Ung dung nhi thuc newton vao chung minh bat dang thuc toan 11

Chương I UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Năm học 2013 2014 PHẦN 1 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1 TÊ[.]

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Năm học 2013 - 2014 PHẦN THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.Lĩnh vực áp dụng SKKN: MƠN TỐN Tác giả: Họ tên: NGUYỄN NGỌC CHI Nam (nữ): Nam Ngày tháng/năm sinh: 29/10/1981 Trình độ chun mơn: Đại học Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên, Trường THPT KINH MƠN Điện thoại: 0934656989 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THPT Kinh Môn Địa chỉ: Xã Hiệp An – Huyện Kinh Môn – Tỉnh Hải Dương Điện thoại: 03203822236 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu : Trường THPT Kinh Môn Địa chỉ: Xã Hiệp An – Huyện Kinh Môn – Tỉnh Hải Dương Điện thoại: 03203822236 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: từ tháng 11/2013 đến tháng 12/2013 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN NGUYỄN NGỌC CHI TĨM TẮT SÁNG KIẾN Trong tốn học kiến thức bài, chương, hay rộng phần kiến thức ln có liên kết cách liền mạch với nhau, bổ sung hỗ trợ cho Như dẫn tới việc tốn ln ln có nhiều cách giải khác mà sáng kiến đưa ví dụ Bài tốn chứng minh Bất đẳng thức ln tốn có sức lơi học sinh say mê với tốn học mong giỏi tốn địi hỏi phải động não, tìm tịi sáng tạo Trong sáng kiến nêu rõ phù hợp mặt lý luận, thực tiễn, tính khoa học tính sáng kiến Sáng kiến nêu rõ mục đích áp dụng sáng kiến, đối tượng áp dụng sáng kiến, phương pháp để áp dụng sáng kiến nêu lợi ích thiết thực mà sáng kiến mang lại Trong sáng kiến đưa tập có lời giải cụ thể theo nhiều cách trọng tâm phân tích dẫn dắt đến lời giải trọng tâm “Ứng dụng nhị thức Newton vào để chứng minh bất đẳng thức” Sau tốn mở rộng cụ tốn thành tốn tương tự đẹp đòi hỏi sáng tạo vận dụng linh hoạt toán chữa vào để giải Cuối số liệu thống kê kinh nghiệm, học rút áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy trường PHẦN 2: MÔ TẢ SÁNG KIẾN SỰ PHÙ HỢP VỀ MẶT LÝ LUẬN, THỰC TIỄN, TÍNH KHOA HỌC VÀ ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN 1.1 Sự phù hợp mặt lý luận, thực tiễn Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn năm 2005, tr.1) Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đề ra: “Phải đổi phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu …” Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong học tập, học sinh khơng thỏa mãn với vai trị người tiếp thu thụ động, không chấp nhận giải pháp có sẵn đưa mà yêu cầu lĩnh hội độc lập tri thức phát triển kĩ Là giáo viên, phải có nhiệm vụ giúp em phát triển tri thức bản, hình thành phát triển khả tư phê phán, kĩ phát hiện, giải vấn đề Đặc biệt cần ưu tiên phát triển kĩ bản, thói quen lực tự học, thói quen khả vận dụng kiến thức học vào việc giải toán, ứng dụng thực tế… Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động tốn học, mơn tốn có vị trí quan trọng việc thực mục tiêu chung giáo dục Năng lực giải toán học sinh trợ giúp em khả học tốt mơn khác Việc rèn luyện kĩ giải tốn trực tiếp góp phần phát triển lực giải tốn, phẩm chất, phong cách lao động… cho học sinh Thực tế cho thấy việc dạy học mơn tốn nói chung, phần phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói riêng nhiều bất cập Qua thực tiễn, nhiều học sinh trường THPT cịn lúng túng, nhiều em giải tốn biết tốn đó, chưa có kĩ vận dụng, phát huy kiến thức học nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu toán dạng khác, giải toán nhiều cách… Để giúp học sinh có thêm cơng cụ việc chứng minh bất đẳng thức dạy chương “Tổ hợp xác suất” cần tăng cường rèn luyện lực giải toán cho học sinh Từ phân tích đây, tơi chọn đề tài nghiên cứu SKKN “Ứng dụng nhị thức Newton chứng minh bất đẳng thức” 1.2 Tính khoa học sáng kiến 1.2.1 Mục đích nghiên cứu Đề xuất phương án dạy học “Ứng dụng khai triển nhị thức Newton chứng minh bất đẳng thức” góp phần rèn luyện lực học toán cho học sinh trung học phổ thông 1.2.2 Đối tượng, phạm vi nhiên cứu thời gian thực đề tài 1.2.2.1 Đối tượng nghiên cứu Trên sở lí luận lực giải tốn, áp dụng vào dạy học khái niệm, định lý, tập chương “Tổ hợp xác suất” cho học sinh lớp 11 trung học phổ thơng Từ phân loại phát triển hệ thống tập vận dụng khai triển nhị thức Newton chứng minh số bất đẳng thức cho học sinh lớp 11 1.2.2.2 Phạm vi nghiên cứu Quá trình tổ chức dạy học chương “Tổ hợp xác suất” lớp 11 1.2.2.3 Thời gian thực Sáng kiến kinh nghiệm thực năm học 2013-2014 Đề tài đăng kí với tổ tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực đề tài Trong trình thực đề tài tổ dự khẳng định đề tài có chất lượng, đồng nghiệp áp dụng giảng dạy 1.2.2.4 Giả thuyết khoa học Nếu dạy học vận dụng khai triển nhị thức newton vào rèn luyện lực chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông chương “Tổ hợp xác suất” theo phương án đề xuất SKKN góp phần rèn luyện lực giải toán nâng cao chất lượng học tập học sinh 1.2.2.5 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu SKKN bao gồm: + Tìm hiểu định hướng đổi phương pháp dạy học nước ta  Tổng quan lực giải toán học sinh THPT  Khảo sát thực tiễn lực giải toán học sinh THPT, phương pháp dạy học nhằm phát triển lực giải toán cho học sinh THPT  Đề xuất biện pháp sư phạm để dạy học chương “Tổ hợp xác suất” vận dụng khai triển nhị thức newton vào rèn luyện lực chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông  Thực nghiệm sư phạm nhằm minh họa bước đầu kiểm nghiệm tính hiệu tính khả thi biện pháp đề xuất 1.2.2.6 Phương pháp nghiên cứu  Nghiên cứu lí luận  Nghiên cứu khai thác tài liệu, sách báo, tạp chí Tâm lí học, Giáo dục học lí luận dạy học có liên quan đến nội dung đề tài  Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy theo định hướng đổi  Phương pháp điều tra quan sát  Tìm hiểu tình hình giảng dạy học tập giáo viên học sinh trước sau thử nghiệm  Quan sát việc học tập học sinh lên lớp có liên quan đến hoạt động học dạy học phần vận dụng khai triển nhị thức newton vào rèn luyện lực chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thơng, khảo sát mức độ tích cực học tập, chủ động, sáng tạo học sinh  Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến chuyên gia, đồng nghiệp việc dạy học chủ đề vận dụng khai triển nhị thức newton vào rèn luyện lực chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông  Phương pháp thực nghiệm sư phạm Thử nghiệm tiến hành học sinh lớp 11C,11D trường THPT mà công tác nhằm kiểm nghiệm thực tiễn tính khả thi hiệu đề tài 1.3 Điểm sáng kiến 1.3.1 Định hướng đổi phương pháp dạy học Sự phát triển xã hội đổi đất nước, xây dựng xã hội công nghiệp hóa, đại hóa địi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo Nền kinh tế nước ta chuyển đổi từ chế kế hoạch hóa tập trung sang chế thị trường có quản lí nhà nước theo định hướng xã hội chủ nghĩa Công đổi đề yêu cầu hệ thống giáo dục, điều địi hỏi chúng ta, với thay đổi nội dung, cần có đổi phương pháp dạy học Trước nhu cầu đó, đáng tiếc tình hình nay, phương pháp dạy học nước ta cịn có nhiều nhược điểm phổ biến:  Thầy thuyết trình tràn lan;  Kiến thức truyền thụ dạng có sẵn, yếu tố tìm tịi, phát hiện;  Thầy áp đặt, trò thụ động;  Thiên dạy, yếu học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực sáng tạo người học;  Khơng kiểm sốt việc học Mâu thuẫn yêu cầu đào tạo người xây dựng xã hội cơng nghiệp hóa, đại hóa với thực trạng lạc hậu phương pháp dạy học làm nảy sinh thúc đẩy vận động đổi phương pháp dạy học tất cấp ngành Giáo dục Đào tạo từ số năm với tư tưởng chủ đạo “Phát huy tính tích cực”, “Phương pháp dạy học (hoặc giáo dục) tích cực”, “Tích cực hóa hoạt động học tập”, “Hoạt động hóa người học” v.v Tuy cách phát biểu có khác hình thức, ngụ ý đòi hỏi phải làm cho học sinh đảm bảo vai trị chủ thể, tích cực hoạt động q trình học tập Địi hỏi phản ánh văn pháp quy nhà nước Qui định trở thành định hướng cho việc đổi phương pháp dạy học nước ta nay, gọi tắt định hướng hoạt động mà theo tác giả Nguyễn Bá Kim viết: “Phương pháp dạy học cần tạo hội cho người học học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo” Theo tác giả, định hướng đổi nói bao hàm ý tưởng sau: a) Người học chủ thể hoạt động học tập độc lập hợp tác b) Tri thức cài đặt tình có dụng ý sư phạm c) Dạy việc học, dạy tự học thơng qua tồn q trình dạy học d) Tự tạo khai thác phương tiện dạy học để tiếp nối gia tăng sức mạnh người e) Tạo niềm lạc quan học tập dựa lao động thành thân người học f) Xác định vai trò người thày với tư cách người thiết kế, ủy thác, điều khiển thể thức hóa KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Khái niệm bất đẳng thức 2.1.1 Định nghĩa 1:  a>ba–b>0  a≥ba–b≥0 2.1.1.2 Định nghĩa 2: Các mệnh đề dạng “a > b” “a b + c Hệ quả: a > b + c  a – c > b a  b  ac bd c  d Tính chất 3:  Tính chất 4:  ac  bc a b    ac  bc neáu c  neáu c  a  b   ac  bd c  d  Tính chất 5:  Tính chất 6: a < b  a2n+1 < b2n+1, n  Z*+ < a < b  a2n < b2n, n  Z*+ Tính chất 7: a>b>0 a b a > b  a 3 b 2.1.1.5 Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp chung: Dùng định nghĩa tính chất BĐT để chứng minh Khi sử dụng tính chất BĐT có hai hướng chứng minh Cách 1: Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh thành BĐT mà ta biết Cách 2: Biến đổi tương đương BĐT biết thành BĐT cần chứng minh Nhận xét: Muốn chứng minh BĐT, ta phải dựa vào BĐT biết 2.1.1.6.Các kết thường dùng + x2 ≥ 0, xR Đẳng thức xảy x=0 + x2 + y2 ≥ 0, x, y  R Đẳng thức xảy x = y = + x2 + y2 + z2 ≥ 0, x, y, z  R Đẳng thức xảy x = y = z = 2.1.1.7 Một số bất đẳng thức thường dùng  Bất đẳng thức Cô-si Cho a1, a2 , a3 , , an la số khơng âm  n  Z  ta ln có : a1  a2   an  n a1.a2 an ; Dấu ‘‘=’’ xảy n a1 a2  an  Bất đảng thức Bunhiacopski Cho hai số : a1, a2 , a3 , , an b1, b2 , b3 , , bn  n  Z  ta ln 2 2 2 có a1  a2   an b1  b2   bn   Dấu ‘‘=’’ xảy    a1.b1  a2b2  anbn  a1 a2 a    n b1 b2 bn 2.1.2 Công thức khai triển nhị thức Newton 2.1.2.1 Nhị thức Newton khai triển tổng lũy thừa có dạng n ( a + b ) = C0n a n + C1n a n- 1b + C 2na n- 2b + + C nka n- k b k + + Cnn b n n = å Ckn a n- k b k (*) k =0 k Số hạng thứ k+1 Tk+1 = C nk a n- k b k , Cn = hạng tổng quát n! , thường gọi số k!( n - k ) ! BĐT cần chứng minh ta có a n b n , mặt khác theo giả thiết: a  b 2   a, b  a 1   Do ta cần đặt:  với  >0 b     Khi đó: n n n n k 1 k 1 k n  a n  b n a n           Cnk k   Cnk      Cnk  k      i 1 k 2Cn0  Cn2  Cn4  2Cn0 2 Vậy ta có điều phải chứng minh *)Nhận xét Thơng qua tốn ta thấy với tốn chứng minh BĐT ln có nhiều cách giải khác quan trọng ta chọn cách giải xuất phát từ việc nhìn nhận tốn tư logic từ giả thiết tốn Do khẳng định cách giải mà ta thực đẹp nhất, để đến hoàn thiện tốn học phải ln có học hỏi, nghiên cứu tìm tịi, ln khơng lịng với có Cách cách giải tốn hay tốn tơi đưa sau với cách giải Ứng dụng khai triển nhị thức Newton cách giải toán chứng minh BĐT Bài toán 2: a n  bn  a  b  a , b  Cho , chứng minh     n , n  Z Giải: Cách 1: 2a  c  a  b  c  d 2 Theo Bài toán ta có: c n  d n 2 Đặt  d  2b  a b 12  n n n n n 2n  2a   2b  n n a  b a  b     2      2   a  b    a b   a b   a  b n   Cách 2: Với n, i  Z , i n ta ln có: a n i  b n i   a i  bi  0  a n  b n a n ibi  a ib n i  1 n n k 0 k 0 n k n k k k k n k Hơn nữa:  a  b   Cn a b  Cn a b n n   a  b   Cnk a n k b k k 0 n  Cnk k 0 a n b n  Cnk a k b n k k 0 n  2  a n n  a  b  a  b    n n b n n  Cnk a n k b k  a k b n k   k 0 n  (do (1)  C k n  2n ) k 0 n *)Nhận xét: +) Qua cách chứng minh ta hồn tồn đưa tốn có giả n a n  bn  a  b  * thiết nhẹ là: Nếu a  b    với n  N   Hay ta có tốn mạnh sau: Nếu a, b 0, n  Z ta n a n  bn  a  b  a b ln có:    2   n +) Khi thay số cụ thể ta hoàn toàn toán đẹp như: 2n 2n 2013n  2015n 2 2014n sin x  cos x  n , +) Áp dụng cách chứng minh tốn vào ta làm số tốn Số học, cụ thể tơi xin đưa ví dụ sau: Ví dụ 13 * Chứng minh với p, q, n  N , 0< q  p  q n    số tự nhiên lẻ p2   ( với  x  phần nguyên x) Giải:  Ta có: p  q n    p q  n n k  Cnk p n k  q   q  k 0   k    2 Cn0 p n q  Cn2 p n 2q1  Cn4 p n 4q   Cn2 k p n k q k  2 X ,với X  N *  Do 0<  q 1  p  p2    p q n   p  q   2X  1 p  q  n   q 1   p  n   1 p  q q n  n 1 n   p  q  p  q  X   p  q    n n  2 X  số tự nhiên lẻ  Chú ý: Áp dụng vào ta tính  45  1999    1999   2m  1999 với m= 2k 1999k.451999 k  C1999 k 0 ( Trích “Đề thi Olympic 30 – – 1999”) Bài toán 3:  x 1 n n Cho  Chứng minh rằng:   x     x  2n * n  N Giải: a 1  x  a  b 2 Đặt:  b   x  n n n k n k k n n n n n Khi đó:  a  b   Cn a b Cn a b  Cn a b a  b k 0 n n Vậy   x     x  2n 14 *) Nhận xét: Khi thay n = 2015, x  2013   1   2014   2015 2013    1    2014  2015 2013 ta có BĐT đẹp sau: 2014  22015 Bài toán 4: n 2  2n   n Cho  Chứng minh rằng: Cn Cn Cn .Cn   n  n  Z   n Giải: Trước hết ta có: Cn0 Cnn 1 n n n k n n Ta có:   1  Cn Cn  Cn  Cn   Cn  Cn k 0  2n  Cn1  Cn2   Cnn  n  1 n Cn1Cn2 Cnn   2n   n n n n n n     n  1 Cn CnCn Cn Cn  Cn CnCn Cn Cn    n  Bài toán 5: n 3 n Cho  Chứng minh rằng: n n1   n  1 n  Z ( Trích “Đề thi ĐH An Ninh 2000”) Giải: Ta có: n n 1 n  1  n  1    n n  n n  1 1 1 Hơn nữa:    Cn0  Cn1  Cn2     Cnn   n n   n  n 2  n        2 k  1                       2!  n  3!  n   n  k ! n   n  n         n  1          n!  n   n  n   15 n 1     k  1          1 +) e x   x  x2 xn   , x>0, n  Z + 2! n! Bài toán 7:  S a1  a2   an  Cho a1 , a2 , , an 0 1 n  Z  S S2 Sn Chứng minh rằng:   a1    a2    an  1     1! 2! n! Giải: Theo BĐT Cauchy ta có: n n  a1  a2   an   S   a1    a2    an       n n    S S S 1  C  Cn2     Cnn   n n n n n n Hơn nữa:  n  k  !.n k  n  k  ! n  k  1  n  k   n n! , 1 k  Z k Cnk n! n! Sk k S   k     Cn    k! n k !. n  k  !.n k k !.n! k ! n S S2 Sn Vậy   a1    a2    an  1     1! 2! n! 17 *) Nhận xét: Thơng qua Bài tốn cho giá trị cụ thể ta có BĐT sau: n n2 nn 1     1! 2! n! n Bài toán m  n 1 Cho  Chứng minh rằng: m, n  Z n 1  1  1    1   n  m  m Giải: n  1 1  1 Đặt an    1  Cn1  Cn2     Cnn   n n   n  n 2  n         n  1                       2!  n  3!  n   n  n!  n   n  n   Tương tự an1 2   1  1   1    1  1    2!  n   3!  n    n 1     n   1   1      n  1 !  n    n    n   So sánh biểu thức ngoặc hai biểu thức ta thấy ngay: an1  an m  n 1 Theo giả thiết  nên ta có: an  an1   am  am  an m, n  Z n m 1  1   1    1   n  m  *) Nhận xét: Từ toán ta suy tốn sau đây: +) x x  ln   x   x hay  ln   x   1 x 1 x hay x e1 x x    x   e, x>0 18 m n +)   n     m  , 1 n