Skkn toán học thpt (15)

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Trong chương trình tốn THPT, hàm số đưa vào giảng dạy từ cấp đến lớp 10 ơn lại, đầu chương trình lớp 12 em nhắc lại để kết hợp với kiến thức đạo hàm Đây nội dung khó học sinh 12 tổng hợp kiến thức em học lớp dưới, mạch kiến thức trừu tượng nguồn tài liệu tham khảo hạn chế: sách giáo khoa hay sách tập tập hàm số đưa chủ yếu tốn đơn giản hay tập nâng cao khơng nói rõ sở phương pháp gây khó khăn cho em học Với xu hướng thi trắc nghiệm nay, toán hàm số, đặc biệt hàm hợp xuất đề thi năm gần ngày nhiều chủ yếu mức độ VD-VDC, không theo khuôn mẫu Để giải tốn địi hỏi em phải có kiến thức thật vững hàm số Với mong muốn giúp em giải toán hàm số, cụ thể tốn hàm hợp tơi nghiên cứu toán hàm số đề thi học sinh giỏi, TN THPT qua năm gần có chia dạng chúng nhằm giúp em tiếp cận cách giải toán đồng thời giúp em có nhìn tổng qt dạng tốn Vì tơi chọn đề tài: Sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp Đề tài nghiên cứu, khái quát phương pháp chung để giải toán hàm hợp Từ phương pháp chung HS tự xếp, hệ thống kiến thức liên quan tự chiếm lĩnh phương pháp giải, thực giải tốt tốn hàm hợp, từ HS phát triển lực chung lực tốn học II Mơ tả giải pháp kỹ thuật II.1 Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn tương tự Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành cơng Do việc trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng giáo viên Trong đề thi tốt nghiệp THPT đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam Định năm gần thường xuyên xuất toán hàm hợp, ví dụ xét khoảng đơn điệu, tìm điểm cực trị hàm số, tìm số nghiệm phương trình Các toán hàm hợp thường xuất hay, thể khả tư học sinh Tuy nhiên làm theo cách truyền thống lời giải cồng kềnh thường xét nhiều trường hợp gây nhiều khó khăn định cho học sinh việc tìm hướng giải Một khó khăn mà học sinh gặp phải chưa hiểu rõ phương pháp chung cho dạng tốn dẫn đến khó khăn trình học tập Bằng cách sử dụng phương pháp ghép trục học sinh thấy chất toán lời giải trở nên đơn giản, dễ hiểu Bên cạnh đó, khó khăn lớn giáo viên dạy phần để học sinh hứng thú học có khả vận dụng kiến thức hàm số vào giải toán hàm hợp, cần trang bị cho em kiến thức gì? Cần phân dạng tập áp dụng dấu hiệu toán dùng phương pháp ghép trục? Với tất khó khăn tơi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp ghép trục để giải tốn hàm hợp” II.2 Mơ tả giải pháp sau tạo sáng kiến 2.1 Sáng kiến kinh nghiệm chủ đề năm gần thực thi Tốt nghiệp THPT mơn Tốn hình thức trắc nghiệm kì thi chọn học sinh giỏi, chương trình giáo dục phổ thơng đòi hỏi phải phát triển tư duy, lực người học Cái dạng có tính chất xun suốt, phát triển tư lực người học Thêm vào đó, tốn có phân tích logic, có tổng quát trang bị thêm cho em số kỹ thuật suy luận nhanh em có lực tư duy, tổng hợp tốt Thơng qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm tốn tạo tốn Học sinh thường hiểu sâu thích nghi học phần này, rút ngắn thời gian làm câu trắc nghiệm mức độ vận dụng, vận dụng cao Những điểm sáng kiến đề cập đến: - Các hướng xây dựng toán dựa + Sự đồng biến, nghịch biến hàm số + Cực trị hàm số + Sự tương giao đồ thị - Các hướng sáng tạo toán dựa vào toán gốc: Trong nội dung trình bày tốn gốc tơi định hướng cho học sinh cách tư hướng phát triển tốn từ dễ đến khó để học sinh dễ dạng nhận tốn gốc Qua định hướng cho giáo viên cách phát triển dạng toán đa dạng linh hoạt NỘI DUNG SÁNG KIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Sự biến thiên hàm số a Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x ) xác định K , K khoảng, đoạn nửa khoảng + Hàm số y = f ( x ) đồng biến K với x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) + Hàm số y = f ( x ) nghịch biến K với x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I Khi đó: + Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến I f  ( x )  với x  I + Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến I f  ( x )  với x  I c Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu i) Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I + Nếu f  ( x )  với x  I f  ( x ) = số hữu hạn điểm I hàm số y = f ( x ) đồng biến I + Nếu f  ( x )  với x  I f  ( x ) = số hữu hạn điểm I hàm số y = f ( x ) nghịch biến I + Nếu f  ( x ) = với x  I hàm số y = f ( x ) không đổi I ii) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục nửa khoảng  a; b ) có đạo hàm ( a; b ) + Nếu f  ( x )  (hoặc f  ( x )  ) với x  ( a; b ) hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) nửa khoảng  a; b ) + Nếu f  ( x ) = với x  ( a; b ) hàm số y = f ( x ) không đổi nửa khoảng  a; b ) Cực trị hàm số a Điểm cực trị Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D ( D  ) x0  D + Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số y = f ( x ) tồn khoảng ( a; b ) cho x0  ( a; b )  D f ( x )  f ( x0 ) với x  ( a; b ) \  x0  + Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) tồn khoảng ( a; b ) cho x0  ( a; b )  D f ( x )  f ( x0 ) với x  ( a; b ) \  x0  b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực trị điểm x0 hàm số có đạo hàm điểm x0 f  ( x0 ) = Chú ý: Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị điểm mà khơng có đạo hàm, chẳng hạn hàm số y = x đạt cực trị điểm x0 = hàm số khơng có đạo hàm x = c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị i) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) ( x0 ; b ) Khi + Nếu f  ( x )  với x  ( a; x0 ) f  ( x )  với x  ( x0 ; b ) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 + Nếu f  ( x )  với x  ( a; x0 ) f  ( x )  với x  ( x0 ; b ) hàm số đạt cực đại điểm x0 ii) Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp ( a; b ) chứa điểm x0 , f  ( x0 ) = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f  ( x0 )  hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x0 + Nếu f  ( x0 )  hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Sự tương giao đồ thị Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) y = g ( x ) có đồ thị ( C2 ) Số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) số giao điểm hai đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Phép suy đồ thị a Đồ thị hàm số y = f ( x )  Phần đồ thị nằm trục Ox → giữ nguyên  Phần đồ thị nằm trục Ox → lấy đối xứng với qua trục Ox  Bỏ toàn phần đồ thị nằm trục Ox  Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm hồn tồn phía trục Ox b Đồ thị hàm số y = f ( x )  Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy → giữ nguyên  Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy → lấy đối xứng với qua Oy Bỏ tồn phần đồ thị nằm bên trái trục Oy  Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua trục Oy c Đồ thị hàm số y = f ( x + a ) với a   Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x + a ) nhận cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái a đơn vị d Đồ thị hàm số y = f ( x − a ) với a   Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x − a ) nhận cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải a đơn vị e Đồ thị hàm số y = f ( x ) + a với a   Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + a nhận cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) lên a đơn vị f Đồ thị hàm số y = f ( x ) − a với a   Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x ) − a nhận cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) xuống a đơn vị B NỘI DUNG Trong thực tế, ta gặp nhiều tốn có dạng: Cho hàm số y = f ( x ) biết thông tin đồ thị (hoặc biết khoảng đơn điệu ), yêu cầu tìm m để phương trình f ( u ( x) ) = m có k nghiệm ( k  ) Những toán thường tốn khó mức độ VD-VDC với lời giải cồng kềnh thường xét nhiều trường hợp Để cho dễ hiểu, ta xét toán mở đầu sau Bài toán mở đầu: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Biết lim f ( x ) = − , x →+ lim f ( x ) = + x →− Tìm f ( x3 − 3x ) = m có nghiệm?  Lời giải Cách giải Phương pháp truyền thống x =1 Đặt u = x − 3x , ta có u ' = 3x −  u ' =   x = −  Từ ta có bảng biến thiên u ( x) sau: m để phương trình 10 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:  u  −2 +) Với  phương trình x − x = u có nghiệm x u   u = −2 +) Với  phương trình x − x = u có nghiệm x u = +) Với −2  u  phương trình x − x = u có nghiệm x Xét hệ trục tọa độ Ouy, đồ thị hàm số y = f (u ) hình vẽ: +) Với m  (−; −2) , phương trình f (u) = m  u = u1 (u1  (2; +))  x3 − 3x = u1 , phương trình có nghiệm x +) Với m = −2 , phương trình f (u ) = m  u =  x − x = , phương trình có nghiệm x +) Với −2  m  −1 , phương trình f (u) = m  u = u2 (u2  (−2;2))  x3 − 3x = u2 , phương trình có nghiệm x 39 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình   x2 f +  + = m có nghiệm  x + x +1  A B C D  Lời giải Đặt u = 6x2 −12 x5 + 12 x + Ta có u ' = x4 + x2 + ( x4 + x2 + 1) x = u' =    x = 1   x2 +  theo phương pháp ghép trục Ta có bảng biến thiên hàm số f   x + x +1  sau: 40 Phương trình có nghiệm  m −    m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn tốn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình  −   f − + 3cos x = 3m − 10 có nghiệm phân biệt thuộc  ;   2 ( ) A B C D  Lời giải Đặt u = − + 3cos x Ta có u ' = u ' =  x = k ( k  3sin x + 3cos x )  −   Với x   ;  tao có u ' =  x =  2 ( ) Ta có bảng biến thiên hàm số f − + 3cos x theo phương pháp ghép trục sau: 41 ( ) Phương trình f − + 3cos x = 3m − 10 có nghiệm phân biệt thuộc  3m − 10 = −4  m = −6   −     −4 10  ;    m  −2  3m − 10  3  Mà m   m −6; −1;0;1;2;3 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn toán 42 Bài tập củng cố Câu Cho hàm số y = f ( x ) Biết đồ thị hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ bên ( ) Hàm số g ( x ) = f x − 3x đồng biến khoảng đây? 1 1 A  ;  3 2 1  B  ; +   2  1  C  − ;  3  Câu Cho hàm số đa thức f ( x ) có đạo hàm 1  D  −2;  2  Biết f ( ) = đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình sau Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đồng biến khoảng đây? A ( 4; + ) B ( 0;4 ) C ( −; −2 ) D ( −2;0 ) 43 Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ( có đồ thị hình vẽ Hàm ) số g ( x ) = f x − x − có điểm cực tiểu? A B C D Câu Biết hàm số f ( x ) có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y = f  f ( x )  A B C Câu Cho hàm số đa thức y = f ( x ) có đạo hàm D , f ( )  đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f  ( x ) Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + 3x cóbao nhiêu cực trị? 44 A B C Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục D , f ( −2 ) = có bảng biến thiên sau ( ) Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f x − − = m có nghiệm thực phân biệt? A B C Câu Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ D 45 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x + ( x − 1) ) = log m có nghiệm phân biệt A 990 B 991 C 989 D 913 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = h ( f ( x ) ) với h ( t ) = t − 2t − A B C D Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  sin x − cos x   5 5  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f   − = là:  4    A B C Câu 10 Cho hàm số f ( x ) có bẳng biến thiên hình vẽ D 46  9  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  phương trình f ( 2sin x + 1) =   A B Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C D có đồ thị hình vẽ Phương trình f ( f ( x ) − 1) = có tất nghiệm thực phân biệt? A B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) liên tục C D có đồ thị hình vẽ bên  7  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  phương trình f ( f (cos x)) =   A B C D Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị nhưu hình vẽ bên Tìm số nghiệm thuộc đoạn  2017 ;2020  phương trình f ( 2cos x ) = 47 A B C D Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng đây? A ( 2;3) B ( 4;7 ) C ( −; −1) Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục vẽ D ( −1;2 ) , có đồ thị f  ( x ) hình 48 Có giá trị nguyên m  −10;10 để hàm số  x3 +  g ( x) = f   − ( 2m − 1) ( x + x + 2019 ) đồng biến khoảng ( 0;+ ) ?   A B C 11 Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục D 10 có đồ thị hàm số y = f  ( x − x ) hình vẽ Hỏi hàm số y = f ( x − 1) + x3 + đồng biến khoảng nào? A ( −3; −2 ) B (1;2 ) Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C ( −2; −1) D ( −1;0 ) có bảng biến thiên sau   5  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f cos x − cos x =  2  ( A 11 B 10 C ) D 12 49 Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( )  Đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x có điểm cực tiểu? A B C D Câu 19 Cho hàm số f ( x ) bậc bốn có đồ thị hình vẽ ( ) Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) , biết g  ( x ) = x  f x −  A B C D 10 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ 50 Hàm số y = f ( x + ) − f ( x + ) có điểm cực trị? A 11 B 12 Câu 21 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C D 10 có bảng biến thiên sau Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( cos x ) + ( m − 20 ) f ( cos x ) + m − 21 = có nghiệm thuộc  0;2  A B C D Câu 22 Cho Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c , a  có đồ thị sau Tính tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( sin x ) − 3) = m   có nghiệm x  0;  ?  2 A B Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C có đồ thị hình vẽ D 51 Tổng tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( cos x ) = m có   nghiệm x   ;  2  A −1 B C D −2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên m ( ) để phương trình f x3 − x + = 2m − có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  −1;2 ? A B C D 52 III Hiệu sáng kiến đem lại: III.1 Hiệu kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền): Sáng kiến trình bày phương pháp chung để giải toán hàm hợp phương pháp ghép trục, từ giúp học sinh nắm vững phương pháp, phát huy khả tự học, tự rèn luyện Sáng kiến tài liệu tốt để tự học, tự rèn luyện mà không tốn III.2 Hiệu mặt xã hội (Giá trị làm lợi khơng tính thành tiền(nếu có): Nghiên cứu khoa học giáo dục việc làm không dễ dàng, địi hỏi phải có thời gian, có chọn lọc rút kinh nghiệm lâu dài Bằng việc nghiên cứu lý luận thực tiễn giảng dạy, xuất phát từ vai trị, vị trí mơn đối tượng học sinh, sáng kiến nêu lên phương pháp chung việc giải chủ đề phức tạp Qua khẳng định việc sử dụng phương pháp mang lại hiệu cao đáp ứng mục tiêu chương trình giáo dục phát huy khả tự học, tự nghiên cứu học sinh Đặc biệt, sau áp dụng sáng kiến giảng dạy, kết học sinh hào hứng học tập chủ đề hàm số, góp phần nâng cao kết giáo dục IV Cam kết không chép vi phạm quyền Trên sáng kiến kinh nghiệm thân rút từ thực tế giảng dạy áp dụng nhiều năm nay, chia sẻ đồng nghiệp nhóm mơn áp dụng trường THPT Vũ Văn Hiếu Tôi xin cam đoan sáng kiến tơi tìm tịi xây dựng, có tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử trường THPT nước tổng hợp thành chuyên đề dạy học cho học sinh lớp giảng dạy Tôi xin cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin trân trọng cảm ơn! 54 MỤC LỤC I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: II Mô tả giải pháp kỹ thuật II.1 Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến II.2 Mô tả giải pháp sau tạo sáng kiến A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Sự biến thiên hàm số a Hàm số đơn điệu b Điều kiện cần để hàm số đơn điệu c Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Cực trị hàm số a Điểm cực trị b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Sự tương giao đồ thị Phép suy đồ thị B NỘI DUNG Phương pháp chung 12 Ghép trục tốn khơng có tham số 14 Ghép trục tốn có tham số 31 Bài tập củng cố 42 III Hiệu sáng kiến đem lại: 52 III.1 Hiệu kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền): 52 III.2 Hiệu mặt xã hội (Giá trị làm lợi khơng tính thành tiền(nếu có)): 52 IV Cam kết không chép vi phạm quyền 52 ... khăn q trình học tập Bằng cách sử dụng phương pháp ghép trục học sinh thấy chất toán lời giải trở nên đơn giản, dễ hiểu Bên cạnh đó, khó khăn lớn giáo viên dạy phần để học sinh hứng thú học có khả... làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích nghi học phần này, rút ngắn thời gian làm câu trắc nghiệm mức độ vận dụng, vận dụng cao Những điểm sáng kiến đề cập đến: - Các hướng xây dựng toán. .. pháp giáo viên giúp học sinh giảm bớt nhiều thời gian làm toán trên, học sinh dễ hiểu, dễ ghi nhớ cách làm phương pháp truyền thống Từ học sinh chủ động, tích cực q trình học dạng tốn Từ đây,