Skkn phương pháp giải toán xác suất lớp 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11" skkn PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa đại số giải tích 11 chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để giải toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn vào tình cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình mơn Tốn tơi nhận thấy: đa số em chưa hiểu thấu đáo khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… em biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất để giải tình cụ thể Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong băn khoăn không dám làm Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, tơi chọn đề tài: “Phương pháp giải toán xác suất lớp 11” Đề tài tơi gồm phần: Phần I: Lời nói đầu Phần II: Nội dung A: Cơ sở lý thuyết B: Phương pháp giải số toán xác suất 11 C: Một số tập tham khảo Phần III: Kết luận Mục đích yêu cầu Giúp học sinh nắm vững khái niệm quy tắc xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn vào tình cụ thể skkn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình SGK nâng cao mơn tốn lớp 11 4.Nhiệm vụ nghiên cứu a) Trình bày hệ thống kiến thức xác suất b) Hướng dẫn học sinh giải toán xác suất số tình cụ thể 5.Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải toán học sinh c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán lớp trước Phần II: NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1) Biến cố phép thử biến cố  Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp kết có phép thử  Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu   Biến cố tập không gian mẫu Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C,… cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Trong phép thử có hai biến cố đặc biệt: - Tập  gọi biến cố ( gọi tắt biến cố không) - Tập  gọi biến cố chắn  Phép toán biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử kết phép thử đồng khả skkn + Tập \ A gọi biến cố đối biến cố , kí hiệu Và xảy không xảy +Tập A  B gọi hợp biến cố A B + Tập gọi giao biến cố A B, viết A.B + Nếu ta nói + Hai biến cố và xung khắc gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 2) Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số Vậy P( A)  n( A) n() xác suất biến cố , kí hiệu P(A) n( A) n ( ) 3) Tính chất xác suất: a) Tính chất bản:  P(  ) =  P(  ) =   P (A)  với biến cố A  P ( A ) = 1- P(A) b) Quy tắc cộng xác suất  Nếu A B xung khắc thì: P ( A  B )  P ( A)  P ( B)  Nếu A  B =  P ( A  B )  P ( A)  P ( B)  Với biến cố ta có: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A.B) c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập P ( A.B )  P ( A).P ( B ) skkn B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11 B1 Dạng 1: Các tốn tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A là: P( A)  n( A) n() Bài toán Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vao thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a) Cạnh lục giác b) Đường chéo lục giác c) Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác Phân tích: Đây coi toán đếm: đếm tổng số cạnh đường chéo lục giác Chúng ta biết từ điểm phân biệt cho khơng có điểm thẳng hàng tạo C62 = 15 đoạn thẳng Do gọi: biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ cạnh lục giác” biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ đường chéo lục giác” biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác” Và ta có n() = n(A) =  P(A) B= A  P(B) 15, = n( A) = 2 n() 15 = – P(A) = -  5 skkn n (C )   P(C) = n (C )   n() 15 Bài toán Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho Nam nữ ngồi xen kẽ Ba bạn nam ngồi cạnh a) b) Phân tích: Đây toán xác suất thực chất lại tốn đếm tổ hợp Đó tập hợp tốn tổ hợp nhỏ quen thuộc sau: (1)Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang ( Đáp số: cách) (2)Có cách xếp bạn nam bạn nữ ghế kê theo hàng ngang, biết nam nữ ngồi cạnh ( Đáp số: cách) (3)Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang, biết ba bạn nam ngồi cạnh ( Đáp số: cách) Như toán giải sau: Lời giải: Gọi biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà nam nữ xen kẽ nhau” Và biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà bạn nam ngồi cạnh nhau” Ta có n(  ) = 720, n(A) = 72, n(B) = 144 Suy P(A) = 72 n( A)  , = n() 720 10 P(B) = n( B) 144  = n() 720 Như phần lớn toán dạng toán sử dụng cơng thức kĩ thuật tốn tổ hợp Đối với tốn học sinh cần phải nắm vững công thức tổ hợp định nghĩa xác suất skkn Bên cạnh đó, có toán cần dùng phương pháp liệt kê Bài tốn Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hai súc sắc Hướng dẫn học sinh: Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai súc sắc’’ Không gian mẫu: (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 6)  (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 6)        (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 6)  gồm 6.6=36 phần tử Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hai súc sắc Tập  A kết thuận lợi A :  A  (2, 6), (6, 2), (3,5), (5, 3), (4, 4) suy  A  Xác suất A: P( A)  36 Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê có hiệu số phần tử biến cố nhỏ Nếu số phần tử lớn việc liệt kê trở nên khó khăn dễ xét thiếu phần tử Bài toán ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013) Gọi S tập hợp tát số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S chon ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải : Gọi A biến cố ” Số chọn số chẵn” Số phần tử S A73 = 210  n ( )  210 Số cách chọn số chẵn từ S 3.6.5 = 90 cách Xác suất cần tính P =  n( A)  90 90  210 Phân tích: Trong tốn ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê số phần tử biến cố tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân Tương tự học sinh giải toán sau : Bài toán ( Đề thi đại học khối B năm 2013) skkn Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hơp viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có màu Lời giải : Số cách chọn viên bi, viên từ hộp 7.6 = 42 Số cách chọn viên bi đỏ, viên từ hộp 4.2 = Số cách chọn viên bi trắng, viên từ hộp 3.4 = 12 Xác suất để viên bi lấy có màu là: P =  12 10  42 21 Bài tốn Trên vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 số từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau quay dừng số Tính xác suất để quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại số số ( kể 6) lần quay đầu dừng lại số 13 36 ( kể 13 36) lần quay thứ Phân tích: Rõ ràng tốn ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê số phần tử biến cố tương đối lớn Ở ta biểu diễn tập hợp dạng tính chất đặc trưng để tính tốn Gọi A biến cố cần tính xác suất Có cách chọn i, ứng với cách chọn i có 24 cách chọn j ( từ 13 đến 36 có 24 số) theo quy tắc nhân: n(A) = 6.24 = 144 P(A) = n( A) = 144 = n() 1296 Bài toán Gieo đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt ngửa lần xuất mặt sấp dừng lại a) Mơ tả khơng gian mẫu b) Tính xác suất: A: “Số lần gieo không vượt ba” B: “Số lần gieo năm” skkn C: “Số lần gieo sáu” Phân tích: Đối với tốn nhiều học sinh lúng túng cách xác định không gian mẫu học sinh vốn quen với tốn cho trước số lần gieo Bài toán trước hết phải xác định số lần gieo Giáo viên gợi ý cho học sinh câu hỏi như: o Nếu khơng có giả thiết “cả lần xuất mặt sấp dừng lại” ta phải gieo đồng tiền lần? o Nếu kết hợp với giả thiết “cả lần xuất mặt sấp dừng lại” ta phải gieo đồng tiền tối đa lần? Tất nhiên với câu hỏi học sinh đưa số cụ thể gieo 100 lần 100 lần xuất mặt sấp chưa thể dừng lại học sinh hình dung dạng phần tử Với câu hỏi thứ hai học sinh trả lời số lần gieo tối đa Từ học sinh xác định khơng gian mẫu Lời giải: a) Không gian mẫu  =  N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS  b) Ta có: A =  N , SN , SSN  , n(A) =3 B SSSSN  , n(B) =  P(B) = C = SSSSSN , SSSSSS  , n(C) =  P(A) = 7  P(C) = Bài toán Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước tiến lên phía trước nửa mét lùi lại phía sau nửa mét với xác suất Tính xác suất để sau bốn bước trở lại điểm xuất phát Hướng dẫn : Anh ta trở lại điểm xuất phát bước, có lần bước tiến ( T) lần bước lùi ( L) Dễ thấy có trường hợp để bước có tiến, lùi : T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T, L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L Mỗi bước tiến hay lùi có xác suất 1 1 = 2 2 16 Khi xác suất cần tìm P = , nên  16 skkn trường hợp có xác suất B2 Dạng 2: Biến cố đối Trong tốn học, có tốn tính tốn trực tiếp dài dịng phức tạp Khi phương pháp gián tiếp lại hiệu cho ta cách làm ngắn gọn Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp Bài toán Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất biến cố: a) Biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” b) Biến cố B: “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” Phân tích: Học sinh giải tốn theo định hướng là: lần xuất mặt ngửa có khả xảy là: lần xuất mặt ngửa, hai lần xuất mặt ngửa, ba lần xuất mặt ngửa Do học sinh giải toán sau: Suy P( A)  n( A) = n() Tuy nhiên làm dài dễ bỏ quên trường hợp Tuy nhiên để ý biến cố đối biến cố A biến cố : “Khơng có lần xuất mặt ngửa” Do tốn giải sau: Lời giải: Khơng gian mẫu a) Ta có biến cố đối biến cố A biến cố: : “Không cố lần xuất mặt ngửa” Và ta có A = SSS  n( A ) =  P( A ) = Vậy P(A) = b) Tương tự ta có: B = SSS , NNN   n( B ) = skkn  P( B ) = suy P(B) = Bài toán 10 Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11” Phân tích: Đối với toán dùng phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp tối ưu lẽ tính trực tiếp ta phải xét nhiều trường hợp o Đối với biến cố A  Mặt chấm xuất lần thứ  Mặt chấm xuất lần thứ hai  Hai lần gieo xuất mặt chấm (khả lại nằm hai khả trên) o Đối với biến cố B Tổng số hai lần gieo số nhỏ 11 tức có 10 khả xảy ra: 1,2,…,10 Lời giải: Khơng gian mẫu Ta có biến cố đối a) Ta có: Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp hay, nhiên đểvận dụng phương pháp học sinh cần nắm hai yếu tố: o Nhận dạng loại tốn: Các tốn có cụm từ “có nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn ta dùng biến cố đối o Xác định tốt mệnh đề phủ định phép toán lấy phần bù tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối skkn Bài toán 11 Chon ngẫu nhiên người biết khơng có sinh vào năm nhuận Hãy tính xác suất để có hai người có sinh nhật trùng ( ngày, tháng) Hướng dẫn : Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đơi khác nhau” Số trường hợp 3653 Số trường hợp thuận lợi 365.364.363 Vậy P = 1- 365.364.363   0,9918  0, 0082 3653 Bài toán vận dụng Bài toán 12 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính suất để viên bi chọn khơng có đủ màu Lời giải: Số kết là:  = C154 = 1365 Gọi A biến cố “4viên bi lấy có đủ màu”, kết thuận lợi cho biến cố A :  A = C41 C51.C62  C41.C52 C61  C42 C51.C61 = 720 Ta có A biến cố “ viên bi lấy khơng có đủ màu” Do xác suất cần tìm P( A ) = – P(A) = 1- 720 = 43 1365 91 B3 Dạng 3: Các toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Bài toán 13 Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn b) Tích số chấm súc sắc số chẵn Phân tích: a) Đối với toán phần lớn học sinh giải cách đếm số phần tử biến cố học sinh trung bình thường liệt kê phần tử đếm trực tiếp Tất nhiên cách giải dài làm sót phần tử dẫn tới giải sai Học sinh sử dụng tính tốn để đếm số phần tử sau: Ta có Chọn biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Do skkn , với cách chọn ta có cách chọn Do có cách Có cách chọn chọn Tôi thấy lời giải hợp lý, nhiên tốn giải cách đơn giản ta sử dụng quy tắc xác suất Cho nên giáo viên gợi mở, dẫn dắt học sinh để tới giải toán theo định hướng sau: Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Thấy hai biến cố độc lập  (Trong mặt có mặt chẵn) Do ta có: b) Gọi biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn:  Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ  Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn  Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối Ta có , độc lập nên ta có: Và P(Y) = 1- P( Y ) = 1-  4 skkn Nhận xét: Bài toán ta sử dụng quy tắc nhân xác suất Muốn sử dụng quy tắc nhân phải khẳng định hai biến cố độc lập Vậy hai biến cố thường độc lập phép thử nào? Tất nhiên nêu tất mà đưa số trường hợp quen thuộc *)Gieo hai đồng tiền gieo đồng tiền hai lần biến cố xảy lần gieo độc lập với biến cố xảy lần gieo Tương tự súc sắc *) Hai xạ thủ bắn súng bắn trúng hay trượt người không ảnh hưởng tới người Do biến cố liên quan đến người độc lập với biến cố liên quan đến người Tương tự người bắn hai phát súng *) Có hai hịm đựng bóng Lấy từ hịm bóng biến cố lấy bóng hịm độc lập với biến cố lấy bóng hịm Tương tự toán lấy bi, lấy cầu Chú ý rằng: Nếu A B độc lập ; B; A độc lập Cũng giống quy tắc cộng quy tắc nhân toán tổ hợp, biến cố xảy khả khả ta sử dụng quy tắc cộng xác suất Còn với biến cố thực lien tiếp hai hành động ta dùng quy tắc nhân Bài tốn14 Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng Phân tích: Trong chi tiết có khơng q chi tiết hỏng nghĩa khơng cóchi tiết hỏng có chi tiết hỏng Bài tốn khơng thể giải theo dạng mà phải sử dụng phép tính xác suất Đây toán dùng quy tắc cộng xác suất Lời giải Gọi biến cố “Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” biến cố “trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” Khi Do A1 A2 xung khắc nên P(A) = P(A1) + P(A2) Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết C106  N ()  C106 Có chi tiết khơng bị hỏng nên n( A1 )  C86 = 28 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết bị hỏng C85 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng C21 skkn = 210 Theo quy tắc nhân ta có n( A2 )  C85C21 = 112 Do ta có: P( A1 )  n( A1 ) = 28   P(A) = P(A1) +P(A2) =  = n ( ) 210 15 15 15 Bài tốn 15 Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b) Tính xác suất để cầu lấy màu Phân tích: Bài tốn giải theo dạng 1, nhiên việc giải dài dòng phức tạp Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng quy tắc nhân việc giải toán trở nên đơn giản nhiều Lời giải a) Gọi: A biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” Ta có , Mặt khác A B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) = = 12 20 b) Gọi: Y biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” Z biến cố “Hai cầu lấy màu” Ta có Mặt khác Thấy độc lập nên nên skkn Những toán sử dụng quy tắc cộng xác suất quy tắc nhân xác suất tốn ln tính xác suất biến cố sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua biến cố này) Chúng ta để ý xác suất sau: o Khi gieo đồng tiền xu cân đối, đồng chất  Xác suất xuất mặt sấp  Xác suất xuất mặt ngửa o Khi gieo súc sắc cân đối đồng chất  Xác suất xuất mặt  Xác suất xuất mặt có số chấm chẵn:  Xác suất xuất mặt số chấm lẻ: 2  Xác suất xuất mặt số chấm số chia hết cho 3: Đối với phép thử khác tuỳ theo tốn ta tính xác suất Và có nhiều tốn cho trực tiếp xác st Bài tốn sau ví dụ Bài tốn 16 Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lô hàng Hãy tính xác suất để: a) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Phân tích: Đây tốn cho trước xác suất nên chắn ta phải sử dụng phép tốn tính xác suất để giải Biến cố sở “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lơ hàng thứ hai” Khi ta có: P(A) = 0,7 P(B) = 0,8  P ( A)  P( B) = – 0,7 = 0,3 = – 0,8 = 0,2 skkn biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có a) Gọi chất lượng tốt” Suy Do ba biến cố độc lập nên ta có biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có b) Gọi chất lượng tốt” Suy xung khắc biến cố Do B; A độc lập nên ta có Bài tốn 17 Một phịng lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chng báo khói , chuông báo lửa chuông báo Tính xác suất để có hỏa hoạn chuông báo Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hoả hoạn chuông báo lửa báo lửa báo hỏa hoạn Do tốn chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố sở lại không xung khắc Trong trường hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng Lời giải biến cố “Chng báo thấy khói” Gọi biến cố “Chuông báo thấy lửa” biến cố “Ít hai chơng báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có Do ta có: B4.Luyện tập chung: skkn Bài 18 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với Tính xác suất để kết nhận số chẵn Hướng dẫn : Gọi A biến cố: “ Rút thẻ chẵn thẻ lẻ”, B biến cố: “Cả hai thẻ rút thẻ chẵn” Khi biến cố C: “ Tích hai số ghi thẻ số chẵn” là: C  A  B Do hai biến cố A B xung khắc, nên thẻ lẻ nên ta có: P( A)  P(C )  P( A  B)  P( A)  P( B) C51C41 20 C42  ; P ( B )   2 C9 36 C9 36 Vậy Vì có thẻ chẵn P (C )  P ( A  B )  20 13   36 36 18 Bài 19 Trên giá sách có sách Tốn, sách Lí sách Hóa lấy ngẫu nhiên ba sách Tính xác suất cho: a) Ba lấy thuộc ba môn khác b) Cả ba lấy sách Tốn c) Ít sách Tốn Hướng dẫn : Khơng gian mẫu tổ hợp chập sách nên n()  C93  84 Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng câu a), b), c) a) Để có phần tử A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ loại sách quyển) Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 P( A)  b) Cả ba sách lấy sách Toán , nên n( B )  C43  P ( B)  c) Gọi C 21 biến cố: “Trong ba khơng có sách Tốn nào”, ta có: n(C )  C53  10 , P (C )   P (C )   10 37  84 42 Bài tốn 20: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm C19 phần tử Gọi A biến cố học sinh chọn thuộc lớp A,  A  C8  Gọi B biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, B  B  C14 skkn Gọi C biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, C  C  C13 Gọi D biến cố học sinh chọn thuộc lớp C, B  B  C11 A,B,C,D biến cố xung khắc A  B  C  D biến cố học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Vậy xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp bằng: P( A  B  C  D)  P( A)  P( B)  P(C)  P( D)   C148 C138 C118    C198 C198 C198 C198 Giúp học sinh đưa nhận xét: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất biến cố A Bài toán 21: Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng B 10 lần bắn Tính xác suất để mục tiêu khơng trúng đạn 10 lần bắn Hướng dẫn học sinh: Gọi A1 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ Gọi A2 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai A  A1  A2 P( A1 )  P( A2 )  10 10 A1, A2 độc lập biến cố A bắn trượt hai lần bắn P( A)  P( A1 ).P( A2 )  ( ) 10 B  B1  B2  B3 biến cố B bắn trượt ba lần bắn P( B)  P( B1 ).P( B2 ) P( B3 )  ( )3 10 A, B độc lập A B biến cố mục tiêu không trúng đạn 32 P( A  B )  P( A).P( B)  10  Giúp học sinh đưa nhận xét : Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , , An độc lập tương ứng Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất biến cố A skkn Bài tốn 22: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng hỏng Tính xác suất dể lớp học khơng đủ ánh sáng Hướng dẫn học sinh: Mỗi bóng có xác suất bị cháy 0,25, bóng có xác suất hỏng 0,75 Gọi A1 biến cố bóng hỏng bóng tối, A1 biến cố hợp C6 biến cố con, P ( A1 )  C64 0, 75 4.0, 252 Gọi A2 biến cố bóng hỏng bóng tối, A2 biến cố hợp C6 biến cố con, P ( A2 )  C65 0, 755.0, 251 Gọi A3 biến cố bóng hỏng P ( A3 )  C66 0, 756 A  A1  A2  A3 biến cố lớp học đủ ánh sáng A biên cố lớp học không đủ ánh sáng P ( A)   P ( A)  0,8305 Bài toán 23: Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008, xác suỏt để viên trúngvòng 0,15, xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Hướng dẫn: Gọi A1 biến cố viên 10, viên 9, A1 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A1 )  C31.0, 2.0, 252 Gọi A2 biến cố viên 10, viên 9, A2 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A2 )  C31 0, 2.0, 25 Gọi A3 biến cố viên 10, viên 8, A3 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A3 )  C31 0, 2.0,15 Gọi A4 biến cố viên 10, P ( A4 )  0, 008 A  A1  A2  A3  A4 biến cố xạ thủ đạt 28 điểm Vậy P( A)  0, 0935 Bài toán 24 Chon ngẫu nhiên số từ tập hợp X = 1, 2,3 11 a) Tính xác suất để tổng ba số chọn 12 b) Tính xác suất để tổng ba số chọn số lẻ Hướng dẫn: Số kết C113 =165 skkn a)Các ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7), ( 1, , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5) Vậy P = 165 b)Tổng a + b + c lẻ khi: Hoặc ba số lẻ ba số có số lẻ số chẵn Ta có số lẻ số chẵn Vậy P = C63 =20 20  60 16  165 33 cách chọn số lẻ C61.C52 = 60 cách chọn C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1/ Từ cỗ 52 con, rút ngẫu nhiên Tính xác suất để a/ Có át b/ Có K c/ Cả có số khác thuộc tập hợp {2,3,…10} 2/ Trong hộp có bóng trắng, bóng xanh, bóng đỏ lấy ngẫu nhiên bóng Tìm xác suất để có bóng có đủ mầu 3/Gieo ngầu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần: Tính xác suất biến cố: a/ A: “ Có mặt lẻ” b/ B: “ Có mặt chẵn mặt lẻ” c/ C: “ Tổng số chấm hai mặt số chẵn” 4/ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần, tính xác suất để: a/ Có lần xuất mặt chấm b/ Tổng số chấm mặt số lẻ 5/ Trong hộp có 10 thẻ đánh số 0,1,2,….9 Lấy ngầu nhiên liên tiếp thẻ xếp cạnh theo thứ tự từ trái sang phải tìm xác suất để thẻ xếp thành số tự nhiên cho chữ số 6/ Một máy bay có động cơ, có động cánh phải động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1, động cánh trái có xác suất hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập với Tính xác suất để máy bay thực chuyến bau an toàn trường hợp sau: a/ Máy bay bay có hai động làm việc b/ Máy bay bay có động cánh làm việc skkn 7/ Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời, có câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ câu trả lời Tính xác suất để: a/ Học sinh 13 điểm b/ Học sinh điểm âm 8/ Trong lớp học có bóng đèn, bong xác suất bị cháy 0,25 Lớp học có đủ ánh sáng có bóng đèn Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng 9/ Một đồn tầu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tầu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người và2 toa cịn lại khơng có 10/ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 chọn ngầu nhiên 10 thẻ tính xác suất để: a/ Tất 10 thẻ mang số chẵn b/ Có số chia hết cho c/ Có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn thẻ mang số chia hết cho 10 11/ Từ hộp có cầu xanh, cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố: a) A: “Trong lấy có hai mầu” b) B: “Trong lấy có màu đỏ” 12/ Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 ; trúng điểm ; trúng điểm điểm xác suất để xạ thủ điểm skkn Xạ thủ bắn viên đạn Tìm KẾT LUẬN Các bước thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giải tốn Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Kết sau thực đề tài: Trên vài phương pháp giải tốn xác xuất mà tơi nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy lớp 11A1, trường THPT Nguyễn Trung Ngạn Trước dạy phương pháp cho học sinh làm kiểm tra, kết sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 37% 10,5% 0% Lớp 11A1 52,5% Sau giảng dạy phương pháp tiếp tục khảo sát kết sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 4% 50 % 28% Lớp 11A7 18 % Đây kết đáng mừng, thể học sinh tự tin giải toán xác suất tốt skkn Giải pháp đề nghị : Bài toán xác suất đưa vào chương trình tốn lớp 11 THPT , hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Hệ thống hóa khái niệm phép thử, khơng gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuận lợi biến cố, cơng thức xác suất cổ điển , giải thích thơng qua ví dụ từ mơ hình cụ thể đến mơ hình trừu tượng Sau hướng dẫn học sinh Tính xác suất biến cố cách sử dông công thức xác suất cổ điển Nêu quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc để tính xác suất số ví dụ điển hình, từ giúp học sinh rút nhận xét cách sử dụng quy tắc cách linh hoạt hợp lí trường hợp cụ thể Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Trên số ý kiến nhỏ tơi qua q trình giảng dạy tốn xác suất lớp 11 THPT Rất mong nhận góp ý thầy giáo em học sinh Xin chân thành cảm ơn Đề tài tơi trình bày ý tưởng hình thành trình giảng dạy trải nghiệm thực tế qua kết học tập học sinh, cam đoan sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Ân thi ngày tháng năm 2014 Tác giả Vũ Thị Hương Lan skkn XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN CHỦ TỊCH TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán lớp 11- Nhà xuất Giáo dục Đề thi Đại học năm – Bộ giáo dục Đào tạo Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số giải tích 11- NXB Giáo dục – Tác giả Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng Xác suất thống kê – NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Tác giả Đào Hữu Hồ Chuyên đề toán Tổ hợp – Thống kê – Xác suất- Số phức NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả: PGS – TS Nguyễn Văn Lộc skkn ... nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập P ( A.B )  P ( A).P ( B ) skkn B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11 B1 Dạng 1: Các tốn tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển xác. .. nên nên skkn Những toán sử dụng quy tắc cộng xác suất quy tắc nhân xác suất tốn ln tính xác suất biến cố sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua biến cố này) Chúng ta để ý xác suất sau:... chất  Xác suất xuất mặt sấp  Xác suất xuất mặt ngửa o Khi gieo súc sắc cân đối đồng chất  Xác suất xuất mặt  Xác suất xuất mặt có số chấm chẵn:  Xác suất xuất mặt số chấm lẻ: 2  Xác suất