(SKKN HAY NHẤT) nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Mục lục Trang Mục lục Phần Mở đầu Phần Nội dung Các kiến thức cần lu ý Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Các tập nâng cao 21 ứng dụng Bất đẳng thức 25 Tài liệu tham kảo 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức A Phần mở đầu I Lý chon đề tài Cơ sở khoa học - Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t phân tích, tổng hợp có đợc linh hoạt phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát huy tÝnh tÝch cùc, chđ ®éng t duy, cã tính sáng tạo giải toán - Giải toán Bất đẳng thức nội dung hay khó, kiến thức vận dụng đòi hỏi phải có tinh tế, phải có nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt, phải có hớng mục đích Nhng rõ ràng nội dung có ý nghĩa việc rèn kĩ Toán học cho học sinh - Qua giảng dạy tìm hiểu dạng toán này, thấy dạng toán khó, làm học sinh phải linh hoạt biết phân biệt dạng để đa toán quen thuộc để thực giải đơn giản - Khi đợc nghiên cứu sâu dạng toán này, giáo viên nâng cao t lực chuyên môn, để từ truyền đạt cho em toán đợc dƠ hiĨu h¬n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức C¬ së thùc tiƠn - Khi häc sinh cha đợc phân dạng toán chứng minh Bất đẳng thứcthì em thờng lúng túng, hay tìm mò khó tìm lời giải nhanh - Qua thực tế giảng dạy học sinh dạng toán chứng minh Bất đẳng thức, đà phân rõ phơng pháp giải toán khác để em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ em đa cách làm cho phù hợp với để có cách giải nhanh - Với giáo viên nắm đợc phơng pháp giải toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao đợc lực t lực chuyên môn II Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu toán đa đợc phơng pháp giải tập khác để em giải tập cụ thể cách dễ ràng Khi học sinh có đợc phơng pháp phân tích t tổng hợp toán học, nâng cao lực giải toán có nghị lực vợt khó để giải toán - Khi nghiên cứu dạng toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao lực chuyên môn làm t liƯu d¹y häc sinh giái - Chän läc mét số toán chứng minh Bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đợc sở lý luận việc sử dụng phơng pháp kiến thức Toán học vào chứng minh Bất đẳng thức IV Phạm vi nghiên cứu Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT chơng trình thi Đại học môn toán V Đối tợng nghiên cứu Các toán Bất đẳng thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức VI Phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp tìm hiểu tài liệu Qua thực tế giảng dạy học sinh Tổng kết, đánh giá, so sánh qua số toán cụ thể, từ rút đợc kinh nghiệm cho dạng toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức B phần nội dung I.các kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa 2-tính chất + A>B + A > B > A > B + A>B vµ B >C + A>B A+C >B + C + A>B vµ C > D +A>B A+C > B + + D > A >B A víi n lỴ >B với n chẵn + A>B C > A.C > B.C + A>B vµ C < A.C < B.C + < A < B, < C n > vµ A > A > A < + m > n > vµ 3-mét sè bất đẳng thức +A + + + - An víi A ( dÊu = x¶y A = ) víi A ( dÊu = x¶y A = ) víi (dÊu = x¶y A = ) 0) ( dÊu = xảy A.B < 0) Các đẳng thức (a b)2 =a2 2ab +b2 ( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3 ( a  b)2 = a2  3a2b +3ab2  b2 (a  b)4 =a4a3 + 6a3 b3 (a+b)(a-b) = a2 - b2 4ab3 +b4 Một số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng Ngoài kiến thức công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, cần quan tâm tới Bất đẳng thức Lợng giác sau Những Bất đẳng thức coi nh kết đà biết, sau này, tài lệu này, dẫn chúng không thích thêm (trừ trờng hợp cần thiết) Chứng minh Bất đẳng thức hiển nhiên đợc tìm thấy (1)| sinx| hay –  | sinx |  ,x  (2)| cosx|  hay –  | cosx |  ,x  (3)| tanx + cotx |  2, x (4) , k   ,x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức ,xi (5) , n  *, dÊu “=” x¶y x = x2 = ,i= … = xn ,xi (6) , n  *, dÊu “=” x¶y x1 = x2 ,i= = … = xn ,xi (7) ,i= , n  *, dÊu “=” x¶y x1 = x2 = … = xn TÊt nhiªn phải nhớ lại kiến thức Bất đẳng thức đà nêu SGK lớp 10, Bất đẳng thức quen thuộc thờng sử dụng – Mét sè lu ý vËn dông kiÕn thøc vào chứng minh Bất đẳng thức k (k > 0) ta đặt x = k.sina (a  NÕu k.cosb (b  ) 2 – NÕu x + y = k th× ta cã thể đặt x = k.sin Nếu x k > ta đặt x = k tan ) x = sin > 0, tan > NÕu , y = k.cos ,  2 , ®ã x – k = k > ta đặt x = , ®ã sin > LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chøng minh BÊt d¼ng thøc – Víi x  ta đặt x = tan , tan )= cos 2 , x + k = k (1+ > – NÕu gi¶ thiÕt cho a + b = c ta đặt Èn phơ víi m t ý – NÕu gi¶ thiÕt cho: x + y + z = k th× ta nên đặt: với a +b +c = Nếu cho điều kiện , CMR: , ta ®Ỉt – Víi ®iỊu kiƯn x + y = k y l (hay x n) ®Ỉt y = + m víi m  (hay x = n - m víi m  0) Tõ ®ã suy x = k - l - m (hay y = k - n m) suy ra: Rồi thay ẩn vào vế bất đẳng thức cần chứng minh Nếu điếu kiện cho là: ta nên đặt với m,n từ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Nếu điếu kiện cho là: với n,m ta đặt từ ii số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lu ý dùng bất đẳng thức M víi M VÝ dơ  x, y, z chøng minh r»ng : a) x +y +z xy+ yz + zx b) x +y +z c) x +y + z +3 2xy – 2xz + 2yz (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu x = +y ( x + z - xy – yz - zx +y + z - xy – yz – zx) = Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 (y-z)2 ®óng víi mäi x;y;z víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x +y +z xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) =x +y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) VËy x +y ®óng víi mäi x;y;z +z 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiƯu x +y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y = (x-1) + (y-1) -2y +1 + z -2z +1 +(z-1) DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dơ 2: chøng minh r»ng : a) ;b) c) HÃy tổng quát toán Gải a) Ta xÐt hiÖu = = = VËy DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiƯu = 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Chứng minh (1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT víi n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã (1) (2) VÕ tr¸i (2) (3) Ta chøng minh (3) (+) Giả sử a b giả thiết cho a -b (+) Giả sử a < b theo giả thiết a - a , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Giải : Giả sử a tõ abc > Mµ abc > vµ a < Tõ ab+bc+ca > a ®ã a < cb < a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > a < vµ b +c < b+c VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn ac 2.(b+d) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt bất đẳng thức sau sai: , Giải : Giả sử bất đẳng thức : , cộng vế ta đợc (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Từ (1) (2) hay Vậy bất đẳng thức (vô lý) có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > th× cã mét ba số lớn Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – ( ) v× xyz = theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 có số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có chØ mét ba sè x , y,z lín h¬n III.các tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = vµ Chøng minh r»ng b2+c2> ab+bc+ac Gi¶i Ta cã hiƯu: b2+c2- ab- bc – ac = = ( b2+c2- ab- bc – ac b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 3bc 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất d¼ng thøc =( =( VËy : -b- c)2 + -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên a >0 ) b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chøng minh r»ng a) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã c) Gi¶i : a) XÐt hiệu H= = H ta có điều phải chứng minh b) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt H= H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viết H= H ta có điều phải chứng minh Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chứng minh Giải : Ta có (vì xy = 1) Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức BĐT cuối nên ta có điều ph¶i chøng minh 2) Cho xy Chøng minh r»ng Giải : Ta có BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng Chøng minh r»ng (1) 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Giải : (1) áp dụng BĐT phụ Với x,y > Ta có BĐT cuối Vậy (đpcm) dùng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c Ta có Đặt (k nguyên dơng x nguyên dơng Ta có Nhng Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình Vậy phơng trình có nghiệm : KếT LUậN Trong trình giải tập, lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phát triển đa dạng phong phú tập bất đẳng thức có cách giải 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời học phải có cách suy nghĩ lôgic, sáng tạo, biết kết hợp kiÕn thøc cị víi kiÕn thøc míi mét c¸ch cã hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hơng Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Rèn kĩ giải toan Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình toán THPT Học sinh cần dành nhiều thời gian hợp lí vận dụng nhiều phơng pháp để giải 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Tài liệu tham khảo Các giảng luyện thi môn toán Các chuyên đề bất đẳng thức Trần Văn Hạo Tạp chí Toán học tuổi trẻ SGK lớp 10, 11, 12 nâng cao 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Xá Chứng minh Bất dẳng thức Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau: Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh. .. dạng toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao lực chuyên môn làm t liệu dạy học sinh giỏi - Chọn lọc số toán chứng minh Bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đợc sở lý luận việc sử dụng. .. xn Tất nhiên phải nhớ lại kiến thức Bất đẳng thức đà nêu SGK lớp 10, Bất đẳng thức quen thuộc thêng sư dơng – Mét sè lu ý vận dụng kiến thức vào chứng minh Bất đẳng thức –  k (k > 0) th× ta