ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÁ NAM VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC, HỆ SỐ ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN BÁ NAM VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC, HỆ SỐ ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN BÁ NAM VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC, HỆ SỐ ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức giải tích tổ hợp 1.1 Hai quy tắc đếm 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.2 Hốn vị hốn vị xoay vịng 1.2.1 Hoán vị 1.2.2 Hoán vị xoay vịng (hay hốn vị trịn) 1.3 Tổ hợp 4 8 10 13 16 17 18 22 24 30 33 38 43 Chương Một số toán áp dụng 3.1 Một số toán hệ số nhị thức hệ số đa thức 3.2 Một số toán liên quan kỳ thi học sinh giỏi 48 48 84 Tài liệu tham khảo 90 Chương Về hệ số nhị thức hệ số đa thức 2.1 Định lý nhị thức 2.2 Đồng tổ hợp 2.3 Tam giác Pascal 2.4 Đồng Shih - Chieh 2.5 Một vài tính chất hệ số nhị thức 2.6 Hệ số đa thức Định lý hệ số đa thức 2.7 Tổng hệ số nhị thức 2.8 Quỹ đạo tiệm cận hệ số nhị thức Bảng ký hiệu N N∗ Z R a |b a |b [x] a ≡ b (mod m) |S| n Cnr = r Arn = Pnr Pn Qn Hrn Cnn1 ,n2 , ,nm MO IM O AP M O V MO = = = = = = = : : = : = Tập hợp số tự nhiên {0, 1, 2, } Tập hợp số tự nhiên khác {1, 2, } Tập hợp số nguyên { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, } Tập hợp số thực a ước b a không ước b phần nguyên số thực x a đồng dư b theo mô đun m số phần tử tập hợp S = số tổ hợp chập r tập n phần tử = n! r!(n−r)! = = số chỉnh hợp chập r n phần tử = = = = = = : : : : số hoán vị tập n phần tử n! số hốn vị vịng quanh tập n phần tử (n − 1)! r Cr+n−1 n! (n−r)! n! n1 !.n2 ! nm ! Olympic Olympic Olympic Olympic Toán Toán Toán Toán học Quốc tế Châu Á Thái Bình Dương Việt Nam Mở đầu Trong q trình giảng dạy Tốn THPT, tơi nhận thấy đa số học sinh, việc tiếp thu kiến thức chương Tổ hợp - Xác suất khó khăn Đây phần kiến thức khó chương trình sách giáo khoa Chủ yếu kiến thức chuyên sâu tổ hợp tập trung chương trình bậc Cao đẳng - Đại học, nên khó khăn cho thầy giáo giảng dạy Tốn THPT việc áp dụng phương pháp giảng dạy cho phù hợp Về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nhị thức Newton xuất Sách giáo khoa lớp 11 Dựa vào khai triển nhị thức Newton giúp khai triển lũy thừa bậc cao Đối với học sinh giỏi học sinh ơn thi THPT Quốc gia, ngồi tính chất khai triển tính chất mở rộng hệ số nhị thức đa thức chủ đề thú vị tốn chủ đề thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp, có đề thi THPT Quốc gia Nhằm hệ thống cách chặt chẽ phần kiến thức liên quan nói trên, chúng tơi chọn đề tài: “Về hệ số nhị thức, hệ số đa thức số tốn liên quan.” Ngồi phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Một số kiến thức giải tích tổ hợp Chương trình bày số kiến thức giải tích tổ hợp: Hai quy tắc đếm bản, hoán vị hốn vị xoay vịng, tổ hợp số ví dụ minh họa Chương Về hệ số nhị thức hệ số đa thức Chương trình bày định lý hệ số nhị thức, số đẳng thức tổ hợp, tam giác Pascal, đẳng thức Chu Shih-Chieh, số tính chất hệ số nhị thức, hệ số đa thức định lý hệ số đa thức, tổng hệ số nhị thức nhau, quỹ đạo tiệm cận hệ số nhị thức 3 Chương Một số tốn áp dụng Chương trình bày hệ thống toán sơ cấp liên quan đến hệ số nhị thức, hệ số đa thức số toán kỳ thi học sinh giỏi Để hoàn thành luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Xuân Quý, người thầy nhiệt huyết truyền thụ kiến thức, hướng đề tài tận tình hướng dẫn suốt q trình làm luận văn Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn thầy, cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa ToánTin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Qua đây, gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường THPT Yên Phong số thầy giáo Tổ Tốn nhà trường, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi công tác giảng dạy để tơi tập trung hồn thành chương trình học, luận văn Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đặc biệt người vợ tôi, động viên, giúp đỡ nguồn động lực cho tơi q trình học, hồn thiện luận văn Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Bá Nam Chương Một số kiến thức giải tích tổ hợp Trong chương này, chúng tơi trình bày hai quy tắc đếm bản, hoán vị hoán vị xoay vịng, tổ hợp số ví dụ liên quan Nội dung cụ thể trình bày mục sau: 1.1 Hai quy tắc đếm Trong sống hàng ngày, thường gặp tình cần đếm liệt kê "sự kiện" như: xếp vật theo cách đó, phân chia vật điều kiện định, phân phối vật dụng theo đặc điểm định, Ví dụ, gặp tốn đếm loại sau: "Có cách để xếp chàng trai cô gái thành hàng cho khơng có hai gái ngồi cạnh nhau?", "Có cách để chia nhóm 10 người thành ba nhóm bao nhỏ gồm tương ứng 5, người nhóm?" Đây hai ví dụ đơn giản "hốn vị" "tổ hợp" Trước tìm hiểu hốn vị tổ hợp, nêu lên hai quy tắc phép đếm 1.1.1 Quy tắc cộng Nội dung quy tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj (1 ≤ i ≤ n, i 6= j), có n P k=1 mk cách chọn đối tượng a1 , a2 , , an Quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp phát biểu sau: Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n) Ai ∩ Aj 6= ∅, i 6= j Khi đó, số cách chọn a1 , a2 , , an số cách chọn phần tử a thuộc n S k=1 Ak S n A k k=1 = n P k=1 |Ak | Ví dụ 1.1.1 (Tài liệu [2], trang 2) Có thể từ thành phố A đến thành phố B đường thủy, đường hàng không đường Giả sử có cách đường thủy, cách đường hàng không cách đường Khi đó, theo quy tắc cộng, tổng số đường từ A đến B đường thủy, đường hàng không đường là + + = Ví dụ 1.1.2 (Tài liệu [2], trang 2) Tìm số cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện: x2 + y ≤ Lời giải: Ta chia làm trường hợp: x2 + y = 0, 1, 2, 3, 4, Với i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta đặt Si = (x; y) |x, y ∈ Z, x2 + y = i n o Khi đó, ta có S0 S1 S2 S3 S4 S5 = {(0; 0)} = {(1; 0), (−1; 0), (0; 1), (0; −1)} = {(1, 1), (−1; −1), (1; −1), (−1; 1)} = ∅ = {(2, 0), (−2; 0), (0; 2), (0; −2)} = {(2, 1), (−2; −1), (2; −1), (−2; 1) , (1; 2), (−1; −2) , (1; −2), (−1; 2)} Vậy, theo quy tắc cộng, tổng số cặp (x; y) thỏa mãn đề là: X |Si | =1 + + + + + = 21 i=1 Ví dụ 1.1.3 (Tài liệu [1], trang 12) Với chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác số phải thiết có mặt chữ số 1? Lời giải: Gọi số cần lập abcd Vì abcd thiết phải có mặt chữ số 1, nên ta xét tập A1 , A2 , A3 , A4 tập số dạng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1 tương ứng Xét A1 lập số 1bcd, b có cách chọn từ chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6; c có cách chọn từ chữ số thuộc tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {b}; d có cách chọn từ chữ số tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {b, c} Do đó, số cách lập số dạng 1bcd 6.5.4 = 120 hay |A1 |=120 Xét A2 , A3 , A4 • Xét A2 Chữ số a đứng đầu số a1cd, nên khơng chữ số 0, nên a chọn từ chữ số 2, 3, 4, 5, 6; c có cách chọn từ chữ số thuộc tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {a}; d có cách chọn từ chữ số tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {a, c} Do đó, số cách lập số dạng a1cd 5.5.4 = 100 hay |A2 |=100 Lập luận tương tự, ta có |A3 | = |A4 | = 100 • Vì số thuộc dạng khác khác nhau, nên với i, j với (1 ≤ i, j ≤ 4) , i 6= j, ta có Ai ∩ Aj = ∅ Do đó, số số cần tìm tính theo quy tắc cộng, ta có |A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = 120 + 100 + 100 + 100 = 420 1.1.2 Quy tắc nhân Nội dung quy tắc nhân: Cho n đối tượng a1 , a2 , , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn a3 , Cuối với cách chọn a1 , a2 , an−1 có mn , cách chọn đối tượng an Như có m1 m2 .mn−1 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , a3 , , an Quy tắc nhân theo ngôn ngữ tập hợp phát biểu sau: Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk Khi đó, số cách chọn (S) gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ), với ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) S = |A1 × A2 × × An | = m1 × m2 × × mn = n Y mk k=1 Ví dụ 1.1.4 (Tài liệu [1], trang 13) Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D mà phải qua thành phố B thành phố C? Lời giải: Trước hết ta tìm số đường từ A đến D qua B Có cách chọn đường từ A đến B có cách chọn đường từ B đến D, nên theo quy tắc nhân, số cách chọn đường từ A đến D qua B 4.2=8 Tương tự, số cách chọn đường từ A đến D qua C 3.4=12 Vì cách chọn đường từ A sang D qua B cách chọn đường từ A sang D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số đường để từ A sang D 8+12=20 Ví dụ 1.1.5 (Tài liệu [2], trang 5) Tìm số ước số dương số 600 (kể nó) Lời giải: Trước hết, ta thấy số 600 có phân tích thành tích qua thừa số nguyên tố, 600 = 23 31 52 Do đó, số nguyên dương m ước 600 m có dạng m = 2a 3b 5c , với a, b, c ∈ Z cho ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 1, ≤ c ≤ Vậy, số ước số dương 600 số cách để tạo thành ba (a, b, c), với a ∈ {0, 1, 2, 3} , b ∈ {0, 1} , c ∈ {0, 1, 2} Khi đó, theo quy tắc nhân, ta có tất 4x2x3=24 ước số dương số 600 Nhận xét 1.1.6 Bằng cách áp dụng quy tắc nhân cách tương tự, ta có kết tổng quát sau đây: Nếu số tự nhiên n có phân tích thành thừa số nguyên tố dạng n = p1k1 pk22 pkr r , đó, pi số nguyên tố phân biệt ki số r Q nguyên, số ước số dương n (ki + 1) i=1 Trong ví dụ trên, thấy quy tắc cộng nhân sử dụng riêng biệt để giải số toán đếm Hiển nhiên, việc giải toán phức tạp cần áp dụng đồng thời hai quy tắc cộng quy tắc nhân Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.1.7 (Tài liệu [2], trang 5) Cho tập X = {1, 2, , 100} Đặt S = {(a; b, c) |a, b, c ∈ X, a < b, a < c} Tìm số phần tử S Lời giải: Để giải toán, ta chia thành trường hợp rời rạc cách xét a = 1, 2, 3, , 99 Đối với a = k ∈ {1, 2, , 99}, số lựa chọn cho b 100 - k cho c 100 - k Do đó, số lượng yêu cầu ba yêu cầu (k, b, c) (100 − k)2 , theo quy tắc nhân Vì k lấy giá trị 1, 2, , 99, cách áp dụng quy tắc cộng, có |S| = 992 + 982 + + 22 + 12 Sử dụng công thức n P k=1 k2 = n (n + 1) (2n + 1), cuối ta có |S| = 61 99.100.199 = 328350 1.2 1.2.1 Hốn vị hốn vị xoay vịng Hoán vị Trong phần đầu Mục 1.1, ta đề cập đến tốn sau: "Có cách để xếp chàng trai cô gái thành hàng cho khơng có hai gái ngồi cạnh nhau?" Đây ví dụ điển hình vấn đề tổng quát xếp số người hay đồ vật khác tùy thuộc vào điều kiện cụ thể định Định nghĩa 1.2.1 (Tài liệu [2], trang 6) Cho A = {a1 , a2 , an } tập hợp gồm n phần tử khác Với số tự nhiên k, < k < n, k-hoán vị A hay chỉnh hợp chập k n phần tử A, cách xếp k phần tử A liên tiếp Khi k = n, n-hoán vị A gọi đơn giản hoán vị A Ký hiệu số k-hoán vị A hay chỉnh hợp chập k n phần tử A Akn , hay Pnk Bằng quy tắc nhân, dễ dàng chứng minh công thức: Akn = n.(n − 1) (n − k) hay Akn = n! (n − k)! Khi k = n, số hoán vị A Ann ký hiệu gọn lại Pn Khi đó, ta có cơng thức: Pn = n! với quy ước 0! = A0n = Ví dụ 1.2.2 Cho A = {a, b, c, d} Khi đó, tất 3-hốn vị A liệt kê đây: abc, acb, bac, bca, cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab, dba, acd, adc, cad, cda, dac, dca, bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb Vậy có tất A34 = 24 số chỉnh hợp chập Ví dụ 1.2.3 Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách? Lời giải: Mỗi cách xếp chỗ người băng ghế hoán vị phần tử Vậy có P5 = 5! = 120 cách Ví dụ 1.2.4 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Lời giải: Gọi A = a1 a2 a3 a4 a5 với a1 6= a1 , a2 , a3 , a4 , a5 phân biệt, số cần lập + Bước 1: chữ số a1 6= nên có cách chọn a1 + Bước 2: chữ số lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 1.2.5 Có chàng trai gái găp mặt Hỏi có cách xếp họ theo hàng cho: a) Ba cô gái ngồi gần (tức khơng có chàng trai ngồi hai gái)? b) Hai chàng trai ngồi hai đầu hai gái gần nhau? Lời giải: a) Vì gái ln ngồi gần nhau, nên ta coi ba gái phần tử thống Khi đó, số cách xếp chàng trai với phần 10 tử (7 + 1)! cách Vì gái hốn đổi vị trí cho với số cách 3! cách Do đó, theo quy tắc nhân, số cách xếp trường hợp là: 8!.3! (cách) b) Trước tiên xem xét xếp cho chàng trai sau cho gái Có 7! cách xếp chàng trai vào vị trí từ B1 đến B7 (như Hình 1.1) Như vậy, có chỗ trống cho gái G1 , G2 , G3 (các cô gái xếp vào trống hình 1.1) G1 có lựa chọn Vì khơng có hai gái cạnh nhau, nên G2 có lựa chọn G3 có lựa chọn Do đó, theo quy tắc nhân, số cách xếp trường hợp 7! x x x (cách) Hình 1.1: Minh họa Ví dụ 1.2.5 b) 1.2.2 Hốn vị xoay vịng (hay hốn vị trịn) Các hốn vị thảo luận Phần 1.2.1 liên quan đến xếp vật hàng Có hốn vị địi hỏi xếp đối tượng đường trịn Đây gọi hốn vị xoay vịng hay hốn vị trịn Để hiểu rõ hốn vị trịn, trước hết ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2.6 (Ví dụ dẫn dắt) (Tài liệu [1], trang 16) Mời sáu người khách ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp chỗ ngồi? Lời giải: Vì xếp người khách ngồi bàn trịn nên người ngồi ngồi vị trí Do đó, ta mời người ngồi 11 vào vị trí trước, số cách xếp người cịn lại vào vị trí cịn lại 5!=120 cách Vậy có tất 120 cách xếp sáu người vào ngồi xung quanh bàn tròn Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.7 (Tài liệu [1], trang 16) Số hoán vị xoay vịng (hốn vị vịng quanh) n phần tử khác nhau, ký hiệu Qn , tính cơng thức Qn = (n − 1)! Ví dụ 1.2.8 (Tài liệu [1], trang 16) Một hội nghị bàn tròn có nước tham gia: Anh có đại biểu, Pháp có đại biểu, Nga có đại biểu, Mỹ có đại biểu Nhật có đại biểu Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho đại biểu cho người quốc tịch ngồi cạnh nhau? Lời giải: Đầu tiên xếp khu vực cho đại biểu nước Ta mời phái đồn ngồi vào chỗ trước Khi đó, bốn phái đồn cịn lại có 4! cách xếp Đối với cách xếp phái đoàn, lại có: 4! cách xếp đại biểu nội phái đoàn Anh; 3! cách xếp đại biểu nội phái đoàn Pháp; 4! cách xếp đại biểu nội phái đoàn Nga; 4! cách xếp đại biểu nội phái đoàn Mỹ; 3! cách xếp đại biểu nội phái đồn Nhật Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho tất đại biểu để người quốc tịch ngồi cạnh 4!.4!.3!.4!.4!.3!=11943936 Ví dụ 1.2.9 (Tài liệu [2], trang 15) Có cách chàng trai gái ngồi xung quanh bàn trịn, a) chỗ ngồi tùy ý? b) chàng trai B1 cô gái G1 không ngồi gần nhau? c) gái ngồi cạnh nhau? Lời giải: a) Số cách xếp Q8 = 7! b) chàng trai cô gái không bao gồm G1 có số cách xếp chỗ ngồi (7-1)!=6! cách Với xếp thể Hình 1.2, G1 có (= 12 - 2) lựa chọn cho chỗ ngồi không liền kề với B1 Do đó, số cách xếp chỗ ngồi để thỏa mãn yêu cầu 6! x = 3600 (cách) c) Đầu tiên, ta Hình 1.2: Minh họa Ví dụ 1.2.9 b) xếp chỗ ngồi cho chàng trai quanh bàn trịn Như có (5 - 1)! = 4! cách Với xếp thể hình 1.3, có cách để xếp chỗ cho gái G1 Vì khơng có hai gái gần nhau, G2 G3 có lựa chọn tương ứng Do đó, số cách xếp chỗ ngồi để thỏa mãn yêu cầu 4! x x x = 1440 (cách) Hình 1.3: Minh họa Ví dụ 1.2.9 c) Ví dụ 1.2.10 (Tài liệu [2], trang 16) Có cách để xếp chỗ ngồi cho n cặp vợ chồng xung quanh bàn tròn, trường hợp sau đây: 13 a) Đàn ông phụ nữ ngồi xen kẽ b) Mỗi phụ nữ ngồi cạnh chồng Lời giải: a) Với n ơng chồng, có số cách xếp chỗ (n - 1)! cách Tiếp theo, n bà vợ ngồi n khoảng cách hai người đàn ông, với số cách xếp n! cách Do đó, theo quy tắc nhân, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu (n - 1)!.n ! (cách) b) Mỗi cặp vợ chồng xem thực thể thống Số cách để xếp n cặp vợ chồng xung quanh bàn trịn (n - 1)! Vì hai vợ chồng cặp đổi chỗ cho với 2! cách, nên số cách xếp theo yêu cầu toán là: (n − 1)!.2n (cách) 1.3 Tổ hợp Định nghĩa 1.3.1 (Tài liệu [1], trang 19) Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử thuộc A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Nhận xét 1.3.2 Hai tổ hợp coi khác có phần tử khác Dễ dàng rằng, số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) n phần tử, ký hiệu Cnk , tính theo cơng thức Cnk = Akn k! = n! k!(n−k)! Tính chất: Sử dụng cơng thức tính số tổ hợp, dễ dàng chứng minh đẳng thức sau đây: Cnk = Cnn−k , (1.1) k−1 k Cnk = Cn−1 + Cn−1 (1.2) Ví dụ 1.3.3 (Tài liệu [2], trang 20) Có cách thành lập Hội đồng gồm thành viên từ nhóm gồm 11 người bao gồm giáo viên sinh viên nếu: a) Số người chọn ngẫu nhiên? b) Trong Hội đồng phải có giáo viên? c) Trong Hội đồng phải có giáo viên? 14 Lời giải: = 462 a) Số cách chọn C11 b) Trước hết, ta chọn giáo viên số giáo viên, có C42 = cách chọn Sau đó, chọn sinh viên từ sinh viên, có C73 = 35 cachs chọn Do đó, theo quy tắc nhân, số cách thành lập hội đồng trường hợp 6.35=210 (cách) c) Có trường hợp: Hội đồng có giáo viên có giáo viên Trường hợp Hội đồng có giáo viên, số cách lập C43 C72 = 84 (cách) Trường hợp Hội đồng có giáo viên, số cách lập C44 C71 = (cách) Như vậy, theo quy tắc cộng, số cách lập Hội đồng thỏa mãn yêu cầu 84 + = 91 (cách) Ví dụ 1.3.4 (Tài liệu [2], trang 24) Cần xếp chỗ cho người vào ngồi bàn tròn, với giả thiết phải có người ngồi bàn Khi đó, có cách xếp chỗ nếu: a) Có bàn trịn b) Có bàn trịn Lời giải: a) Khi có bàn trịn, ta xét trường hợp số người ngồi xung quanh bàn tương ứng là: (1) (2) (3) 5+1 4+2 3+3 Trường hợp 1: Có C65 cách phân chia người thành nhóm với số người nhóm người Theo cơng thức tính số hốn vị trịn, người lựa chọn ngồi xung quanh bàn tròn với (5-1)! cách người cịn lại có 0! cách ngồi bàn trịn cịn lại Do đó, theo quy tắc nhân, số cách xếp trường hợp C65 4!.0! = 144 (cách) Trường hợp 2: Có C64 cách phân chia người thành nhóm với số người nhóm người Như vậy, tương tự trường hợp trên, số cách xếp trường hợp C64 3!.1! = 90 (cách) Trường hợp 3: Chúng ta phải cẩn thận trường hợp Số cách phân chia người thành nhóm với số người nhóm 3, 3 C6 Vì vậy, số cách xếp trường hợp C6 2!.2! = 40 (cách) 15 Vậy, theo quy tắc cộng, tổng số cách xếp người vào bàn tròn theo yêu cầu 144+90+40=274 (cách) b) Khi có bàn trịn, ta xét trường hợp số người ngồi xung quanh bàn tương ứng là: (1) + + (2) + + (3) + + Khi đó, số cách xếp trường hợp là: (1) C6 C2 3!.0!.0! = 90; (2) C63 C32 2!.1!.0! = 120; (3) 2 3! C6 C4 1!.1!.1! = 15 Vậy, theo quy tắc cộng, tổng số cách xếp người vào bàn tròn theo yêu cầu 90+120+15=225 (cách) 16 Chương Về hệ số nhị thức hệ số đa thức Cho trước k, n ∈ Z với ≤ k ≤ n, số Cnk định nghĩa Chương số tập có k phần tử tập n phần tử Để thuận tiện, ta định nghĩa Cnk = k > n k < Do đó, ta viết Cnk = n! k!(n−k)! 0 ≤ k ≤ n, k > n, k < với k, n ∈ Z, n ≥ Trong Chương 1, ta có số đẳng thức từ số Cnk Ngoài ra, tiếp tục sử dụng cơng thức tính số tổ hợp, ta dễ dàng thu kết tương tự Các kết tóm tắt thành đẳng thức sau Cnk = Cnn−k n k−1 Cnk = Cn−1 , k≥1 k n − k + k−1 Cnk = Cn , k ≥ k k−1 k Cnk = Cn−1 + Cn−1 k m−k Cnm Cm = Cnk Cn−k (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Các số Cnk quan trọng lớn, chúng gọi hệ số nhị thức chúng xuất hệ số biểu diễn (x + y)n Trong chương này, ta trình bày tính chất số đẳng thức thu từ hệ số nhị thức Các kỹ thuật khảo sát nhấn mạnh 17 việc tìm đồng tốn học Chúng ta giới thiệu nghiên cứu hệ số đa thức trường hợp tổng quát hệ số nhị thức 2.1 Định lý nhị thức Ta bắt đầu phần với dạng đơn giản Định lý nhị thức thiết lập I Newton (1646 - 1727) vào năm 1676 Định lý 2.1.1 (Tài liệu [2], trang 70) Với số nguyên n ≥ 0, ta có (x + y)n = Cn0 xn + Cn1 xn−1 y + · · · + Cnn−1 xy n−1 + Cnn y n = n X Cnk xn−k y k k=0 Cách chứng minh thứ nhất: (Quy nạp toán học) Giả sử đẳng thức định lý với n = k, tức (x + y)k = k P r=0 Ckr xk−r y r Xét n = k + 1, ta có (x + y)k+1 = (x + y)(x + y)k = (x + y) k X r=0 = k X Ckr xk−r y r Ckr xk+1−r y r + k X (theo giả thiết quy nạp) Ckr xk−r y k+1 r=0 r=0 k+1 k = Ck x + Ck x y + Ck2 xk−1 y + Ck0 xk y + Ck1 xk−1 y + · · · + + · · · + Ckk xy k Ckk−1 xy k + Ckk y k+1 k+1 Áp dụng đẳng thức (2.4) quy ước Ck0 = = Ck+1 , Ckk = = Ck+1 , ta có k k+1 k+1 (x + y)n+1 = Ck+1 xk+1 + Ck+1 xk y + · · · + Ck+1 xy k + Ck+1 y Do đó, kết định lý suy từ quy nạp Cách chứng minh thứ hai: (Phương pháp tổ hợp) Ta cần chứng minh hệ số xn−k y biểu diễn (x + y)n Cnk xong ... Chương Một số toán áp dụng 3.1 Một số toán hệ số nhị thức hệ số đa thức 3.2 Một số toán liên quan kỳ thi học sinh giỏi 48 48 84 Tài liệu tham khảo 90 Chương Về hệ số nhị thức hệ số đa thức. .. thức, hệ số đa thức định lý hệ số đa thức, tổng hệ số nhị thức nhau, quỹ đạo tiệm cận hệ số nhị thức 3 Chương Một số toán áp dụng Chương trình bày hệ thống tốn sơ cấp liên quan đến hệ số nhị thức, . .. hợp số ví dụ minh họa Chương Về hệ số nhị thức hệ số đa thức Chương trình bày định lý hệ số nhị thức, số đẳng thức tổ hợp, tam giác Pascal, đẳng thức Chu Shih-Chieh, số tính chất hệ số nhị thức,