On the role of Linear Algebra in the development of Interior Point algorithms and software Các khái niệm cớ bản về PTVP PTVP tuyến tính cấp 1 I II 4 CHƯƠNG 7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 I Khái niệm cơ bản[.]
CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I Các khái niệm cớ PTVP II PTVP tuyến tính cấp I Khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa 1: ◼ ◼ Một phương trình mà đối tượng phải tìm hàm số hàm số phải tìm có mặt phương trình dạng đạo hàm vi phân cấp gọi phương trình vi phân Phương trình vi phân chia làm hai loại: PTVP thường: Hàm số phải tìm hàm số biến số VD: y’ = x2 + y2; xdy – y2dx = 0, … PTVP đạo hàm riêng: Hàm số phải tìm hàm số nhiều biến số VD: u u x +y = u; x y u 2u + = 0, x y I Khái niệm phương trình vi phân 2.Định nghĩa 2: ◼ Cấp PTVP cấp cao đạo hàm vi phân hàm số phải tìm có mặt PTVP ◼ Dạng tổng quát PTVP cấp n sau: F(x, y, y’, y”,…,y(n)) = (*) ◼ Nghiệm PTVP (*) hàm số y = (x) thỏa mãn: F(x, (x), ’(x), ”(x),…, (n)(x)) ◼ Giải PTVP nghĩa tìm tất nghiệm PTVP II PTVP tuyến tính cấp 1 Khái niệm ◼ Ptvp tuyến tính cấp ptvp có dạng tổng quát sau: y’ + p(x).y = q(x) (1) ◼ Khi q(x) ptvp (1) có dạng: y’ + p(x).y = (2) gọi ptvp tuyến tính cấp liên kết với (1) Lưu ý: ◼ Ptvp tuyến tính cấp (2) có nghiệm tổng quát: y = C.e-p(x)dx (C số bất kỳ) ◼ Ứng với giá trị C ta nghiệm riêng ptvp II PTVP tuyến tính cấp Các phương pháp giải 2.1 Phương pháp nghiệm riêng Xét ptvp tuyến tính cấp : y’ + p(x).y = q(x) (1) ptvp liên kết: y’ + p(x).y = (2) Định lý: Nếu y0(x) nghiệm riêng ptvp (1) y(x) nghiệm tổng quát ptvp liên kết (2) y0(x) + y(x) nghiệm tổng quát ptvp (1) II PTVP tuyến tính cấp 2.1 Phương pháp nghiệm riêng Các bước thực hành giải ptvp tuyến tính cấp : y’ + p(x).y = q(x) (1) Bước 1: Giải ptvp liên kết: y’ + p(x).y = ta nghiệm tổng quát: y = C.e-p(x)dx = C.y(x) (C số bất kỳ) Bước 2: Tìm nghiệm riêng y0(x) ptvp (1) Kết luận: Nghiệm tổng quát ptvp (1) có dạng: y = y0(x) + C.y(x) (C số bất kỳ) II PTVP tuyến tính cấp 2.1 Phương pháp nghiệm riêng Ví dụ Giải ptvp sau: a) y’ + y = x +1 b) y’ + 2y = 4e2x II PTVP tuyến tính cấp 2.2 Phương pháp biến thiên số y’ + p(x).y = q(x) (1) Bước 1: Giải ptvp liên kết: y’ + p(x).y = ta nghiệm tổng quát: y = C.e-p(x)dx = C.y0(x) (C số bất kỳ) Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát ptvp (1) dạng y = C(x).y0(x) với C(x) hàm số x Tính y' thay vào (1) ta tìm biểu thức C’(x) = q(x).y0-1(x) Kết luận: Nghiệm tổng quát (1) có dạng: y = q(x).y 0−1 (x)dx + C y (x) II PTVP tuyến tính cấp 2.2 Phương pháp biến thiên số VD Giải ptvp sau: a) xy’ - 2y = x3 cos10x b) (xy’ – x)lnx = y c) dy = 2x(1+y)dx d) x2y’ +xy + =0 e) y= x(y’ -xcosx) ... niệm phương trình vi phân Định nghĩa 1: ◼ ◼ Một phương trình mà đối tượng phải tìm hàm số hàm số phải tìm có mặt phương trình dạng đạo hàm vi phân cấp gọi phương trình vi phân Phương trình vi phân. .. số VD: u u x +y = u; x y u 2u + = 0, x y I Khái niệm phương trình vi phân 2.Định nghĩa 2: ◼ Cấp PTVP cấp cao đạo hàm vi phân hàm số phải tìm có mặt PTVP ◼ Dạng tổng quát PTVP cấp n sau:... C.e-p(x)dx (C số bất kỳ) ◼ Ứng với giá trị C ta nghiệm riêng ptvp II PTVP tuyến tính cấp Các phương pháp giải 2.1 Phương pháp nghiệm riêng Xét ptvp tuyến tính cấp : y’ + p(x).y = q(x) (1) ptvp liên kết: