Đang tải... (xem toàn văn)
On the role of Linear Algebra in the development of Interior Point algorithms and software BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH ThS, GVC Nguyễn Văn Tuấn Tel 0946169668 Email tuannv@apd edu vn HỌC VIỆ[.]
HỌC VIỆN CHÍNH SÁCH VÀ PHÁT TRIỂN KHOA KINH TẾ SỐ BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH ThS, GVC Nguyễn Văn Tuấn Tel: 0946169668 Email: tuannv@apd.edu.vn Bài NHẮC LẠI VỀ HÀM SỐ ◼ Hàm số biến khái niệm Tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt lĩnh vực kinh tế học dạng mơ hình kinh tế ◼ Kiến thức trọng tâm: ◼ Định nghĩa khái niệm hàm số biến ◼ Các đặc trưng hàm số ◼ Hàm ngược ◼ Các phép toán sơ cấp hàm số sơ cấp ◼ Các mơ hình hàm số thường gặp kinh tế học Hàm số 1.1 Biến số: ◼ Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập hợp số D cho trước (D tập không rỗng tập hợp số thực R) ◼ Ký hiệu: x D Tập D gọi miền xác định biến số x ◼ Các biến số thường sử dụng kinh tế học: p: Giá TC: Tổng chi phí (price) Qs: Lượng cung Qd: Lượng cầu (Quantily Supplied) (Quantily Demanded) C: Tiêu dùng (Consumption) (Total Cost) TR: Tổng doanh thu U: Lợi ích I: Đầu tư (Total Revenue) (Utility) (Investment) Hàm số 1.2 Định nghĩa hàm số Cho D tập không rỗng tập hợp số thực R ◼ ◼ Một hàm số xác định tập D quy tắc f đặt tương ứng số thực x D với số thực y Ký hiệu: y = f(x), x D f : D ⎯⎯→ R x ◼ ◼ ◼ y = f(x) Tập D gọi miền xác định hàm số f Tập T = {yR: tồn x D cho y=f(x)} gọi miền giá trị hàm số f Ký hiệu T = f(D) Tập hợp tất điểm M(x,y) với y = f(x), x D mặt phẳng Oxy gọi đồ thị hàm số f Một số đặc trưng hàm số 2.1 Hàm đơn điệu ◼ Hàm số f(x) gọi đơn điệu tăng miền D nếu: x1, x2 D, x1 < x2 f(x1) < f(x2) ◼ Hàm số f(x) gọi đơn điệu giảm miền D nếu: x1, x2 D, x1 < x2 f(x1) > f(x2) y y f(x1) f(x2) y = f(x) y = f(x) f(x1) O f(x2) x1 x2 x Hàm số đơn điệu tăng x1 O x2 x Hàm số đơn điệu giảm Một số đặc trưng hàm số 2.2 Hàm bị chặn ◼ ◼ ◼ Hàm số f(x) gọi bị chặn miền D tồn số M cho: f(x) M, x D Hàm số f(x) gọi bị chặn miền D tồn số m cho: f(x) m, x D Hàm số f(x) gọi bị chặn miền D f(x) bị chặn đồng thời bị chặn miền D, nghĩa tồn số m M cho: m f(x) M, x D VD: - Hàm số y = x2 bị chặn dưới, không bị chặn trên R - Hàm số y = − x bị chặn MXĐ (0 ≤ y ≤3) Một số đặc trưng hàm số 2.3 Hàm số chẵn hàm số lẻ ◼ Hàm số f(x), x D gọi hàm số chẵn nếu: x D - x D f(-x) = f(x) ◼ Hàm số f(x), x D gọi hàm số lẻ nếu: x D - x D f(-x) = -f(x) Chú ý: ❖ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ❖ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Hàm số ngược Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ: D MGT: T Hàm số y = f(x), x D gọi có hàm ngược với giá trị y0 T phương trình f(x) = y0 có nghiệm x0 D Khi từ hàm số y = f(x) có hàm số có MXĐ T, MGT D xác định kí hiệu sau: y = f(x) x = f -1(y), x D, y T Hàm số x = f -1(y) gọi hàm ngược hàm số y = f(x) f : D ⎯⎯→ T x y = f(x) f −1 : T ⎯⎯→ D y x = f −1 (y) Một số hàm số kinh tế học 4.1 Hàm cung hàm cầu: Gọi QS QD lượng cung lượng cầu loại hàng hóa đó; p giá đơn vị hàng hóa Ta có: ❖ Hàm cung: QS = S(p) – đơn điệu tăng; Hàm cung đảo: p=S-1(Q) ❖ Hàm cầu: QD = D(p) – đơn điệu giảm; Hàm cầu đảo: p=D-1(Q) 4.2 Hàm sản xuất ngắn hạn:Q = f(L); Q sản lượng; L lao động 4.3 Hàm doanh thu: TR = TR(Q) ( =pQ); Q sản lượng; TR(0) = 4.4 Hàm chi phí : => Hàm lợi nhuận: TC = TC(Q); Q sản lượng; TC(0) = FC = (Q) = TR – TC; 4.5 Hàm tiêu dùng: C = C(Y); Y thu nhập; C(0) mức td tự định 4.6 Hàm tiết kiệm: S = S(Y); Y thu nhập Bài GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ◼ Giới hạn hàm số khái niệm trung tâm giải tích tốn học Đối với hàm số biến, khái niệm giới hạn hàm số nhằm mô tả xu hướng biến thiên biến phụ thuộc y biến độc lập x dần tới a vơ cực, từ phát triển khái niệm vi phân tích phân hàm số ◼ Yêu cầu sinh viên: ◼ ◼ Nắm ý nghĩa khái niệm giới hạn hàm số, tính chất bản, giới hạn bên Vận dụng tính chất để tính số giới hạn dạng vô định 10 Một số khái niệm hàm số liên tục 1.1 Khái niệm hàm số liên tục điểm: ◼ Hàm số y = f(x) gọi liên tục điểm x0 Df nếu: lim f(x) = f(x ) x → x0 ◼ Nếu f(x) khơng liên tục x0 f gọi gián đoạn x0 1.2 Định lý( Điều kiện để hàm số liên tục điểm): Hàm f(x) liên tục x0 lim f(x) = lim f(x) = f(x ) x → x0 − x → x0 + Một số khái niệm hàm số liên tục 1.3 Khái niệm hàm số liên tục miền: ◼ Hàm số f(x) gọi liên tục miền D f(x) liên tục điểm thuộc D Minh họa hình học: y y y = f(x) y = f(x) O a x0 b f(x) liên tục x0 x O a x0 b f(x) gián đoạn x0 x Tính chất hàm liên tục ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ Nếu hàm số f(x) g(x) liên tục điểm x0 f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x).g(x), f(x)/g(x) liên tục điểm x0 Các hàm số sơ cấp liên tục điểm thuộc MXĐ tự nhiên Nếu f(x) liên tục [a;b] f(x) nhận giá trị trung gian f(a) f(b) Nếu f(x) liên tục [a;b] f(a).f(b) < tồn c(a;b) cho f(c) = Nếu f(x) liên tục [a;b] f(x) bị chặn đạt GTLN, GTNN [a;b] 18 Bài ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ◼ Yêu cầu sinh viên: ◼ Nắm khái niệm , ý nghĩa đạo hàm hàm số điểm, miền ◼ Nắm cơng thức, quy tắc tính đạo hàm hàm hàm hợp ◼ Biết vận dụng đạo hàm vi phân giải số toán kinh tế 19 I Đạo hàm hàm số Đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b); x0 (a;b) ◼ ◼ ◼ Ký hiệu : x = x – x0 số gia đối số x0 Ký hiệu : y = f(x0 + x) – f(x0 ) số gia hàm số Đ/N: Nếu tồn giới hạn tỷ số y/ x x tiến đến giới hạn gọi đạo hàm f(x) x0 , ký hiệu f’(x0 ) Vậy: f(x + x) − f(x ) f(x) − f(x ) y = lim = lim x →0 x x →0 x →x0 x x − x0 f '(x ) = lim 20 ... [a;b] 18 Bài ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ◼ Yêu cầu sinh vi? ?n: ◼ Nắm khái niệm , ý nghĩa đạo hàm hàm số điểm, miền ◼ Nắm cơng thức, quy tắc tính đạo hàm hàm hàm hợp ◼ Biết vận dụng đạo hàm vi phân giải số... hàm số biến, khái niệm giới hạn hàm số nhằm mô tả xu hướng biến thiên biến phụ thuộc y biến độc lập x dần tới a vơ cực, từ phát triển khái niệm vi phân tích phân hàm số ◼ Yêu cầu sinh vi? ?n: ◼... Định nghĩa khái niệm hàm số biến ◼ Các đặc trưng hàm số ◼ Hàm ngược ◼ Các phép toán sơ cấp hàm số sơ cấp ◼ Các mơ hình hàm số thường gặp kinh tế học Hàm số 1.1 Biến số: ◼ Biến số ký hiệu mà ta gán