Phương pháp biến đổi laplace

Trang 1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Trang 2  PP PT vi phân Biến đổi Laplace Hàm truyền đạt tín hiệu vào/raNỘI DUNG BÀI HỌCĐể học tốt:Dừng hình: suy ngẫm – ghi chépSo sánh giáo

TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Viện công nghệ sinh học công nghệ thực phẩm BÀI 2.1: PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG TUYẾN TÍNH 2.1.2.PP BIẾN ĐỔI LAPLACE GVC TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG VIỆN CÔNG NGHỆ SINH HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỰC PHẨM NỘI DUNG BÀI HỌC  PP PT vi phân  Biến đổi Laplace  Hàm truyền đạt (tín hiệu vào/ra) Để học tốt: Dừng hình: suy ngẫm – ghi chép So sánh giáo trình: đào sâu kiến thức Thực chi tiết: tính tốn Ví dụ MỤC TIÊU TIẾT HỌC Những vấn đề cần nắm vững: f f(t) t F(s)  Biến đổi Laplace F (s )  L f (t )   f (t )e dt st 0 Định nghĩa biến đổi Laplace - BĐ Laplace hàm f(t0) xác định  F ( s)  L  f (t )   f (t ).est dt ƯD: PTVP tuyến tínhPT Đại số - BĐ Laplace tờn TPSR hội tụ s: Biến Laplace (Phức: s = +j) F(s): Ảnh của f(t) qua BĐ Laplace -L : Toán tử biến đổi Laplace (L) Một số biến đổi Laplace (1) Tín hiệu xung Dirac: 0  δ t      t 0 t 0   L δ t    δ t  e dt st 0  L δ t   e s0 1 Mợt số biến đổi Laplace (2) Tín hiệu xung Đơn vị:  t 0   u t   1(t )     1 t     0 0 L u t    u t  est dt   est dt st  e s   s0   0   e    s  s  Một số biến đổi Laplace (3–9) f(t), t>0 Kt Ke-at Kte-at Ksint Kcost Ke-atsint F(s) K/s2 K/(s+a) K/(s+a)2 K/(s2+2) Ks/(s2+2) K/[(s+a)2+2)] Ke-atcost K(s+a)/[(s+a)2+2)]  Xem thêm: PL Giáo trình Tính chất (1) Tuyến tính (quan trọng) L a f(t )  b g(t ) Lg( t )Gs  Lf( t )Fs  a F s  b Gs  Tính chất (2) Giá trị đầu giới hạn cuối: (Để xác định sai lệch tĩnh) f 0  lim s F  s    s f   lim s F  s  s 0 SLT  e   lim sE  s  s0 Tính chất (3.a) Laplace đạo hàm: XD Hàm truyền    L f   t    f   t  est dt 1 0    L f   t   f t est     st   s f t e dt     0   L f   t    f 0   s  f t  est dt 0    L f   t   s F s   f 0  Tính chất (3.b) BĐ Laplace đạo hàm bậc cao:  L f n  t    L  f  n1 t  1   s Fs n     n1 nn  nn n1     s f     s f       s 1 0   f 0 f 0    Với ĐK đầu triệt tiêu  Hàm truyền Tính chất (3.b) BĐ Laplace Đạo hàm bậc cao  L f n t      n n1 nn  nn n1     s F s   s f f  0     s     s 1 0   f 0 f 0    ĐK đầu triệt tiêu  XD Hàm truyền  L f n t   s Fs n Laplace nguyên hàm GT Tính chất (4) - Hàm tắt dần, dịchtrục miền Laplace L e at f t    e at f t e st dt 0    f t e  ( s a )t dt  F s  a 0 n! n! at n L t ut   n1  L e t ut   n 1 s s  a   n Tính chất (5) -Co trục thời gian, giãn miền Laplace   L f(at )   f(at )e 0 st dt   f(  )e 0 s a d a   s   as   L f(at )   f(  )e ad   F   a  a  a 0 EX : L sin t  u t   s 1 1   L sin t  u t    2  s  s  2       Biến đổi Laplace với ĐKTĐ ƯD: PTVP tuyến tính  PT Đại số PTVP TT Giải miền (t) Miền thời gian (t) BĐ Laplace BĐ Laplace ngƣợc Miền Laplace (s) PT Đại số Giải miền (s) BĐ Laplace: PTVP  PTĐS (Xem lại giải tích phần: PTVPTT) 2y   y   2y  g (t ), y (0)  0, y (0)     1,  t  20  g (t )  u5 (t )  u20 (t )   0,  t  5; t  20 PTVP Laplace  2y   y   2y  u5 (t )  u20 (t )   2L { y }  L { y }  2L { y }  L {u5 (t )}  L {u20 (t )}  5 s 20 s e  e 2s L { y }  2sy (0)  2y (0) sL { y }  y (0)  2L { y }    s e5s  e20s  2s  s  2Y (s )  2s  1 y (0)  2y (0)  s e  Y (s )  s 2s 5 s  e20s   s  2 H ( s )    s 2s s 2 A Bs C   s s s  e 5 s  e20s  H (s ) PTĐS Laplace ngƣợcNghiệm PTVP e  Y (s )  s 2s 5 s  e20s   s  2 H ( s )    s s s 2 A Bs C   s 2s s 2 e (2A+B)s +(A+C)s+2A=1 5 s  e20s  H (s ) A Bs+C 1/2 s+1/2 1/2 = + = -  A=1/2, B=-1, C=-1/2 s 2s +s+2 s 2s +s+2 s    s+1/4   1 15 /4   H(s)=-       s+1/42 +15/16  15   s+1/42 +15/16      1 -t/4  15  -t/4  15  -1  h(t)=L {H(s)}= - e cos  te sin  t    15 2    H(s) =  y (t )  u5 (t )h(t  5)  u20 (t )h(t  20) VĐ: ĐK hệ có q đợ tắt dần y(t) u(t) ay"(t)+by'(t)+cy(t)=u(t) BĐ Laplace TN  Xet : u ( t )0  y (0)0;y '(0)0 as 2Y(s)  bsY(s)  cY(s)   as  bs  c   Xet   s1; s2 Hệ có độ tắt dần phần thực nghiệm âm a,b,c dấu; Hệ DĐ tắt dần  a,b,c dấu Δ