Phép biến đổi laplace

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học ngành khoa học khơng phục vụ cho nó, mà đặc biệt trở thành cơng cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý học Tính chất vật lý học tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày định luật định lượng vật lý học cách xác ta thường phải sử dụng phương pháp tốn học Phương pháp toán học sử dụng từ lâu vật lý Nó giao thoa tốn học vật lý học Những quy luật đơn giản vật lý học cổ điển giải gần trọn vẹn Nhưng quy luật vi mô, vĩ mô tác dụng nhiều trường khác lại hồn tồn bất lực Cùng với điều phát triển mạnh mẽ tốn học bề rộng bề sâu Dẫn tới đời ngành vật lý vật lý lý thuyết Người ta dùng phương pháp toán học để tìm quy luật Những quy luật tổng quát quy luật biết, đoán trước mối quan hệ tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát Nó tìm quy luật tổng quát nhất, phản ánh chất vật lý nhiều tượng xét cách tổng quát Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng Nó gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc ngành như: hàm thực, hàm phức, phương trình vi phân, phép tính tích phân…Các kiến thức tốn khơng cần thiết cho bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành nghiên cứu môn học khác học trường, mà cịn cơng cụ tốn hữu ích cho công tác họ sau trường GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bước đầu khám phá sâu vào công cụ tốn học ứng dụng vật lý Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” số cơng cụ tốn có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý Nó giúp giải toán vật lý cách đơn giản Vì chọn đề tài tơi muốn sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu cơng cụ tốn dùng vật lý nói chung vật lý lý thuyết nói riêng Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng cách linh hoạt nghiên cứu vật lý - Tìm hiểu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ Descartes - Tìm hiểu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ cong, đặc biệt hai hệ tọa độ thường gặp vật lý là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổi Laplace ý nghĩa chúng Phương pháp nghiên cứu - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích tốn học - Đọc tài liệu tra cứu Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace hệ tọa độ Descartes - Chương 2: Phép biến đổi Laplace hệ tọa độ cong - Chương 3: Bài tập GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 2: NỘI DUNG Chương PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES GRADIEN CỦA TRƯỜNG VƠ HƯỚNG 1.1 Trường vơ hướng đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng phần không gian mà điểm M ứng với giá trị đại lượng vơ hướng f (M) Cho trường vơ hướng có nghĩa cho hàm vơ hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào điểm M miền V Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét phân bố nhiệt độ vật thể Tại điểm cho tương ứng với đại lượng vơ hướng nhiệt độ điểm Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z) Nếu hàm vô hướng u = f (M) trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng Nếu f cịn phụ thuộc vào thời gian ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t) Để biểu diễn hình học trường vơ hướng ta dùng khái niệm mặt mức Tập hợp tất điểm cho đại lượng u nhận giá trị C gọi mặt mức tương ứng với số C Ứng với giá trị C ta có mặt mức, cho C giá trị khác ta có họ mặt mức Ví dụ như, trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị mặt phẳng x + y + z = Mặt mức giá trị mặt phẳng x + y + z = Đối với trường vơ hướng cầu đó, mặt mức mặt cầu với tâm gốc tọa GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý độ, ví dụ trường mặt mức u = hình cầu hay Giả sử cho đường cong L đường cong ta chọn hướng (ví dụ theo chiều mũi tên) Khi đường cong gọi định hướng (H.1.1) Giả sử M , điểm đường cong, kí hiệu lấy dấu + điểm lấy dấu - điểm đứng sau điểm M đứng trước điểm M  tỷ số số gia hàm (khi dịch chuyển từ M đến ) độ dài cung  M1 L M Tốc độ trung bình hàm u = f (M) dọc theo cung M độ dài cung H.1.1 , tức bằng: Đạo hàm theo đường cong L điểm giới hạn tỷ số: điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm Kí hiệu đạo hàm qua , ta có: = (1.1) Ta dễ dàng chứng minh: = đểm (1.2) góc tạo vectơ tiếp tuyến với đường cong L trục toạ độ Đạo hàm theo đường cong điểm khơng phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà phụ thuộc vào hướng tiếp tuyến GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp với L điểm đường cong Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý nói cách khác, qua   có điểm vectơ tiếp tuyến, M1 đạo hàm điểm theo đường cong đạo hàm theo đường cong (H 1.2) H 1.2 1.2 Gradien trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) tính đạo hàm u theo hướng vectơ , đ ó = + + Người ta gọi đạo hàm theo hướng vectơ điểm M đạo hàm theo cung L qua M tiếp xúc với Đạo hàm riêng đạo hàm theo hướng vectơ , đạo hàm riêng theo hướng vectơ , đạo hàm riêng đạo hàm theo hướng vectơ Trước hết tìm cosin theo hướng vectơ ; đạo hàm ; Do (1.3) Trong biểu thức tử số tích vơ hướng cuả vectơ độ ( , , vectơ có toạ ) Gọi vectơ gradien u ký hiệu gradu: Gradu = + + (1.4) Do đó: GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Hay là: Vậy: (1.5) Ta thấy vế phải (1.5) hình chiếu gradu lên hướng Từ ta suy đạo hàm điểm M theo hướng gradu lớn Như gradu vectơ mà theo hướng hàm u tăng với vận tốc lớn Ví dụ 1: Cho trường vơ hướng xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng hàm u tăng nhanh Giải: gradu M Đạo hàm theo hướng gradien, tức Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số hướng vectơ điểm theo Giải: Ta thấy ; ; Do đó: GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Định lí: Giả sử gradien hàm u = f (x, y, z) gradu điểm M khác khơng Khi vng góc với   đường cong qua điểm M nằm mặt M mức u(x, y, z) = C, C số Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm mặt mức, hàm u khơng thay đổi l H.1.3 chuyển động theo đường cong l, nên Nhưng đạo hàm theo cung l đạo hàm theo hướng tiếp xúc Theo cơng thức: Tức góc , Quỹ tích tiếp tuyến điểm gradu ≠ nên với đường cong nằm mặt mức gọi mặt tiếp xúc với mặt điểm Nếu có toạ độ thì: Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định f (x, y, z) = 0, ta xem mặt mức hàm u = f (x, y, z) với C = Do ta viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = nhờ cơng thức (1.6) Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic điểm M (2, 1, 5) Mặt cho xét mặt mức hàm GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bởi vì: , Do phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt parabolic cho M có dạng: hay 1.3 Các tính chất Gradien Gradien có tính chất quan trọng sau mà ta sử dụng chứng minh công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v gradu (1.8) c/ grad (1.9) (v≠0) 1.4 Ý nghĩa vật lý gradien Từ (1.3) ta thấy gradien đại lượng vô hướng cho ta vectơ Cho nên vật lý người ta dùng phương pháp tính đại lượng vơ hướng (khơng đơn trị) cách đơn giản hơn, gradien lại cho ta đại lượng vật lý H.1.4 thực dạng vectơ, đơn trị, đo thực nghiệm Thí dụ, điện động lực học người ta tính vơ hướng φ (khơng đơn trị), cường độ điện trường đo thực nghiệm DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 2.1 Trường vectơ-đường vectơ 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta tiếp xúc với trường vectơ trường lực, trường từ hay trường điện nêu Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng đường vectơ, đường không gian mà điểm vectơ nằm dọc theo tiếp tuyến trường điểm Nếu trường vectơ trường lực hấp dẫn, đường vectơ (gọi đường lực) tia xuất phát từ gốc toạ độ Trong trường gradien đường vectơ trường đường mà chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn Để tìm đường vectơ trường Ta tiến hành sau: Giả sử phương trình tham số đường vectơ x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi vectơ tiếp xúc điểm tuỳ ý đường có dạng Theo định nghĩa trường vectơ, vectơ đồng phương với vectơ trường điểm (x, y, z) Vì hình chiếu lên trục toạ độ vectơ tỉ lệ với (2.1) Gọi giá trị chung tỉ số (x, y, z) ta có: ; GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý ; (2,2) Chú ý: hàm (x, y, z, t) chọn tuỳ ý nên phương trình đường vectơ khơng Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh chất z điểm đặt gốc toạ độ Khi đường vectơ tia xuất phát từ gốc toạ độ, ống O vectơ trường có dạng hình nón với đỉnh gốc toạ độ (H.2.1) y x H.2.1 2.1.2 Thông lượng trường vectơ qua mặt 2.1.2.1 Thông lượng Ta xét mặt trơn, hữu hạn S đặt trường vectơ Ta chọn mặt hướng xác định mà ta gọi hướng dương hướng ngược lại mặt hướng âm Ta nói mặt mặt định hướng Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị điểm M mặt S cho vectơ hướng từ âm sang dương vectơ Vị trí vectơ phụ thuộc vào vị trí điểm M mặt Xét hàm f (M) = ( , ) xác định điểm mặt S Nếu góc phương vectơ , ,  tức là: tương ứng hàm liên tục mặt S, tồn tích phân hàm f(M) mặt S Tích phân gọi thơng lượng trường vectơ qua S ký hiệu chữ : (2.2) 10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Ta dễ dàng suy hệ thức sau: a (5.1) Thật , tích hữu hướng hai véctơ cộng tuyến khơng b/ =0 (5.2) Vì véc tơ vng góc với , tích vơ hướng hai véctơ vng góc với khơng Đặt , ta có nghĩa là trường hình ống c/ (5.3) d/ (5.4) 5.2 Toán tử “Laplace” Trong vật lý toán người ta gọi toán tử cấp hai toán tử “Laplace” ký hiệu toán tử Δ Từ hệ thức (5.4) ta có: a/ Trong hệ tọa độ Descartes, xét hàm 34 ta có: GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Tức là: (5.5) b/ Trong hệ tọa độ trụ, xét hàm Tính hệ tọa độ này: trường ta nhận toán tử Laplace (5.6) c/ Trong hệ tọa độ cầu d/ Cuối hệ trực giao tùy ý, hàm Ví dụ: Cho Tính Để đơn giản việc tính tốn ta sử dụng tọa độ cầu nên Kết luận: Chúng ta nghiên cứu phép tính gradien, dive, rota xét hệ tọa độ cong, đặc biệt hai hệ tọa độ cong thường gặp: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Ngoài cịn nghiên cứu tốn tử vi phân cấp 2: Toán tử Nabla, toán tử Laplace Mỗi phép tính có ứng dụng quan trọng vật lý 35 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Chương BÀI TẬP Bài1: Tính Giải Vậy Bài 2: Tính , Giải Ta có: 36 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bài 3: a/ Tính b/ Tính Giải a/ Tính Tương tự ta có: Suy ra: 37 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Vậy b/ Tính rot Bài 4: Tính với Giải 38 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý số Vì Bài 5: Tính nên véctơ khơng đổi, bán kính véctơ Ta có: Tương tự ta có: Vậy 39 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bài 6: Dùng tọa độ Đề Tính Giải a/ b/ c/ Bài 7: Chứng minh a/ b/ c/ Giải a/ 40 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Ta có: b/ Mà: c/ Ta có: Mà: 41 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bài 8: Cho trường vô hướng u=ax2 + by2 –dxy a>0, b>0, d>0 1/ Tìm độ lớn gradien trường vơ hướng u điểm M (2, 1) 2/ Xét xem điểm gradu = điểm vng góc với trục Oy Giải 1/ Ta có 2/ a Xét hệ 42 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Gradu = điểm (0, 0) d2 ≠ 4ab gradu=0 đường d2=4ab b Gradu vng góc với trục Oy điểm đường 2by-dx=0 Bài 9: Cho u=x2 +y2 + z2 tính tọa độ cầu Giải Trong hệ tọa độ cầu: Bài10: Cho hệ tọa độ cong Khảo sát trực giao hệ tọa độ cong Giải Xét cặp tọa độ q1, q2 Vậy q1vng góc với q2 Xét cặp tọa độ q1, q3 Vậy tọa độ q1, q3 vng góc với Xét cặp tọa độ q2,q3 43 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Vậy tọa độ cong trực giao Bài 11: Chứng minh hệ thức sau đây: a/ b/ c/ d/ e/ f/ Giải a/ b/ c/ d/ 44 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý e/ f/ Ta có Nên Bài 12: Tính 45 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 46 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 3: KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài: “Phép biến đổi Laplace” hoàn thành nhiệm vụ đề Nghiên cứu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ Đề Nghiên cứu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ cong Đặc biệt hai hệ tọa độ cong thường gặp hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Đặc biệt từ việc nghiên cứu phép biến đổi Laplace, đề tài đưa số ứng dụng vật lý như: điện động lực học, học lượng tử, điện từ trường… Mặt khác tìm hiểu phép biến đổi Laplace ta cịn nhận thấy điều quan trọng rằng, khơng mang tính chất tốn học mà cịn có ý nghĩa vật lý sâu sắc, thực cơng cụ phục vụ đắc lực cho việc nghiên cứu vật lý Tuy nhiên việc nghiên cứu đề tài mang tính chất tốn học Đề tài mở rộng cho phép biến đổi khác ứng dụng vật lý đại Qua thời gian thực đề tài nghiêm túc, khẩn trương bước đầu hiểu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học…Mặc dù cố gắng khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi chân thành cảm ơn bạn đọc ý kiến đóng góp để luận văn ngày hoàn thiện Trong thời gian thực đề tài tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô khoa Vật Lý đặc biệt cô giáo T.S Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận 47 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp tốn lý, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2004), Phương pháp toán cho Vật lý, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hưởng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1983), Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giaó dục, Hà Nội Nguyễn Phúc Thuần (1998), Điện động lực học, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội Đào Văn Phúc (1976), Điện động lực học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Khắc Nhạp, Nguyễn Hữu Mình (1978), Giáo trình học lý thuyết, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuyên, Nguyễn Văn Đạo, Ngô Văn Thảo, Nguyễn Thế Tiến (1976), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐH THCN, Hà Nội 48 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ... chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài: ? ?Phép biến đổi Laplace? ?? hoàn thành nhiệm vụ đề Nghiên cứu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ Đề Nghiên cứu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ cong Đặc biệt hai hệ... học sử dụng chúng cách linh hoạt nghiên cứu vật lý - Tìm hiểu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ Descartes - Tìm hiểu phép biến đổi Laplace hệ tọa độ cong, đặc biệt hai hệ tọa độ thường gặp vật... Đặc biệt từ việc nghiên cứu phép biến đổi Laplace, đề tài đưa số ứng dụng vật lý như: điện động lực học, học lượng tử, điện từ trường… Mặt khác tìm hiểu phép biến đổi Laplace ta cịn nhận thấy điều