3x=cos2x
r) 3(cotx−cosx)−5(tanx−sinx)=2 s) cos7x− 3sin7x=− 2
t) tanx−2 2sinx=1 u) 2cos3x=sin3x
v)
x
x x
sin 1
cos 1
tan2
−
+
6
5 cos sin6x+ 6x= 4 x+ 4 x
x x
x x
4 cos 4
tan 4
tan
2 cos 2
=
+
−
+
π
1 4
tan 4
tan
cos
−
=
+
−
+
x x
x x
π π
z) cos2x+sin2x+2cosx+1=0
2 Giải các phương trình lượng giác sau:
x
x
2 sin 1
tan
1
tan
+
−
b)
x x
x
sin
1 cos
1 4
sin 2
+π c) 9sinx+6cosx−3sin2x+cos2x=8 d) (cos2x−cos4x)2 =6+2sin3x
sin
5
5
sin =
x
x
f)
2
1 2
3 sin 2 sin sin 2
3 cos 2 cos
g) sin24x−cos26x=sin(10,5π+10x) Tìm các nghiệm thuộc khoảng
2
;
0 π
4
5 ) cos (sin
2 cos
sin8 + 8 = 10 + 10 + i) 3sin2x−2cos2x=2 2+2cos2x
j)
2
3 3 sin 2 sin
x x
x
cos
1 cos
sin
l) cot2x =tan2x+2tan2x+1 m) 2cosx+ 2sin10x=3 2+2cos28xsinx n) sin2x+2cos2x=1+sinx−4cosx o) sin2x+2tanx=3
2
1 2 cos ) cos cos
1
1 cot
) sin (cos 2 2
cot tan
1
−
−
=
x x x
x
4
sin3 =
+π
s) 0 1 cos 2 6 3 sin sin 2 2
cos
2
t) cos3x+sin3 x=sin2x+sinx+cosx u) 3−4cos2 x=sinx(2sinx+1)
v) 4 3sinxcosxcos2x=sin8x w)
x x
x x
x
xcot 2 cot3 tan cot 2 cot3