Các phương pháp giải toán xác suất trong chương trình phổ thông

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

DAI HOC DA NANG

NGUYEN HOANG VIET

CAC PHUONG PHAP GIAI TOAN XAC SUAT TRONG CHUONG TRINH PHO THONG

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

Đà Nẵng - Năm 2020

Trang 2

BO GIAO DUC VA DAO TAO

DAI HOC DA NANG

NGUYEN HOANG VIET

CAC PHUONG PHAP GIAI TOAN XAC SUAT TRONG CHUONG TRINH PHO THONG

Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS CAO VAN NUOI

Da Nang — Năm 2020

Trang 3

Để cĩ thể hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hồn chỉnh,

bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân cịn cĩ sự chỉ bảo nhiệt tình

của quý thầy cơ, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Trước hết, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo- TS Cao Văn Nuơi đã hết lịng quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tơi hồn thành tốt luận văn này trong thời gian qua

Tơi cũng xin bày tổ lịng biết ơn sâu sắc đến các quý Thầy, Cơ

giáo và Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học

Đà Nẵng đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều

kiện thuận lợi nhất cho tơi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu cho

đến khi thực hiện đề tài luận văn

Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp Cao Học Phương pháp

Tốn Sơ Cấp Khĩa 36 đã hỗ trợ tơi rất nhiều trong quá trình hoc tap va

nghiên cứu

Do điều kiện thời gian cũng như kinh nghiệm cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt Tơi rất mong nhận được sự

chỉ bảo, đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ để tơi cĩ thể bổ sung và hồn

thiện luận văn một cách tốt hởn

Tơi xin chân thành cẩm on!

Quảng Bình, ngàu 20 tháng 05 năm 2020

Học viên

Trang 4

Các kết quả trình bày trong luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi và được hồn thành dưới sự hướng dẫn của T5 CAO VAN

NUƠI

Các kết quả trong luận văn chưa từng được cơng bố trong các cơng

Trang 5

Tên đề tài: Các phương pháp giải tốn Xác Suất trong chương trình phố thơng Ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp

Họ và tên học viên: Nguyễn Hồng Việt

Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuơi

Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP — Dai hoc Da Nang

Tĩm tắt:

Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp

triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tơi thấy đã đạt được

một số kết quả cụ thể như sau: | |

- Tổng quan và hệ thống một cách khá đầy đủ về lý thuyết Xác suất |

- Trình bày một số phương pháp tính xác suất, đối với mỗi phương pháp đều cĩ ví dụ minh họa và lời giải chỉ tiết rõ ràng

- Ứng đụng “Các phương pháp giải tốn Xác suất” với những bài tốn cụ thé, phương pháp giải rõ ràng phù hợp với chương trình giảng dạy của bản thân và người học

Các van đề trong luận văn mang tính thực tiễn, phù hợp với chuyên ngành phương pháp tốn sơ cấp

Từ khĩa: Xác suất, biến cố, r quy tắc tính xác suất, quy tắc cộng xác suất, quy tặc nhân xác suất, phương sai, kỳ vọng, bảng phân bơ xác suât

Xác nhận của giáo viên hướng dân

CBHD Người thực hiện đề tài

_J#x———

Trang 6

Thesis topic: Methods of solving Probability problems in High school program Major: Elementary mathematics

Full name of student: Nguyen Hoang Viet

Supervisor: Dr Cao Van Nuoi

Training facility: The University of Da Nang - University of Science and Education Summary:

From my personal awareness on a practical basis upon selecting topics and topic developing methods, via actual surveys of the students’ knowledge acceptance, I find myself having achieved a number of results, specifically as follows:

- An overall aggregation and system which are relatively adequate in the theory of Probability

- Presentation of several probability counting methods, for each method there shall be examples of demonstration and clear and detailed solutions

- Application of “Methods of solving Probability problems” with specific _ problems and explicit solving methods conforming to the teacher’s curriculum and the learners

Problems in the thesis are DIEHoal and suitable for the major of elementary mathematics

Keywords: Probability, event, probability counting rules, addition rule in

Trang 7

MỞ ĐẦU C22 2211221112111 EE1eertre SH T112 222k 2

CHƯƠNG 1: CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN VẼ XÁC SUÂÄT 6

1.1 Biến cố và xác suất của biẾn CỐ L SA S SH Seo, 6

1.1.1 Điến CỐ QC HH HH HH TT TH KH KH ra 6

Âm ca na .Ả ƠƠỒỒỎỒỎỒÚỒ 8 1.2 Các Quy tắc tính xác suất -L TQ n HH HH 9 1.2.1 Quy t&c cOng XAC SUA Loic eceseesessesessestssestsestseeseeseeees 9 1.2.2 Quy tac nhAn XAc SUAb Lec cece ccceescesceccseesessesessesseseeeeeenees 12 1.3 Biên ngẫu nhiên ri rac ec cccecceessecescescssescescescescsesseeseessseeseees 14 1.3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc ccccceceeeeeec 14 1.3.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 14

1.3.8 cao ca 15 1.3.4 Phương sai và độ lệch chuẩn -G cành nha 15

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG

10.90067101 17 2.1 Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển 17

2.1.1 Bài tốn tính xác suất sử dụng định nghĩa cố điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cỗ Ă 17

2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp

5n oo ce ccceeeseesccsccesescecssessscessessecsssceeceesessecescessessecsseseecsseseeeess 36 2.2 Tính xác suất của một biến cố bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân

G0000 ng cọ c0 c0 000 000 n0 T00 00 n0 v0 43

2.2.1 Tính xác suất của một biến cố bằng quy tắc cộng 43 2.2.2 Tính xác suất của một biến cố bằng quy tắc nhân 49 2.2.3 Sự kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân trong bài tốn xác

1120255 1Ð 52

2.3 Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 60

2.4 Xác định kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên

ỜI TẠC ĂQ.Q HH HH HH TH HH TH HH HH 64

;900007.50005 ƠỎ 74

Trang 8

1 Ly do chon dé tai

Tốn Xác suất là một trong các nội dung quan trọng của tốn học,

xác suất cĩ nhiều ứng dụng rộng rãi và phong phú trong nhiều lĩnh vực khoa học, cơng nghệ, kinh tế Do vậy Xác suất đã được đưa vào trong chương trình tốn từ lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh những kiến

thức cơ bản quan trọng trong lĩnh vực này

Trong thực tế, Tổ hợp và Xác suất luơn được đánh giá là nội dung khĩ trong chương tốn phổ thơng Trong quá trình giáng dạy tơi nhận

thấy đa số học sinh tiếp thu kiến thức về xác suất cịn cĩ nhiều khĩ khăn, bên cạnh đĩ sách giáo khoa đổi mới trình bày phần kiến thức này

khá đầy đủ và dễ hiểu nhưng học sinh làm bài lại khơng đạt kết quả do

quá trình học các em thường áp dụng máy mĩc, nếu gặp các bài tốn lạ hoặc giữ nguyên dạng nhưng thay đổi đề bài thì học sinh lại khơng biết

cách làm

Một trong các nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững kiến thức và phân loại các bài tốn để giải quyết, nên việc học tập kết quả chưa cao, kiến thức khơng nhớ lâu Vì vậy để học sinh cần nắm vững các

khái niệm, các cơng thức cơ bản, nhận dạng và phân loại các bài tốn để tìm phương pháp giải thích hợp để nắm vững kiến thức, hiểu sâu và linh

hoạt về xác suất để giải quyết các bài tốn Xác suất

Với mong muốn tìm hiểu thêm về chủ đề Xác suất cùng các

phương pháp giải tốn tương ứng thể hiện trong chương trình tốn học

Trang 9

phổ thơng” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn này, chúng tơi nghiên cứu nhằm những mục đích như sau

> Hệ thống lại một số kiến thức về Xác suất

> Tìm hiểu và nhận dạng các bài tốn Xác suất trong chương trình phố thơng, từ đĩ thể hiện phương pháp giải tương ứng

qua một số chủ đề cụ thể

> Trong mỗi dạng tốn sẽ đưa vào các vi du minh hoa va phương pháp giải tương ứng

3 Đơi tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các dạng bài tốn về Xác suất

3.2 Pham 0í nghiên cứu: Các phương phấp giải tốn thích hợp cho các dạng bài tốn Xác suất trong chương trình phố thơng

4 Phương pháp nghiên cứu

Trang 10

dẫn kết quả đang nghiên cứu để hồn chỉnh luận văn của minh

5 Y nghia khoa hoc va thuc tién cia dé tài

Đề tài cĩ ý nghĩa về mặt lý thuyết và thực tiễn, cĩ thể sử dụng

như tài liệu tham khảo dành cho sinh viên, học viên cao học và những ai

quan tâm nghiên cứu về Xác suất, cĩ thể sử dụng giúp các em học sinh phố thơng nắm vững kiến thức và thi đạt kết quả cao trong kỳ thi Quốc gia, giúp mọi người suy xét các khả năng và biết xác suất cĩ lợi cho cơng

việc tiến hành

6 Cấu trúc luận văn

Ngồi phần Mở đầu, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham

khảo, nội dung của luận văn dự kiến được chia thành hai chương Chương 1 CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

1.1 Biến cố và xác suất của biến cố 1.2 Các Quy tắc tính xác suất 1.3 Biên ngẫu nhiên rời rạc

Chương 2 CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cơ điển 2.2 Tính xác suất của một biến cố bằng quy tắc cộng, quy tắc

nhân

Trang 11

tốn xác suất

2.3 Lập bằng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

2.4 Xác định kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu

Trang 12

CAC KIEN THUC CO BAN VE XAC SUAT

Chương nàu nhắc lai mét số kiến thúc cơ bản vé biến cố, xác suất

của biến cố, các quụ tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc, nhằm

làm cơ sở cho chương tiếp theo Phần kiến thúc trình bàu trong chương được tham khao 6 cdc tai liéu [1] , [2] , [3] , [4] , [5], [6/, [7] , [8] , [9] , [10], [14] , [12], [13], [14], [15]

1.1 Bién cỗ và xác suất của biến cơ

Trong thực tiến, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên Đĩ là những hiện tượng (biến cố) mà chúng ta khơng thể dự báo

một cách chắc chắn là nĩ xảy ra hay khơng xảy ra

Lý thuyết xác suất là bộ mơn tốn học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đối giữa hai nhà tốn học vĩ đại người Pháp là Pascal (1623 — 1662) và Phec — ma (1601 —- 1665) xung quanh các giải đáp một số vần đề rắc roi nảy sinh trong quá trình trị chơi cờ bạc của một nhà quý tộc Pháp

đặt ra cho Pascal Nam 1812, nhà tốn học Pháp La — pha — xo da du

báo rằng: “Mơn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trị chơi may rủi

này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức lồi người”

Này nay, lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành tốn học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, cơng nghệ, kinh tế, y tế, sinh học,

1.1.1 Biến cố

1.1.1.1 Phép thử và khơng gian mẫu

Định nghĩa 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: -Ƒ Kết quả của nĩ khơng đốn trước được Cĩ thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử đĩ

Chú ý 1.1.2 Để đơn giản ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và trong chương trình tốn phổ thơng ta chỉ xét phép thử cĩ hữu

Trang 13

của khơng gian mẫu được kí hiệu la n(Q)

Ví dụ 1.1 Phép thử: “Gieo 1 con súc sắc” cĩ khơng gian mẫu là

Q=(1;2;:3;4:5;6} = n(Q) = 6

1.1.1.2 Biến cố

Định nghĩa 1.1.4 Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu

Mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mơ tả bởi một tập

con của khơng gian mẫu, tức là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đĩ

của phép thử

Chú ý 1.1.5

‹Ổ Biến cố cĩ thể được cho dưới dạng một mệnh đề xác định tập

hợp Kí hiệu các biên cố bằng các chữ in hoa A,,Œ,

‹Ổ Khi nĩi A,,C, mà khơng nĩi gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử Định nghĩa 1.1.6 Tập Ø được gọi là biến cố khơng thể (gọi tắt là biến cỗ khơng) Tập O được gọi là biến cỗ chắc chắn

Biến cơ A xảu ra trong một phép thử nào đĩ khi và chỉ khi kết

quả của phép thử đĩ là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A) Ví dụ 1.2 Xét phép thử 7': “Gieo một con súc sắc” cĩ khơng gian mẫu là Q@= /1;2;2;4;5;6} Xét biễn cỗ A4: “Số châm trên mặt

xuất hiện là số chăn”

Biến cố A4 xảy ra khi kết quả của phép thử 7 là: 2;4;ổ

Các kết quả này được gọi là kết quả thuận lợi cho A được mơ tả bởi: A={2;4;6} la mot tap con cla Q => Số phần tử thuận lợi của biến cố

A la n(A) = Ø

Tổng quát:

‹Ổ Biến cố A4 liên quan đến phép thử 7 là biến cố mà việc xảy ra hay khơng xảy ra của 4 tùy thuộc vào kết quả của 7

‹Ổ Mỗi kết quả của phép thử 7 làm cho A xảy ra, được gọi là một

kết quả thuận lợi cho A

Trang 14

mặt là nguyên tố” Hãy mơ tả biến cỗ Ư và CŒ Lời giải:

B = (1,3,5) >> n(B) = 3 C = (2,3,5) = n(C) = 3

1.1.2 Xác suất

Ví dụ 1.4 Xét phép thử 7' : “Gieo hai con súc sắc” Các kết quả xảy ra của T' là các cặp (z;) được cho bởi bảng sau: 1 2 3 4 5 6 (11) |(12) | (13) |(14) |(15) | (16) (2;1) | (2;2) | (233) | (2; 4) | (2;5) | (2;6) (3;1) | (332) | (353) | (3; 4) | (355) | (3;6) (41) | (452) | (43) | (44) | (459) | (46) (5;1) | (552) | (533) | (5; 4) | (5;5) | (5;6) (6;1) | (6;2) | (6;3) | (6; 4) | (675) | (6;6) ¢ Khong gian mau T là OQ = {(1;1);(1; 2); (G8 )j ee ;(6;ð);(6;6)} = n(O) = 36 «Ổ Các mặt của con xúc xắc cĩ cùng khả năng xuất hiện nên đổ kết quả của 7' là đồng khả năng xảy ra Xét biến cố A: “Tong sé

chấm xuất hiện trên mặt là 7” Sy} Sef >_-|S[|èS | Lúc này ta cĩ: A ={(1;6);(2;5);(3: 4):(4:3):(5:2):(6; 1)} = n(A) = 6

Khi đĩ tỉ số - = “ được gọi là xác suất của biến cố A

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử phép thử T' cĩ khơng gian mẫu là

một tập hữu hạn và các kết quả của 7' là đồng khả năng Nếu 4 là một biến cố liên quan với phép thử 7' và A là một tập hợp các kết quả

thuận lợi cho 4 thì xác suất của 4 là một số, kí hiệu là P(4), được xác

định bởi cơng thức: P(A) = mA)

Trang 15

1) 0< P(A)<1

2) P(Q) = 1 3) P(Ø) = 0

Ví dụ 1.5 Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tính xác suất các biến cố sau:

a) A4: “mặt lẻ xuất hiện”

b) : “xuất hiện mặt cĩ số châm chia hét cho 3” c) Œ : “Mặt xuất hiện cĩ số chấm lớn hơn 2” Loi _giat: Ta cĩ các trường hợp xuất hiện khi gieo con xúc xắc là: Q= (1:2:3:4:5;6) = n(O) = ở a) Các phần tử của biến cố A là: n(A) _ 1 A=(1;3;5}—>n(A)= ở — P(A)= nG) 2 b) Các phần tử của biên cố là: n(B) _ 1 B=({2,6}>n(B)= (6) = n(B) = 2 => P(B) = ES = 2 2> P(B) = — c) C&c phan tit cia bién cé C là: C = {3,4,5,6}> n(C) = {=> P(C) = WE 5 = 1.2 Các Quy tắc tính xác suất 1.2.1 Quy tắc cộng xác suất 1.2.1.1 Biến cơ hợp

Dinh ly 1.2.3 Cho hai biến cố A4 và Ư Biến ` cố “A hoặc Ở xảy ra”, kí hiệu là 4+2, được

gọi là hợp của hai biến cố A4 và Ư Khi đĩ:

At:B5c(۩)1

Trang 16

dé la hoc sinh gidi Van” Khi do AU B 1a bién cé: “Ban do hoc giỏi

Tốn hoặc học giỏi Văn

1.2.1.2 Bién cỗ xung khắc

Định lý 1.2.4 Cho hai biến cỗ A va B

Hai biến cố A và được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra

Khi đĩ: AN B= @

Vi du 1.7 Chọn ngẫu nhién mot hoc sinh l6p 11 cua trường Gọi

A la bién cé: “Ban do 14 hoc sinh l6p 11C,” va goi B 1a bién cé: “Bạn đĩ

là học sinh lớp 7/Œ,” Khi d6 A va là hai biến cỗ xung khắc 1.2.1.3 Quy tắc cộng xác suất hai biến cỗ xung khắc Định lý 1.2.5 ‹ Nếu A va Ư là biến cố xung khắc thì xác suất biến cố AU B là P(AU B) = P(A)+ P(B) ‹ Cho n biến cỗ A,,A,, ,A, đơi một là các biên cỗ xung khắc với nhau Khi đĩ: P(A,U A, UA, U UA) = P(A,) + P(A,)+ P(A,)+ - +P/(A_ ) Ví dụ 1.8 Một chiếc hộp cĩ chín thể đánh số từ 1 đến 9 Rút

ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau Tính xác

suất để kết quả nhận được là một số chẵn

Loi _giat:

Kết quả nhận được số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ cĩ ít nhất một thẻ ghi số chấn (Gọi là thẻ chấn) Gọi A là biến cố “Rút được một

Trang 17

Cr 1 P(B)=— = Cy Do đĩ: P(AUB)=2+ 2=? 6 18

1.2.1.4 Biến cơ đối O

Dinh ly 1.2.6 Cho 4 là một biến

cĩ Khi đĩ biến cố “khơng 4”, kí hiệu là

A, được gọi là biến cố đối của A Ta nĩi

A và A là hai biến cố đối của nhau

Khi đĩ:

A=Q\A=> P(A) =1- P(A)

Vi du 1.9 Mot hop dung 4 vién bi xanh, 3 vién bi do va 2 vién vi

vàng Chọn ngẫu nhién 2 vién bi:

a) Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu b) Tính xác suất để chọn được hai viên bi khác màu

Tời giản:

a) Goi A là biên cố “ chọn được 2 viên bi xanh”, B là biên cố “chọn được hai viên bi đỏ”, C là biễn cố “chọn được 2 viên bi vàng” và H là biến cố “chọn được hai viên bi cùng màu”

Ta cĩ: H=AUBUC va cac bién cé A, B, C d6i mot xung khắc

Vậy theo cơng thức (2) ta cĩ:

Trang 18

b) Biến cố “Chọn được 2 viên bi khác màu” chính là biến cố H 5 _ 13

Vậy theo cơng thức (3), ta cĩ: P(H) = 1~ P(H) = 1-=— =

1.2.2 Quy tắc nhân xác suất 1.2.2.1 Biến cố giao

Dinh ly 1.2.7 Cho hai bién cỗ A4 và B Biến cố “A và cùng xảy ra”, kí hiệu

Am B (hay AB), goi la giao cha hai bién cé A va B

Ví dụ 1.10 Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp ƒƒ của trường Gọi A là biến cố: “Bạn đĩ là học sinh giỏi tốn” và gọi Ư là biến cố: “Bạn đĩ là học sinh giỏi Lý”

Khi đĩ: Aø¬ là biến cố: “Bạn đĩ là học sinh giỏi tố và Lý”

1.2.2.2 Hai biến cố độc lập

Ví dụ 1.11 Gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần Gọi A là biến cố: “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt sấp” và gọi ƯỞ là biến cố: “Lần gieo

thứ hai xuất hiện mặt ngửa” là 2 biến cố độc lập

Chú ý 1.2.8 s Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc

xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố này khơng làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia

« Néu hai biến cố A và Ư độc lập với nhau thì A va B, A va B,

A và B cũng là độc lập

1.2.2.3 Quy tắc nhân xác suất hai biến cỗ độc lập

Định lý 1.2.9 s Nếu A và Ư là hai biễn cố độc lập với nhau thì

ta luơn cĩ:

P(AB) = P(A).P(B) (4)

Nhận xét: Từ quy tắc nhân xác suất ta thây: Nêu

P(AB) z P(A).P(B)thì hai biên cỗ A, B khơng độc lập với nhau

Ngược lại nếu cĩ (4) thi A va B là hai biên cố độc lập với nhau

‹ Cho ø biên cỗ A,,4,,4;,A,, , A, d6c lập với nhau từng đơi

Trang 19

Ví dụ 1.12 Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi

nhận kết quả rồi trả lại lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác Tính

xác suất để được át bích và át cơ

Tời giải:

Gọi A là biến cố chọn lá bài thứ nhất là át bích, B là biến cố chọn lá bài thứ hai là át cơ

Ta tim P(AB).Ta thay A va B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút lá bài thứ hai Do đĩ P(AB) = P(A).P(B)

1 1

ma P(A) = —,P(B)=— (A) = =) P(B) = =

1 1

Vay P(AB) = P(A).P(B) = —.— ~ 3,70.107 y P(AB) = P(A).P(B) =

Ví dụ 1.13 Một cơng nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B Xác suất để người cơng nhân phải can thiệp máy dệt A

¬ fo 4g ae ` ˆ ¬ ~ qs L

trong một giờ là „ và máy dệt B trong cùng một thời gian trên là 5 Tính xác suất để người cơng nhân khơng phải can thiệp máy nào

trong 1 gid

Loi _giat:

Biến cố để máy dệt A hư độc lập với biến cố của máy dệt B hư

Ta cĩ: P(Ã)=1~P(A)=1— 2 = 2 với A là biến cố máy đệt A khơng hư P(B) = 1~ P(B) = 1~= = 4v6i B là biến cố máy dệt B khơng hư Vậy xác suất để người cơng nhân khơng phải can thiệp máy nào trong 1 giờ là: P(A.B) = P(A).P(B) = “ = 0,69

Ví dụ 1.14 Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2 Tính xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần

Trang 20

Gọi A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia, 4 là biến cố người xạ thủ khơng bắn trúng bia

Ta c6: P(A) = 0,4; P(A) = 1-0,4= 0,6

Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần đầu và khơng trúng bia hai lần sau là P, = 0,4.0,6.0,6 = 0,14

Tương tự xác suất xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 khơng tring la: P, = P, = H

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng 1 lần là:

P=P,4+P,+ P, =0, 42

1.8 Bién ngau nhiên rời rạc

1.3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 1.15 Gieo 2 đồng xu liên tiếp, gọi X là số lần mặt ngửa

xuất hiện thì X = {0;/;2} Ta nĩi X là biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 1.16 Cĩ 1 hộp gồm 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi Gọi X là số viên bi xanh trong 2 viên bi lẫy ra

thì X(O)={0;1;2} Ta nĩi X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.3.1 Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nĩ nhận giá trị bằng số thuộc tập hữu hạn hay đếm được nào

đĩ

1.3.2 Phân bõ xác suât của biên ngầu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là một biễn ngẫu nhiên rời rạc nhận

các giá trị {z,;z;;;; ;z„} Để hiểu rõ hơn về X, ta thường quan tâm

tới xác suất để X nhận giá trị z, tức là các số p, = P(X = z,) với (¡= 1,2, ,n) Các thơng tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng sau đây: X |, |, | |2, P P; Dạ Đ„ Bang 1

Trang 21

cố đơi một xung khắc ta cĩ tổng các số ở dịng thứ hai bằng 1, tức là: D.+ Dạ, + p;+ +p, =1 Ví du 1.17 X | 0 1 2 1 4 2 P 7 7 7 1.3.3 Ki vong

Định nghĩa 1.3.3 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rac với tập giá

tri la {2,; Loi Los 3 x, } Ki vong của X, kí hiệu là E(x), là một số được

tính theo cơng thức:

E(X) = Z,D,+ 2p ,+ +2,p, = > @P,

i=I

O do p, = P(X =2,) (i= 1,2, ,n)

Ý nghĩa 1.3.4: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn

trung bình của X Vì thê kì vọng E(X) cịn được gọi là giá trị trung bình của X Nhân xét 1.3.ð: Kì vọng của X khơng nhất thiết thuộc tập các giá trị của X Ví du 1.18 X |0 |1 2 P{i jz {2 7 |7 | 7 n 8 E(X)= z,p, + #,p; + + #,p; = 3 1p, =F i=I 1.3.4 Phương sai và độ lệch chuẩn 1.3.4.1 Phương sai

Định nghĩa 1.3.6 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {,;Z;;z;; ;ø,} Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số

Trang 22

Hay: V(X) = (a, - wy DP, +(a - Bw) p,+ +(ø — u} D, = (a, - 4) -p, i=1 trong do u=E(X), D.= P(X =2,) (i = 1,2, ,n) Và ta cũng suy ra V(X) = > 0’p — M” i=l

Ý nghĩa 1.3.7: Phương sai là một số khơng âm Nĩ cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn

1.3.4.2 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.3.8 Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là ơ(X)

Trang 23

CHUONG 2

CAC DANG BAI TOAN THUONG GAP VA PHUONG PHAP GIAI

Trong chương này, tơi trình bày phương pháp giải và ví dụ mình họa một số bài tốn như: Tính xác suất của một biến cố bằng cách sử

dụng định nghĩa, tính xác suất của biên cố bằng các quy tắc tính xác suất, lập bảng phân phối xác suất, tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch

chuẩn Các bài tốn này thường gặp trong các đề thi tuyến sinh Đại

học, Cao đẳng, Phần kiến thức trình bày trong chương được tham

khảo ở cée tai Hien [1] , 2), (3), (4) } (6) (7) [8], (9), 0}, fay, 12] , (13) , [14] , [15]

2.1 Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển

2.1.1 Bài tốn tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển

bằng cách tính trực tiếp số phân tử thuận lợi cho biến cố

2.1.1.1 Phương pháp chung

Trong bài tốn này, việc xác định số phần tử thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (cĩ thể liệt kê các phương án, cĩ thể tính được các cách chọn ngắn gọn)

Bước 1: Xác định khơng gian mẫu © rồi tính số phần tử cla Q, tức là đếm số kết quả cĩ thể của phép thử T (n (Q))

Bước 2: Xác định tập con A mơ tả biến cố A rồi tính số phần tử

của A, tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A (n (A))

Bước 3: Lây kết quả của bước 2 chia cho bước 1, tức là:

P(A) = na]

2.1.1.2 Một số ví dụ minh họa

Vi du 2.1 ([2]) Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất Tính xác suất của biến cơ “Cĩ ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”:

Loi _giat:

Trang 24

Do mỗi xúc xắc cĩ thể xảy ra 6 trường hợp nên số kết quả cĩ thể

xảy ra là n(Q) = 6.6 = 36

Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho A

Gọi A là biến cố: “Cĩ ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một cham” Ta cĩ các trường hợp sau: (1:7);(1:2);(1:3);(1:4):(1:5);(1:6); (2:7);(2:1); (4;1):(5: 1):(6: 1) => n(A) = /1/ Bước 3: Xác suất của biến cố A là P(4) = nA) = it n(Q) 36

Ví dụ 2.2 (|2|) Một tổ gồm 9 em, trong d6 cĩ ở nữ được chia

thành Ø nhĩm đều nhau Tính xác xuất để mỗi nhĩm cĩ một nữ Tời giản:

Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu

Chọn ngẫu nhiên Ø em trong 9 em đưa vào nhĩm thứ nhất cĩ số khả năng xảy ra la C; Chọn ngẫu nhiên Ø em trong ổ em đưa vào nhĩm thứ hai cĩ số khả năng xảy ra là C7 Cịn 3 em dua vào nhĩm cịn lại thì số khả năng xảy ra là ƒ cách Vậy n(O) = C?Œ¿.1 = 1680

Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho A

Phân ớ nữ vào ớ nhĩm trên cĩ đƒ cách

Phân 6 nam vào ở nhĩm theo cách như trên cĩ CZCŒ7.ƒ cách khác

nhau

= n(A) = 3!.ŒŒ7.1 = 540

nA) _ 540 _ 27

n(Q) 1680 84

V¿ dụ 2.3 (2|) Một hộp chứa 77 viên bi được đánh số từ 7 đến

11 Chọn 6 viên bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng các số trên 6 viên bì

được rút ra với nhau Xác suất để kết quả thu được là số lẻ là

Trang 25

Loi _giat:

Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu

Chọn ngẫu nhiên ổ viên bi trong f7 viên bi thì số cách chọn là:

n(Q) = Cy, = 462 Bước 2: Tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố

Gọi A là biến cố: “Chọn Ø viên bi cộng các số trên ổ viên bi đĩ thu được là số lẻ” Trong // viên bi cĩ ổ viên bi mang số lẻ đĩ là {1;2;ð;7;9;7f} va 5 vién bi mang số chấn {2; 4;6; 8; 10} chan chan chan * Trường hợp 1: / viên bi mang số lẻ và 5 viên bi mang số Số cách chọn trong trường hợp 7 là Œ;.C; cách * Trường hợp 2: ở viên bi mang số lẻ và viên bi mang số Số cách chọn trong trường hợp 2 là Œÿ.Cÿ cách

* Trường hợp 3: ð viên bi mang số lẻ và / viên bi mang số Số cách chon trong trường hợp ớ là Œƒ.C; cách Suy ra n(A) = Œ;.C; + C;.C; + C;.Œ; = 6 + 200 + 30 = 236 —=n(A)= 91.C2C?.1= 540 n(A) 236 _ 118 n(Q) 462 231) Bước 3: Tính xác suất P(A) = Nhân xét: Giải thích thực tế: Ta cĩ thể đưa ra các trường hợp như vậy là vi ta CĨ:

Để cĩ được tổng là số lẻ thì ta phải cĩ: lẻ + chan = lẻ

* Trường hợp 1: ð số chẵn cộng lại với nhau sẽ ra số chẵn Do đĩ cộng với ƒ lẻ thì ra số lẻ

1 le

Trang 26

2 số chẵn cộng lại với nhau ra chan Do d6 cong véi ƒ lẻ thì ra số

=> số viên bi mang số lẻ phải là số lẻ

Ví dụ 2.4 (2|) Trong hệ trục tọa độ Øzy cho

A(-2;0).B(_—2:2),C(4:2) D(4:0) Chọn ngẫu nhiên một điểm cĩ tọa độ (+; y); ( với z, là các số nguyên) nằm trong hình chữ nhật ABŒD (kể cả các điểm nằm trên cạnh) Gọi A 1a biến cố: “z,„ đều chia hết cho

2” Xác suất của biến cố A là > A -l QO 1 2 3 D yvy Ta cĩ Q= {(z;y),-2<a<4,0<y< 2h, voi zy eZ Vay x € {-2;-1;;1;2;3; 4} và y € {0;1;2}

Suy ra n(O) = 7.9 = 27 (mỗi điểm là một giao điểm trên hình) Ta cĩ A: “x,y déu chia hét cho 2” Nên ta cĩ:

A= \(2; 0) LE {-2; 0; 2; 4} ;JỤ€ {0; 2})

Theo quy tắc nhân ta cĩ:

n(A) = 4.2 =8 => n(A) = 8 => P(A)=—

Nhận xét:

Với các bài tốn cĩ miền giới hạn nhỏ, ta nên liệt kê các phần tử ra tránh sử dụng miền sẽ nhầm lẫn số phần tử

Ví dụ 2.5 ([2|) Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc

phong bì thư đã để sẵn địa chỉ Xác suất để cĩ ít nhất một lá thư bỏ

đúng địa chỉ là

Trang 27

Gọi 4 lá thư lần lượt là 4, B, C, D và 4 phong bì thư cĩ địa chỉ đúng với các lá thư trên lần lượt là 1; 2; 3; 4

Số phần tử khơng gian mẫu la n(Q) = 4/ = 24

Gọi Xlà biến cố “cĩ ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ Ta cĩ các trường hợp sau: * Trường hợp 1: Cả 4 lá thư đều bỏ đúng địa chỉ: Chỉ cĩ một trường hợp duy nhất * "Trường hợp 2: Cĩ đúng 2 lá thư bỏ đúng địa chỉ Cĩ 6 trường hợp xảy ra là: A1l— B2-C4- D8; A1— B4- C3 -— D2; A4- B2-—C8-— D1; Al— B38 —- C2- D4; A38 — B2—C1-— D4; A3 hoac A2— B1-C38—- D4

* 'Trường hợp 3: Cĩ đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ: Chỉ cĩ lá thư A bỏ đúng địa chỉ thì cĩ 2 trường hợp: Al- B8-C4- D2; Al- B4-C2- D8 Tương tự với lá thư Bcĩ 2 trường hợp Lá thư Œ chỉ cĩ đúng 2 trường hợp Lá thư Dchỉ cĩ đúng 2 trường hợp

Suy ra cĩ 8 trường hợp chỉ cĩ đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ

Vậy số phần tử của biến cố X là n(X)= 1+6+8= 1ð

Nén:

P(x)=Ÿˆ =” 24 ở

Nhân xét:

Cĩ nhiều học sinh sẽ thêm trường hợp cĩ 3 lá thư bỏ đúng địa

chỉ, tuy nhiên như vậy là lặp lại trường hợp 4 lá thư bỏ đúng địa

chỉ Do đĩ nếu 3 lá thư đúng địa chỉ rồi thì lá thư cuối cùng

cũng nghiễm nhiên đúng địa chỉ và trùng với trường hợp 1

Trang 28

Loi _qgiai:

Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là

Cy, = 445

Goi Ala bién cé “trong 3 vién bi lay ra cĩ ít nhất một viên màu

đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

*Trường hợp 1: Lấy được 1 viên màu đỏ, số cách lấy là: Œ/.C7 *Trường hợp 2: Lấy được 2 viên màu đỏ, số cách lấy là: Œƒ.C; *Trường hợp 3: Lấy được 3 viên màu đỏ, số cách lấy là: Œ;

Số trường hợp thuận lợi cho biến cỗ A là

n(A) = Œ;.Cý + Œ.Œ; +Œ; = 420

C;.Cy + ý + Cy — 12

Ce 13

Ví dụ 2.7 ([10|)( Khối A- 2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một cơng ty sữa, người ta đã gữi đến bộ phận kiểm nghiệm 5

hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ớ hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên Ø hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để Ø hộp

sữa được chọn cĩ cả ở loại

Vậy P(A) =

Lời qiuỏt:

Số phần tử của khơng gian mẫu là: n(Q) = Œj, = 220

Goi A là biến cố:” ? hộp sữa được chọn cĩ cả Ø loại”

Số kết quả thuận lợi cho biến cơ A là: n(4) = Œ;Œ,C, = 60 n(A) _ 60 _ ở

n(Q) 220 11

Ví dụ 2.8 ({10|)( Khối ư-— 201) Từ một hộp chứa 76 thẻ được

đánh số từ / đến /6 , chọn ngẫu nhiên 4 thẻ Tính xác suất để 4 thẻ

được chọn đều được đánh số chẵn

Vậy xác suất cần tính là P(4) =

Lời giải:

Số phần tử của khơng gian mẫu 1a: n(Q) = Œƒ, = 1820

Trang 29

n(A) 7 | L

n(Q) 1920 26

Vi du 2.9 ({10])( Khối Ø— 2013) Cĩ hai chiếc hộp chứa bi Hộp

thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và ớ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra cùng màu

Loi _qiai:

Số phần tử của khơng gian mẫu là: n(O) = Œ;Œ; = 42 Vậy xác suất cần tính là P(4) =

Gọi A là biến cố:” hai viên bi được lấy ra cùng màu”

Số kết quả thuận lợi cho biến cơ A 1a: n(A) = ŒC, + CIC, = 20

, A

Vậy xác suất cần tính là P(A) = nA) _ 20 _ uw n(Q) 42 2i

Ví dụ 2.10 ([10|)( Khối ư-— 2012) Trong một lớp học gồm cĩ 7ð học sinh nam và /0 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh

lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh gọi cĩ cả nam và nữ

Lou _giat:

Số phần tử của khơng gian mẫu là: ø(O) = C3, = 12650

Goi A 1a biến cố:” 4 học sinh gọi cĩ cả nam và nữ” Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

n(A) = CC? + 02.07, + 02.01, = 11075

n(A) 11075 _ 443

Vậy xác suất cần tính là P(4) = (Q) 12650 506 n

Ví dụ 2.11 ([7|) Cho đa giác đều cĩ 7ð đỉnh Gọi M là tập hợp

các tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc M, tính xác suất để tam giác được chọn là tam giác

cân nhưng khơng phải là tam giác đều

Thời giải:

Số tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: C7, = 455

tam giác

Số phần tử của tập M là n(M) = 455

Trang 30

OA, hay co7 tam giác cân tại đỉnh A Vậy với mỗi đỉnh của đa giác cĩ ï tam giác nhận nĩ làm đỉnh tam giác cân

A “>, x , 2 ` , 2 2 o> ` 15

5ơ tam giác đêu cĩ ở đỉnh là các đỉnh của đa giác là > = 5 tam

giác

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên cĩ cả tam

giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên các tam giác

đều được đếm ba lần

Suy ra số tam giác cân nhưng khơng phải là tam giác đều cĩ ba

đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: 7.75 — 3.5 = 90

Vậy xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng khơng phải là

90 _ 18 455 91

Ví dụ 2.12 ([7|) Cho da giác lồi A,A,A, A,, Goi X 1a tap hop

các tam giác cĩ ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên

trong X một tam giác Tính xác suất để tam giác được chọn khơng cĩ

cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho

tam giác đều từ tập M là: P =

Thời giút:

Goi Q là khơng gian mẫu = n(Q) = Cy, = 120

Goi Ala bién cé: ““ tam giác được chọn khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”

Các tam giác ở tập ÄX cĩ ba loại: am giác khơng cĩ cạnh nào là

cạnh của đa giác, tam giác cĩ một cạnh là cạnh của đa giác, tam giác cĩ hai cạnh là cạnh của đa giác

Ứng với một cạnh của đa giác thì cĩ đúng /0-— 4 đỉnh của đa giác

tạo thành tam giác cĩ một cạnh là cạnh của đa giác nên số tam giác cĩ một cạnh là cạnh của đa giác là: 10(10 — 4) = 60

Co 10 tam giác cĩ hai cạnh là cạnh của đa giác là: A,A,A;; A,A;A,; - 5 AAA, - 17-27-39

=> n(A) = 120- 60-10 = 50 50 ð

Vậy p4) = Tp “ng:

Trang 31

X một tam giác Tính xác suất để tam giác được chọn khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho

Thời giút:

Số phần tử của khơng gian mẫu: nø(Q) = C7, = 364

Gọi A là biến cố: “Fam giác được chọn trong X khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác”

Suy ra 4 là biến cố: “Tam giác được chọn trong X cĩ ít nhất một

cạnh là cạnh của đa giác”

* Trường hợp 1: Nếu tam giác được chọn cĩ 2 cạnh là 2 cạnh của

đa giác thì cĩ 14 tam giác thỏa mãn

Trang 32

A, = {0,1,2\, A, ={0,1,5\, A, = {0,2, 44, A, = {0,45}, A, = {1,2,3', A, ={1,3,5$, A, ={2,3, 4, A, = {3, 4,53 Khi a,b,c € A,,A,,4;,A, mỗi trường hợp lập được 4 số thỏa mãn yêu cầu Khi ø,b,cce A,,A,,A,,A, mỗi trường hợp lập được ổ số thỏa mãn yêu cầu Vậy cĩ 4.4+ 4.6 = 40 số Suy ra số khơng chia hết cho 3 là 100 — 40 = 60 số , A x , ` 60 Xác suât cân tính là P = —— = 0,6 100 Cách 2: Tìm số cĩ ba chữ số khác nhau lập từ tập # = {0,7,2,2, 4,5} Số cần tìm cĩ dạng øbc, chọn ae ,ø#0 cĩ ð cách Chon 2 số trong ð số cịn lại của #|{a} xếp vào hai vị trí b,c cĩ A? cach Vậy cĩ 5.4Ệ = 100 số Goi abc (a # 0) là số cĩ ba chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho ä {0;2} là tập các chữ số chia hết cho 3 * A= ở

* B= {1; 4\ là tập các chữ số chia cho 3 dư 1

Trang 33

=> C6 (100 - 8- 16 — 16) = 60 số khơng chia hết cho 3

Vậy xác suất cần tìm là: OO 0,6

100

Vi du 2.15 ([8]) Tai san ga, cĩ một đồn tàu gồm 8 toa Cĩ 5ð hành khách lên tàu, độc lập với nhau, mỗi người lên 1 toa ngẫu nhiên

Tính xác suất để sau khi hành khách lên tàu, đồn tàu cịn 7 toa trống Ta cé n(Q) = 8’ Goi A là biến cố: “Sau khi hành khách lên tàu xong, đồn tàu cĩ 7 toa trồng” Vậy cĩ đúng 1 toa tàu cĩ khách Khi đĩ, tính số kết quả thuận lợi theo trình tự sau:

+ Chọn 1 toa tàu để các hành khách đi lên đĩ, cĩ Œ; cách

-+- Xếp 5 hành khách cùng vào toa tàu vừa chọn ta cĩ được ï” = 1 cách chọn

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A la n(A) = Œ;.1 = 8 n(A) _ 8 _ 1

n(Q) 8 8

Ví dụ 2.16 ([8|) Lớp 12A cĩ 12 học sinh gồm 7 học sinh nam và

5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam

Tời giản:

Số cách tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc của tổ 1 là: 127 cách

Vậy xác suất của biến cố A la P(A) =

Gọi A là biến cố “tố 1 tập trung theo một hang dọc mà luơn cĩ học

sinh nam đứng đầu hàng và cuối hàng”

* , x ` ` Ae ` , 2 ,

Vi tri dau hang va cudi hang co A, cach chon 2 bạn nam trong 7 bạn nam vào vị trí đĩ Các vị trí cịn lại cĩ 10! Cách sắp xếp các bạn vào

các vị trí cịn lại

z /

Trang 34

Ví dụ 2.17 (|8|) Cĩ 10 học sinh ngồi vào một bàn trịn mỗi

người được cầm một đồng xu và tung lên Tính xác suất để khơng cĩ hai người ngồi cạnh nhau cùng ra mặt sấp Tời giản: Gọi A là biến cố “khơng cĩ hai người ngồi cạnh nhau cùng phải rửa bat” Số phần tử khơng gian mẫu là: n(Q) = 2" = 1024 Ta cĩ các trường hợp sau: + Trường hợp 1: Khơng cĩ đồng xu sắp, 10 đồng xu đều ngửa Cĩ 1 cách + Trường hợp 2: Cĩ 1 đồng xu sắp, 9 đồng xu ngửa Cĩ 10 cách + Trường hợp 3: Cĩ 2 đồng xu sắp Hai đồng xu sấp ở vi trí bất kì: cĩ Cƒ, cách

Hai dong xu sap kề nhau: 10 cách

Trường hợp này cĩ C7, — 10 = 35 cach + Trường hợp 4: Cĩ 3 đồng xu sắp Ba đồng xu sắp ở vị trí bất ki: c6 C7, cach Trong 3 đồng xu sấp cĩ đúng 1 cặp kề nhau: 10.6—=60 cách Ba đồng xu sắp kề nhau: 10 cách Trường hợp này cĩ C7, — 60 - 10 = 50 cách + Trường hợp 5: Cĩ 4 đồng xu sấp cày , 10.5

Tương tự trường hợp 4 cĩ C7, — 10Œ= — 10.5 — 10 + > = 25 cach

+ Trường hợp 6: Cĩ ð đồng xu sắp Cĩ 2 kết quả vì sắp, ngửa xen kẽ Nếu cĩ nhiều hơn 5 đồng xu sấp thì A khơng xảy ra Do đĩ n(4) = 1+ 10+ 35 + ð0 + 25+ 2= 123 n(A) _ 128 | n(Q) 1024

Ví dụ 2.18 ([8|) Cho đa giác đều cĩ 7ð đỉnh Gọi M là tập hợp các tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngấu nhiên

a

Trang 35

một tam giác thuộc M, tinh xAc suat dé tam gidc được chọn là tam giác

cân nhưng khơng phải là tam giác đều

Loi _giat:

Số tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh ctia da gidc da cho 1a: C7, = 455

tam giác

Số phan tử của tập M là n(M) = 455

Gọi Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đều Xét một đỉnh A bất kì của đa giác: Cĩ 7 cặp đỉnh đối xứng với nhau qua đường thắng

ĨA, hay cĩ7 tam giác cân tại đỉnh A Vậy với mỗi đỉnh của đa giác cĩ ï tam giác nhận nĩ làm đỉnh tam giác cân

A “>, x , 2 ` , 2 2 o> ` 15

5ơ tam giác đêu cĩ ở đỉnh là các đỉnh của đa giác là > = 5 tam

giác

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên cĩ cả tam

giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên các tam giác

đều được đếm ba lần

Suy ra số tam giác cân nhưng khơng phải là tam giác đều cĩ ba

đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: 7.15 — 3.5 = 90

Vậy xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng khơng phải là

90 _ 18

4155 91

Ví dụ 2.19 (9|) Một hộp cĩ ð viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7

viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5ð viên bi trong hộp, tính xác suất để 5

viên bi được Chọn Cĩ đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng

Loi _giat:

Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ð viên bi từ hộp chứa tam giác đều từ tập M là: P =

18 viên bi Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là nø(O) = Cj, = 8568

⁄

Gọi A là biến cơ !75 viên bi được Chọn Cĩ đủ màu và số bi đỏ

bằng số bi vàng!! Ta cĩ các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

* 'Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên cĩ

C;.Œ;.Œÿ cách

* 'Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên cĩ

Trang 36

Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = CLCLC? + 02.02.01 = 1995

n(A) 1995 — 9õ

n(Q) 8568 408

Vi du 2.20 ({9|) Mot hop cd 5 vién bi do, 3 viên bi vàng và 4

viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bị, tính xác suất để 4 viên bi được chọn cĩ số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải cĩ mặt bi xanh

Vậy xác suất cần tinh P(A) =

Tời giản:

Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa

12 viên bi Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là n(O) = Cƒ, = 495

Goi 4 là biến cố “4 viên bi được chọn cĩ số bị đỏ lớn hơn số bị vàng và nhất thiết phải cĩ mặt bi xanh” Ta cĩ các trường hợp thuận lợi

cho biến cố A4 là:

* 'Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên cĩ Œ;.Œ; cách * 'Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên cĩ 00p cách * 'Trường hợp 3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên cĩ Œ;.C, cách * 'Trường hợp 4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên cĩ ŒŒ;Œ, cách Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = Œ.C? + CC) + Œ.C; + C?Ơ;Œ, = 240 n{A) _ 240 _ 16 n(Q) 495 23 Ví dụ 2.21 ([9|) Cĩ 3 bĩ hoa Bĩ thứ nhất cĩ 8 hoa hồng, bĩ thứ hai cĩ 7 bơng hoa ly, bĩ thứ ba cĩ 6 bơng hoa huệ Chọn ngẫu nhiên 7

hoa từ ba bĩ hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn cĩ số hoa hồng bằng số hoa ly

Loi _giat:

Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bĩ hoa gồm 21 hoa

Vậy xác suất cần tinh P(A) =

Trang 37

Gọi A là biến cố !'7 hoa được chọn cĩ số hoa hồng bằng số hoa

ly'’ Ta cĩ các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

* Trường hợp 1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly va 5 hoa huệ nên cĩ C;.C;.C? cach * Trudng hop 2: Chon 2 hoa hồng, 2 hoa ly va 3 hoa huệ nên cĩ C C;.C; cach * Trường hợp 3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên cĩ Œ;.Œ7.Œ; cách Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A) = Œ;.Œ;.Œ + C;.Œ7.Œ; + Œ.C;.Œ, = 23856 n(A) 23856 — 994 n(Q) 116280 4845'

Ví dụ 2.22 (|9|) Cĩ 13 hoc sinh cua mét truéng THPT dat

danh hiệu học sinh xuất sắc trong đĩ khối ƒ2 cĩ 8 hoc sinh nam va 3

học sinh nữ, khối 77 cĩ 2 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 3 hoc sinh

bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để Ø học sinh được chọn cĩ cả nam và nữ đồng thời cĩ cả khối 7ƒ và khối /2

Vậy xác suất can tinh P(A) =

Lời giải

Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học

sinh

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là n(Q) = Cy, = 286

Gọi A4 là biến cơ “Ø học sinh được chọn cĩ cả nam và nữ đồng thời cĩ cả khối 7ƒ và khối 72” Ta cĩ các trường hợp thuận lợi cho biến cố

A là:

* Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối

12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên cĩ CŒŒ¿Œ; = 48 cách

Trang 38

n(A) _ Z7

Vậy xác suất can tinh P(A) = (0) _ n

Ví dụ 2.23 ([9|) Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng Chọn ngẫu nhiên ra

4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu

Loi _giat:

Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi

đã cho

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là |O| = Cƒ, = 7315

Gọi A là biến cố ''Lẫy được 4 viên bi trong đĩ cĩ ít nhất hai viên

bi cùng màu!! Dé tìm số phần tử của 4, ta đi tìm số phần tử của biến cố A, với biến cỗ A là lấy được 4 viên bì trong đĩ khơng cĩ hai viên bi

nào cùng màu

Suy ra số phần tử của biến cố 4 là n(A) = Œ,Œ;Œ;C, = 840 Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = n(Q)- n(A) = 6475

n(A) 6475 — 185

n(Q) 7315 209°

Vi du 2.24 ([10]) (MD 104 BGD&DT NAM 2017-2018) Từ một

hộp chứa 7Ø quả cầu màu đỏ và ð quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời ? quả cầu Xác suất để lấy được 2 quả cầu màu xanh bằng

Vậy xác suất can tinh P(A) =

Lời giải:

Số phần tử khơng gian mẫu: n(O) = Œ7; = 455 (phần tử)

Goi A 1a biến cố: “lấy được đ quả cầu màu xanh”

Khi đĩ, n(A) = Œ; = 10 (phần tử)

Xác suất để lấy được Ø quả cầu màu xanh:

n4) _ Ơi _ 2

n(Q) Ch 91

Vi du 2.25 ({10]) (MD 103 BED&DT NAM 2018-2019) Chon

ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên Xác suất

để chọn được hai số cĩ tổng là một số chan bang:

P(A) =

Lou gia:

Trang 39

* Gọi biến cố A=“Chọn được hai số cĩ tổng là một số chẫn”, trong

21 số nguyên dương đầu tiên cĩ 11 số lẻ và 10 số chãn, để hai số chọn

được cĩ tổng là một số chẵn điều kiện là cả hai số cùng chẫn hoặc cùng lẻ = Số phần tử của biến cố A là: n(A) = Ci, + Cy, = 100

* Xác suất của biến cố A là:

A

P(A)= nA) _ 10 n(Q) 21

Vi du 2.26 ({10]) (MD 104 BGD&DT NAM 2017-2018) Ba ban

A,B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

|7; 6] Xác suất để ba số được viết ra cĩ tổng chia hết cho 3 bằng

Lou _giat:

Goi 3 sé can viét ra la a,b,c Ta cé n(Q) = 16”

Phan doan [ 1; 16] ra thành 3 tap:

X ={2,6,9,12, 15} là những số chia hết cho 3 du 0, c6 5 sé ={1,4,7,10,13, 16} là những số chia hết cho 3 du í, cĩ ổ số Z ={2,5,8, 11, 14} là những số chia hết cho 3 du 2, cĩ ð số

Ta thay 3 s6 a,b,c do A, B, C viết ra cĩ tổng chia hết cho Ø ứng

với 2 trường hợp sau:

* Trường hợp 1: cả Ø số a,b,c cùng thuộc một tập, số cách chọn la 6° + 5° +6" = 466 * Trường hợp 2: cả ở số a,b,c thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là 3/.5.5.6 = 900 6+900 _ 6855 16” _ 2048 Ví dụ 2.27 ([10|) (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn được hai số cĩ tổng là một số chãn bằng Tời giản: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu Xác suất cần tìm P(A) = 46

tiên, ta cĩ số phần tử của khơng gian mẫu là n(Q) = C;3,

Trang 40

Trường hợp 2: Hai số được chọn là số chan c6é C7, cach Suy ra số phần tử của biến cỗ A là n(A) = Củ + Cặ, Xác suất để chọn được hai số cĩ tổng 1A mét sé chan:

n(A) Cú +Œi, _ 13

n(Q) C?, 27,

Ví dụ 2.28 ([10]) (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Ba ban

A, B,C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

[1;17] Xác suất để ba số được viết ra cĩ tổng chia hết cho 3 bằng

P(A) =

Lou _giat:

Ta cé n(Q) = 17°

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn (1; 17 | cĩ ð sơ chia hết cho đ là

{2;6;9;12;12}, cĩ 6 số chia cho Ø dư ƒ là {1;4;7;10;72; 16}, cĩ 6 số chia cho 3 du 2 la {2;5;8;11;14;17} Dé ba sé dude viét ra co tong chia hét cho 3 can phai xay ra các trường hợp sau: * Trường hợp 1 Cả ba số viết ra đều chia hết choj Trong trường hợp này cĩ: ð” cách viết

* Trường hợp 2 Cả ba số viết ra đều chia cho Ø dư / Trong trường hợp này cĩ: 6” cách viết

* Trường hợp 3 Cả ba số viết ra đều chia cho ở dư 2 Trong trường hợp này cĩ: 6” cách viết

* Trường hợp 4 Trong ba số được viết ra cĩ ƒ số chia hét cho 3, cĩ một số chia cho dư í, cĩ một số chia cho Ø dư 2 Trong trường

hợp này cĩ: 5.6.6.3! cAch viét

5° +6°+6°+5.6.6.8! 1637

17° 4919

Ví dụ 2.29 ([11|) (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

NĂM 2018-2019) Một chiếc hộp chứa 6 quả cầu màu xanh và 4 quả cầu

màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 5 quả cầu Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy được cĩ đúng 2 quả màu đỏ

Loi _giat:

Tổng số quả cầu trong hộp là 6 + 4 = 10 (qua)