Giáo trình phương pháp toán lí phần 2 đinh xuân khoa nguyễn huy bằng

Chương HÀM BIẾN PHỨC 4.1 Số phức 4.1.1 Số phức Như chúng ta biết, phương trình bậc hai x2+1 = vô nghiệm theo cách hiểu thông thường trường số thực Tuy nhiên, có thể mở rộng sang trường số phức để phương trình tồn nghiệm Trong trường số phức, người ta định nghĩa đơn vị ảo (ký hiệu là i) thỏa mãn điều kiện [8]: i2  1, (4.1) với khái niệm đơn vị ảo i, người ta định nghĩa số phức z dạng đại số sau: z= x + iy, (4.2) đó x y là số thực biểu diễn tương ứng với phần thực phần ảo số phức z Vì vậy, ta có thể xem số thực là trường hợp đặc biệt số phức phần ảo không Người ta định nghĩa liên hợp phức z số phức liên hợp (ký hiệu là z*) được xác định z* = x – iy (4.3) Dựa vào định nghĩa liên hợp phức ta gọi độ lớn (đôi gọi là biên độ module) số phức z, ký hiệu là ‫׀‬z‫ ׀‬được xác định bởi: z  x  y  zz* (4.4) Hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 được gọi là và x1 = x2 y1= y2 4.1.2 Các phép toán bản số phức Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2, hai số phức này có phép toán bản đây: a) Phép cộng: z1 + z2= (x1 + x2)+ i(y1 + y2) - 137 - (4.5) b) Phép trừ: z1 - z2= (x1 - x2)+ i(y1 - y2) c) Phép nhân: z1z2= (x1x2 - y1y2)+ i(x1y2 – x2y1) d) Phép chia: (4.6) (4.7) z1 x1  iy1 x1x2  y1 y2 x y x y    i 21 12 (4.8) 2 z2 x2  iy2 x2  y2 x2  y2 4.1.3 Dạng lượng giác số phức định lí De Moivre Ngoài dạng đại số thì số phức có thể được biểu diễn dạng hình học và dạng lượng giác Ta có thể xem cặp số thực (x, y) là số phức với phần thực và phần ảo tương ứng là x y Khi đó, ta có thể biểu diễn số phức theo dạng hình học mặt phẳng xy (cịn gọi là mặt phẳng phức) hình 4.1 Hình 4.1 Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng phức Khi đó, nhờ tính chất lượng giác ta có thể biểu diễn số phức z dạng lượng giác: z  x  iy  (cos+isin) , (4.4) với  x2  y2 (4.5) được gọi là biên độ,  được gọi là argument Như vậy, bên cạnh dạng đại số ta có thể biểu diễn số phức dạng lượng giác - 138 - (4.4) và (4.5) Cách biểu diễn lượng giác có số thuận tiện tính tốn nhờ sử dụng tính chất quan trọng sau: z1z2  12 [cos(1  2 )+isin(1  2 )] , (4.6) z12 1  [cos(1  2 )+isin(1  2 )] , z2  (4.7) z n  n [cos(n)+isin(n)] , (4.8) 1   2k    2k    z n   n cos( )+isin( )  , k = 0, 1, 2, …, n -1 n n   ei  cos  isin (4.9) (4.10) Công thức (4.10) được gọi là công thức Euler 4.2 Hàm biến phức 4.2.1 Khái niệm Cho tập số phức z giả sử ứng với z có tương ứng nhiều giá trị số phức w Khi đó,w được gọi là hàm biến số phức z, ký hiệu là w = f(z) Một hàm biến phức được gọi là đơn trị giá trị z tương ứng với giá trị w Nói chung, chúng ta có thể viết: w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), đó u v là hàm thực x y Ví dụ 4.1 Cho w = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 +2ixy = u + iv; đó u(x, y) = x2 – y2 v(x,y) = 2xy tương ứng là phần thực và phần ảo w Ví dụ 4.2 Vì e2ki = 1, nên dạng lượng giác z z   ei (  2 k ) dạng này thực chất là hàm logarit và hàm mũ được suy ngược với định nghĩa sau lnz là: lnz = ln + ( + 2k)i, với k = 0, 1, 2…n Mỗi giá trị k xác định hàm đơn trị từ hệ hàm đa trị này, là nhánh mà từ đó (trong phạm vi biến phức) hàm đơn trị có thể được xây dựng - 139 - Ví dụ 4.3 Biểu diễn hàm w  thành dạng u(x,y) + iv(x,y), 1 z đó u v là hàm thực Ta có: w 1 1  x  iy  x  iy     z   x  iy   x  iy  x  iy 1  x 2  y Do đó u ( x, y )  1 x 1  x  y , v ( x, y )  y 1  x   y2 Chúng ta định nghĩa hàm biến phức bản cách sử dụng khai triển hàm biến thực tương ứng, thay biến thực x biến phức z Ví dụ 4.4 Chúng ta định nghĩa: ez   z  z z3   , 2! 3! sin z  z  z3 z5 z7    , 3! 5! 7! cos z   z2 z4 z6    2! 4! 6! 4.2.2 Giới hạn liên tục Định nghĩa về giới hạn và liên tục hàm biến phức tương tự định nghĩa hàm biến thực Theo đó, hàm f(z) được gọi là có giới hạn l z tiến tới z0 nó đơn trị lân cận z0, đồng thời với  > cho trước thì tồn  > cho |f(z) – l| <  với < |z – z0| <  Tương tự, f(z) được gọi là liên tục z0, với  > cho trước thì tồn  > cho |f(z) – l| <  với |z – z0|