Đang tải... (xem toàn văn)
92.. Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :. 96. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[r]
(1)Mr : Dac - Nam Dinh
Vấn đề : SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Loại 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG
1 Tính sina , tana, cota biết cosa =
0 0a90
Đs : sin 3, tan 4,cot
5
a a a
2 Tính cosa, tana, cota biết sin 12 13
a
2
a
Đs : cos , tan 12,cot
13 12
a a a
3 Tính cosa, sina, cota biết tana
90 a
Đs :cos ,sin 6,cot
3
3
a a a
4 Tính sina, cosa, tana biết cota3và
0
180 a270
Đs :sin ,cos 10,t 10
10
10
a a ana
5 Cho tana cota1 ,0a900 Tính sinx,
cosx, tanx, cotx
Đs :
1 5
t ,cos ,
2 10
5 5
sin ,cot
10
ana a
a a
Loại 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN
6 .tính cot tan tan 3cot
a a
E
a a
biết
3 sin
5
a
0
90 a 180
Đs :
57
E
7 Tính sin 3cos
cos 2sin
a a
F
a a
biết tana3
Đs:
5
F Tính
2
2
2cos sin cos sin
sin 3cos
a a a a
G
a a
biết
cota 2
Đs :
7
G
9 Tính 2sin 3cos
sin cos
a a
H
a a
biết tana 2
Đs :
3
H
Đơn giản biểu thức sau :
10.M 1 sin2xcot2x 1 cot2x
Đs :M sin2x 11
2
2cos
sin cos
a N
a a
Đs :N cosa sina
12
2
1 2sin
sin cos
a P
a a
Đs :P sina cosa
13.Q sin2a1 cota cos a2 1 tana
Đs :Qsinacosa
Chứng minh đẳng thức lượng giác sau :
14.3 sin 4a cos a sin 6a cos a 1 15.sina cosa2 cos a2 1 tana sin2a1 cota
16.tan2a sin2a tan sin2a 2a
17.cot2a cos a2 cot 2a cos a2
18 sin cos
1 cos sin sin
a a
a a a
19 cos cos 2cot
1 cos cos
a a
a a
a a
(2)Chứng minh biểu thức sau độc lập với a.
20
3 sin3
sin cos
cos sin
cos a a
A a a
a a
Đs :A1
21.B2 sin 6a cos a sin 4a cos a Đs :B1
22.C 3 sin 8a cos a 4 cos a6 2sin6a6sin4a
Đs:C 1
23.D4 sin 4acos4a cos4a
Đs : D3
24.E8 cos 8a sin8a cos6a 7cos 2a Vấn đề : GÓC , CUNG LIÊN KẾT 25.tan10 tan 20 tan 70 tan800 0 1
26.cos200 cos40 os1600 c cos1800 1
27.tan 500 tan 750 tan 2300 tan 2550
28.cos200 cos400 sin1100 sin1300
29.sin 250 sin 650 sin1550 sin1150
30.sin 750 sin 650 cos1650 cos2050 0
31
0
0
sin168 sin192
cot12
sin 78
Tính giá trị biểu thức :
32
0
0
0
sin( 234 ) os216
tan 36 sin144 os126
c A
c
ĐS:A1
33
0 0
0
0
cot 44 tan 226 os406
ot17 ot73 os316
c
B c c
c
Đs :B1
34 C cot cot10 cot80 cot850 0
Đs :C 1
35 D cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos2100 0 0
Đs :D0
36
9 11
os os os 16
5 5 tan
6 5
sin
c c c
E
Đs : E
Đơn giản biểu thức sau : 37
sin os cot tan
2
F c
Đ
S: F 2sin
38 os sin tan cot
2 2
G c
ĐS: G 1
39 cot os os 2sin
H c c
ĐS: H 2sin
Vấn đề : CÔNG THỨC CỘNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN Lưu ý : Biến đổi biểu thức
cos s in
E a x b x dạng tích số
i Giả sử a2 b2 0
( a b khơng đồng thời = 0) Ta có :
2
2 2
2
2
cos sin
cos sin
cos os sin sin os( )
E a x b x
a b
a b x x
a b a b
a b x c x
a b c x
Áp dụng kết ta có :
cos sin os
4
a a c a
cos sin os
4
a a c a
sin cos sin
4
a a a
sin cos sin
4
a a a
Loại : Rút gọn biểu thức sau :
40 A cos54 os40c cos36 os860c
ĐS : A cos580
(3)41.B sin 56 sin 40 sin 34 sin860
ĐS:
2
B 42
0
0
tan 64 tan176 tan 64 tan 356
C
ĐS : C 3
43.D sin( 17 ) os( 13 ) sin( 13 ) os( 17 )a c a a c a
ĐS :
2
D
44 2cos os
4
E c
ĐS : E cos a
45 os( ) sin sin
sin( ) sin cos
c a b a b
F
a b a b
ĐS : F cotb
46
5
tan tan
12 12
5
1 tan tan
12 12
G
ĐS : G 3
47 2cos( ) tan
sin( ) sin( )
a b
H a
a b a b
ĐS : H cotb
48 sin cos
sin cos
a a
K
a a
ĐS : tan
4
K a
Loại : Chứng minh :
49.cot( ) cot cot
cot cot
a b
a b
b a
50.tan(a b ) tan a tanbtan tan tan(a b a b )
51 2sin( ) tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b
52.sin (2 a b) sin2a sin2b 2sin sin os(a b c a b)
Loại : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
53.A c os (2 a x )cos2x 2cos cos os(a x c a x )
ĐS : A sin2a 54
2
os 2cos cos os( ) os ( ) B c x a x c a x c a x
ĐS: B sin2a
55.CMR với tam giác không vng ta có :
tanAtanBtanCtan tan tanA B C
56.CMR với tam giác ABC ta có :
tan tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
57.Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2 tanA2 tanBtanA.tan B
Chứng minh tam giác ABC cân Vấn đề : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức nhân đôi
sin 2a2sin cosa a
2
2
2
os sin
os2 os
1 2sin
c a a
c a c a
a
2
2 tan tan
1 tan
a a
a
Công thức nhân 3
3
3
3
sin 3sin 4sin
os3 4cos 3cos
3tan tan
tan
1 3tan
a a a
c a a a
a a
a
a
58.Tính sin , os2 , tan 2a c a a biết
5
cos
13
a v a
ĐS:sin 120, 119, tan 120
169 169 119
(4)59.Tính tan ,cos
5
a a v a
ĐS: tan 120
119
a
Tính giá trị biểu thức sau:
60 sin os os os
24 24 12
A c c c
ĐS :
16
A
61 sin os os os
12 12
B c c c
ĐS:
16
B
62.C 2cos 752 1
ĐS:
2
C
63.D 1 2sin 752
ĐS:
2
D
64.Ecos150 sin150 cos150sin150
ĐS:
2
E
65.F cos750 sin 750 cos750sin 750
ĐS:
2
F
66
2
7 tan
8 tan
8
G
ĐS:
2
G 67
2 0
1 cot 105 cot 75
H
ĐS:H 2 3
Chứng minh :
68.cos sin3 sin cos3 sin 4
a
a a a a
69
3
sin cos sin
1
sin cos
a a a
a a
70
2
1 2sin
tan
os2 sin
a a
c a a
71.cos sin cos sin 2tan
cos sin cos sin
a a a a
a
a a a a
72 tan 1 tan sin 22
cos cos os
a
a a
a a c a
73.sin 2sin tan2
sin 2sin
a a a
a a
74.1 sin 2sin2
2
a
a
75.sin 3a4sin sin(60a 0a).sin(600 a)
76.cos3a 4 os os(60c a c a c) os(600 a)
77.tan3atan tan(60a a).tan(600 a)
Tính biểu thức sau :
78 sin
3 2cos
a M
a
tan2 a
ĐS :
21
M
79 tan sin tan cos2
a a
N
a a
2 tan
15
a
ĐS: 28000
35101
N
80 2sin os2
tan cos
a c a P
a a
1 tan
2
a
ĐS: 287
551
(5)Vấn đề : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
cos cos os( ) os( )
2
a b c a b c a b
1
sin sin os( ) os( )
2
a b c a b c a b
1
sin os sin( ) sin( )
2
a c b a b a b
1
os sin sin( ) sin( )
2
c a b a b a b
Biến đổi biểu thức sau thành tổng :
81.sin(a b ).sin(a b )
ĐS: 2
2cos a 2cos b
82.sina.sin2a.sin3a
ĐS: 1sin 1sin 1sin
4 a a a
83.cos cos cosa b c
ĐS:
1
4
1
4
cos a b c cos a b c cos b c a cos c a b
Chứng minh đẳng thức sau: 84.
sin sin(a b c ) sin sin( b c a ) sin sin( c a b ) 0 85.cos(a+b).sin(a-b)+cos(b c ).sin(b c c c a ) os( ).sin(c a ) 0 86.sin 2sin 150 os 150
2 2
a a
a c
87.Cho tam giác ABC có
2 2
ˆ ˆ ˆ
4 : os os os
4
A B C CMR c A c B c C
Vấn đề 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
cos cos 2cos cos
2
a b a b
a b
cos cos 2sin sin
2
a b a b
a b
sin sin 2sin os
2
a b a b
a b c
sin sin os sin
2
a b a b
a b c
Hệ :
cos sin os
4
a a c a
cos sin os
4
a a c a
sin cos sin
4
a b a
sin cos sin
4
a b a
sin
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
sin
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
sin
cot cot
sin sin
a b
a b
a b
sin
cot cot
sin sin
a b
a b
a b
Biến đổi biểu thức sau dạng tích :
88.sin 700 sin 200 sin 500
ĐS:4.sin 25 0cos35 0cos100
89.cos440 cos220 2 os79c
ĐS:
0 257
4sin11
2
cos
90.sinxsin 2xsin 3x
ĐS :4cos sin3
2
x x
x cos
91.1 cos x c os2x
ĐS :4
2 6
x x
cosx.cos cos
(6)Đơn giản biểu thức sau:
92 sin( ) sin os( ) os
sin( ) sin os( ) os
a b a c a b c a
A
a b a c a b c a
ĐS : 2.cot 2
sin
b a A
b
93 cos os2
1 3sin 2cos
x c x B
x x
ĐS : cot cot
2
B x
Chứng minh :
94.cos850 cos350 cos250 0
95.cos1300 cos1100 cos100 0
Vấn đề : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM GIÁC
A, B , C góc tam giác , ta có :
A B C :
A B C(bù) A B C ( phụ) sin(A B ) sin C
os( ) os
c A B c C sin 2 os 2
A B C
c
tan cot
2
A B C
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta ln có a b 2 a b hay
2
a b a b
Tổng quát : a a1, , ,2 an 0 ta ln có
1 n n .2 n
a a a n a a a
Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY
a2 b2 c2 d2 a c b d. . 2
hay
a c b d. . a2 b2 c2 d2
Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Định lí hàm số cosin
2 2
2 2
2 cos cos
2
a b c bc A
b c a
A
bc
(7)Cho tam giác ABC biến đổi biểu thức sau về dạng tích :
96.sinAsinBsinC
ĐS:4
2 2
A B C
cos cos cos
97.sin 2Asin 2Bsin 2C
ĐS:4.sin sin sinA B C
98 cot cot cot
2 2
A B C
ĐS:cot cot cot
2 2
A B C
A , B , C góc tam giác Chứng minh rằng :
99 cos cos cos 4sin sin sin
2 2
A B C
A B C 100
cos2Acos2Bcos2C 1 4cos cos cosA B C
101
2 2
os os os 2cos cos cos c A c B c C A B C
102
2 2
sin Asin Bsin C 2 2cos cos cosA B C
103 tanA+ tanBtanCt anA.tan tanB C
104 tan cot cot cot cot tan
2 2 2
A B B C C A
105.sin sin sin os5 os5 os5
2 2
A B C
A B C c c c
106.sin 6Asin 6Bsin 6C 4sin sin sin 3A B C
107 Chứng tỏ tam giác ABC có
t anA tan 2cot
2
C B
tam giác ABC
tam giác cân
108 Cho tam giác ABC , đặt
2 2
sin sin sin
T A B C Chứng minh
rằng tam giác ABC nhọn T 2
109 Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :
2 2
os os os
c A c B c C
110 Cho tam giác ABC có cạnh góc thỏa mãn hệ thức : cos 2 2
sin 4
B a c
B a c
Chứng minh tam giác ABC cân
111 Số đo góc tam giác ABC lập thành cấp số cộng thỏa mãn hệ thức :
3
sin sin sin
2
A B C Tính góc
A, B , C
112 Chứng minh tam giác ABC cân : a.cosB b cosA a sinA b sinB
113 Chứng minh tam giác ABC có :
.cos cos cos
.sin sin sin
a A b B c C p
a B b C c A R
(trong p
là nửa chu vi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) Thì tam giác ABC tam giác
114 Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :