Một số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ MINH QUYÊN MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ MINH QUYÊN MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hƣớng dẫn: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng, 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung đƣợc trình bày luận văn thực dƣới hƣớng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng Mọi tài liệu dùng luận văn đƣợc đƣợc trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả Phạm Thị Minh Quyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1.1 NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Số phần tử số tập hợp 1.1.3 Các phép toán tập hợp 1.1.4 Tích Đề-các 1.2 QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN 1.2.1 Nguyên lý cộng 1.2.2 Nguyên lý nhân 1.3 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 1.3.1 Giai thừa 1.3.2 Hoán vị 1.3.3 Chỉnh hợp 1.3.4 Tổ hợp 1.4 NHỊ THỨC NEWTON 1.4.1 Nhị thức Newton 1.4.2 Tam giác Pascal 1.5 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.5.1 Phép thử loại biến cố 1.5.2 Mối quan hệ phép tính biến cố 10 1.5.3 Xác suất biến cố 11 1.6 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 11 1.6.1 Quy tắc nhân xác suất 11 1.6.2 Phát triển định lí cộng nhân xác suất 13 1.7 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 13 1.7.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc 13 1.7.2 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 14 1.7.3 Kỳ vọng 14 1.7.4 Phƣơng sai độ lệch chuẩn 14 CHƢƠNG CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 16 2.1 BÀI TỐN TÌM SỐ TỔ HỢP 16 2.1.1 Bài toán lập số tự nhiên 17 2.1.2 Bài toán chọn phần tử từ tập hợp 21 2.1.3 Bài toán xếp phần tử từ tập hợp 23 2.1.4 Bài toán phân chia phần tử từ tập hợp 27 2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 30 2.2.1 Bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp 30 2.2.2 Bài toán chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 31 2.3 BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 34 2.3.1 Bài tốn giải phƣơng trình 35 2.3.2 Bài tốn giải bất phƣơng trình 37 2.3.3 Bài toán giải hệ đại số tổ hợp 38 2.4 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON 40 2.4.1 Bài tốn tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 40 2.4.2 Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh số hệ thức, tính tổng tổ hợp 46 2.5 TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 66 2.5.1 Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển 66 2.5.2 Tính xác suất biến cố quy tắc cộng, quy tắc nhân 68 2.5.3 Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 76 2.5.4 Xác định kỳ vọng, phƣơng sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc 78 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán đại số tổ hợp xác suất nội dung quan trọng toán học, có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… Do đại số tổ hợp xác suất đƣợc đƣa vào chƣơng trình tốn từ lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh bậc phổ thông trung học kiến thức quan trọng liên quan đến lĩnh vực Trong thực tế giảng dạy nhận thấy đa số học sinh việc tiếp thu kiến thức đại số tổ hợp xác suất khó khăn Sách giáo khoa đổi trình bày phần kiến thức đầy đủ dễ hiểu, nhiên học sinh làm lại không đạt yêu cầu em thƣờng áp dụng máy móc, đặc biệt gặp toán lạ thay đổi đề dạng tốn thƣờng khơng biết cách xử lý Một nguyên nhân học sinh chƣa nắm bắt kiến thức, phân loại toán để giải nên kết học tập không cao, kiến thức dễ quên Để hiểu sâu, biết vận dụng linh hoạt kiến thức đại số tổ hợp xác suất vào giải toán, học sinh cần phải nắm vững khái niệm, công thức bản, nhận dạng phân loại tốn để tìm phƣơng pháp giải thích hợp Với mong muốn đƣợc tìm hiểu thêm chủ đề đại số tổ hợp xác suất phƣơng pháp giải tƣơng ứng thể chƣơng trình tốn bậc phổ thơng trung học nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học thân đƣợc gợi ý giáo viên hƣớng dẫn, chọn đề tài “Một số dạng toán đại số tổ hợp xác suất chương trình trung học phổ thơng” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ 2 Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu, tìm hiểu nhận dạng toán đại số tổ hợp xác suất chƣơng trình trung học phổ thơng, từ thể phƣơng pháp giải tƣơng ứng qua số chủ đề cụ thể Nội dung đề tài đƣợc chia thành chƣơng: - Chƣơng 1: Các kiến thức đại số tổ hợp xác suất - Chƣơng 2: Các dạng toán thƣờng gặp phƣơng pháp giải Trong dạng toán đƣa vào ví dụ minh họa phƣơng pháp giải tƣơng ứng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài dạng toán đại số tổ hợp xác suất Phạm vi nghiên cứu đề tài phƣơng pháp giải tốn thích hợp cho dạng tốn đại số tổ hợp xác suất chƣơng trình trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập đƣợc để thực đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hƣớng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng: Chƣơng Các kiến thức đại số tổ hợp xác suất Chƣơng Các dạng toán thƣờng gặp phƣơng pháp giải CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chương nhắc lại số kiến thức tập hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, biến cố, xác suất biến cố, quy tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc, nhằm làm sở cho chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [2], [4], [7], [14], [16], [20] 1.1 NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP 1.1.1 Các khái niệm + Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Tập hợp thƣờng đƣợc ký hiệu chữ A, B, C, … Các phần tử tập hợp thƣờng đƣợc ký hiệu chữ a, b,c, … Để x phần tử A: x  A ( x thuộc A) Để x không phần tử A: x  A ( x không thuộc A) Tập khơng có phần tử tập rỗng ký hiệu  - Biễu diễn tập hợp: Có cách: + Liệt kê phần tử: A= {a, b, c} B= {x1, x2, …, xn}, … + Biễu diễn tập hợp cách mô tả: C = {n | n có thuộc tính  } - Quan hệ bao hàm: Cho hai tập hợp A, B Mỗi phần tử thuộc A thuộc B ta nói A tập B (A bao hàm B) Ký hiệu: A  B Tính chất: A  A A  B B  A A = B A  B B  C A  C  tập hợp Tập A có n phần tử số tập A 2n 1.1.2 Số phần tử số tập hợp Số phần tử tập hợp A ký hiệu |A| card(A), gọi lực lƣợng tập hợp A Ta xét trƣờng hợp tập hợp hữu hạn Cho A, B, C tập hợp hữu hạn, đó: │ A  B │= │ A │+│ B │-│ A  B │ │ A  B  C │=│ A │+│ B │+│ C │-│ A  B │-│ B  C │-│ A  C │ +│ A  B  C │ Tổng quát: Cho A1, A2 , , An n tập hợp hữu hạn (n  1) Khi đó: │ A1  …  n +  1i  k l  n n An │=  i 1 Ai  n  1i  k  n Ai  Ak  n 1 Ai  Ak  Al +…+ (1) A1  A2   An 1.1.3 Các phép toán tập hợp Cho hai tập hợp A, B Ta định nghĩa phép toán sau: + Phép hiệu: Hiệu A B, ký hiệu A\B tập hợp A\B= {x| x  A x  B } + Phép bù: Cho tập X A  X , phần bù A X tập A X = X\A + Phép hợp: Hợp A B , ký hiệu A  B tập A  B = {x| x A x B } + Phép giao: Giao A B , ký hiệu A  B tập A  B = {x| x A x B} + Phân hoạch: Nếu A  B =  ta nói A B rời Nếu tập X1, X2, , Xn thỏa A = X1  X2   Xn chúng rời đơi một, ta nói { X1, X2, , Xn } phân hoạch tập hợp A 69 thành nhiều nhóm ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , … , Ak Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất biến cố A - Sử dụng quy tắc đếm cơng thức sau để tính xác suất biến cố A, biến cố đối A , biến cố hợp,… Ví dụ 2.65 Một hộp đựng cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để chọn đƣợc cầu màu Giải: Xét phép thử T “ Chọn cầu 1hộp đựng cầu” n()  C92  36 Gọi A: “ cầu đƣợc chọn màu” A1: “ cầu đƣợc chọn màu xanh” Có C 32 cách A2: “ cầu đƣợc chọn màu đỏ” Có C 24 cách A3: “ cầu đƣợc chọn màu vàng” có C 22 cách A=A1  A2  A3 biến cố A1, A2, A3 đôi xung khắc C32 C42 C22 nên: P(A)  P(A1 )  P(A2 )  P(A3 )    =    C9 C9 C9 36 36 36 18 Ví dụ 2.66 Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy đƣợc có bóng tốt Giải: Xét phép thử T: “ Lấy bóng đèn hộp có 12 bóng”  220  n()  C12 Gọi A: “ bóng lấy đƣợc có bóng tốt” A1: “ lấy đƣợc bóng tốt bóng xấu” A2: “ lấy đƣợc bóng tốt bóng xấu” 70 A3: “ lấy đƣợc bóng tốt” Nhận xét: A = A1  A2  A3 biến cố A1, A2, A3 đôi xung khắc nên: C71.C52 C72 C51 C73 70 105 35 21 P(A)  P(A1 )  P(A2 )  P(A3 )        C12 C912 C12 220 220 220 22 Cách 2: Xét biến cố A : “ bóng lấy đƣợc bóng xấu”  n( A )  C 35  10  P(A)  10  120 22 Vì biến cố đối biến cố A biến cố A nên: P(A)   21  22 22 Ví dụ 2.67 Lớp có 100 Sinh viên, có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi hai ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất: a) Sinh viên giỏi ngoại ngữ b) Sinh viên không giỏi ngoại ngữ hết Giải: a) Gọi A biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn Gọi B biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn Gọi C biến cố Sinh viên giỏi ngoại ngữ P(C)  P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)  50 45 10    0,85 100 100 100 b) Gọi D biến cố Sinh viên không giỏi ngoại ngữ hết P(D)   P(C)   0,85  0,15 Nhận xét: Để giải toán áp dụng quy tắc cộng xác suất ta cần: - Xác định biến cố thành phần có liên quan đến biến cố cần tìm xác suất; - Biễu diễn biến cố cần tìm xác suất qua biến cố có liên quan 71 - Kiểm tra tính xung khắc biến cố, tính xác suất biến cố có liên quan, áp dụng quy tắc cộng xác suất b Tính xác suất biến cố quy tắc nhân: Phương pháp: - Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , … , An độc lập tương ứng - Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất biến cố A Ví dụ 2.68 Có hộp đựng viên bi có kích thƣớc Hộp thứ đựng viên màu đen viên màu trắng Hộp thứ đựng viên màu đen viên màu trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu trắng Giải: Xét phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên hộp viên bi từ hộp thứ có viên bi hộp thứ hai có bi” Ta có: n(  ) = C15 C17  35 Gọi biến cố A: “ viên bi lấy màu trắng” A1: “Lấy đƣợc viên màu trắng hộp thứ nhất” Có C13 cách A2: “Lấy đƣợc viên màu trắng hộp thứ hai ” Có C14 cách Nhận xét: A = A1  A2 biến cố A1; A2 độc lập nên: C13 C14 12 P(A) = P(A1).P(A2) =   C5 C7 35 Ví dụ 2.69 Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn 0,7 Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng B lần bắn 0,9 Tính xác suất để mục tiêu khơng trúng đạn 72 Giải: Gọi Ai biến cố A bắn trƣợt lần bắn thứ i P(Ai )  0,3 , i  1;2 A1, A2 hai biến cố độc lập A  A1  A2 biến cố An bắn trƣợt hai lần bắn P(A)  P(A1 ).P(A2 )  (0,3)2 = 0,09 Gọi Bi biến cố B bắn trƣợt lần bắn thứ i P(Bi )  0,1 , i  1;2;3 ; biến cố Bi độc lập với B  B1  B2  B3 biến cố B bắn trƣợt ba lần bắn P(B)  P(B1 ).P(B2 )P(B3 )  (0,1)3 = 0,001 A  B biến cố “Mục tiêu không trúng đạn”; A, B độc lập P(A  B)  P(A).P(B) = 0,00009 Ví dụ 2.70: Có phế phẩm Lần 1: Lấy 1sản phẩm: Nếu phẩm bỏ phẩm vào thêm phẩm Nếu phế phẩm bỏ vào thêm phế phẩm Lần 2: Lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy lần phẩm Giải: Gọi Ai biến cố “sản phẩm lấy lần thứ i đƣợc phẩm”, i  1, A biến cố “ Sản phẩm lấy lần phẩm” A = A1A2 P(A) = P( A1A2) = P(A1).P( A2/A1) Ta có: P(A1) = 10 P( A2/A1) = 13 P(A) = P( A1A2) = P(A1).P( A2/A1) = 0,415 Ví dụ 2.71 Trong hộp có 12 bóng đèn, có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt khơng hồn lại ba bóng để dùng Tính xác suất để: a) Cả ba bóng hỏng 73 b) Cả ba bóng khơng hỏng? c) Có bóng khơng hỏng? d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng? Giải: Gọi Ai biến cố bóng thứ i hỏng; i  1,2,3 a) Gọi B biến cố “Cả ba bóng hỏng” P(B)  P  A1A A3   P  A1  P  A /A1  P  A3 / A1A   1  12 11 10 220 b) Gọi C biến cố “Cả ba bóng không hỏng”         21  12 11 10 55  9  12 11 10 55 P(C)  P A1 A A3  P A1 P A /A1 P A3 / A1 A  c) D biến cố “Có bóng khơng hỏng” P(D)   P  A1A 2A3    219  220 220 d) E biến cố “Chỉ có bóng thứ hỏng”        P(E)  P A1 A A3  P A1 P A /A1 P A3 / A1A  Nhận xét: Để giải toán áp dụng quy tắc nhân xác suất ta cần: - Xác định biến cố thành phần có liên quan đến biến cố cần tìm xác suất - Biễu diễn biến cố cần tìm xác suất qua biến cố có liên quan - Kiểm tra tính độc lập biến cố, tính xác suất biến cố có liên quan, áp dụng quy tắc nhân xác suất c Sự kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân tốn xác suất: Trong cơng thức cộng xác suất lại xuất xác suất biến cố tích, biến cố xung khắc xác suất biến cố tích Tuy nhiên nhiều trường hợp khơng có xung khắc ta phải áp dụng quy tắc nhân để 74 tính xác suất biến cố tích Vì có tốn cần kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân để tính xác suất biến cố Ví dụ 2.72 Có hai lớp 10A 10 B lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn số học sinh giỏi toán đƣợc cho bảng sau Có đồn tra Hiệu trƣởng nên mời vào lớp để khả gặp đƣợc em giỏi mơn cao ? Lớp 10A 10B Văn 25 25 Toán 30 30 Văn Toán 20 10 Giỏi Giải: Gọi V biến cố học sinh giỏi Văn, T biến cố học sinh giỏi Tốn Ta có: Lớp 10A P(V  T)  P(V)  P(T)  P(VT)  25 30 20    45 45 45 Lớp 10B: P(V  T)  P(V)  P(T)  P(VT)  25 30 10    45 45 45 Vậy nên chọn lớp 10B Ví dụ 2.73 Xác suất bắn trúng đích ngƣời bắn cung 0,2 Tính xác suất để lần bắn độc lập a Ngƣời bắn trúng đích lần b Ngƣời bắn trúng đích lần Giải: a Gọi biến cố A: “ Trong ba lần bắn, ngƣời bắn trúng đích lần” 75 Ai: “ Ngƣời bắn cung bắn trúng đích lần thứ i”; i = 1; 2; Nhận xét: A  A1 A2 A3  A1A2 A3  A1 A2A3 Các biến cố: A1 A2 A3 ; A1A2 A3 ; A1 A2A3 đôi xung khắc Các biến cố: A1; A2 ; A3 ; A1; A2 ; A3 ; A1; A2 ; A3 đôi độc lập Vậy nên: P(A)  P(A1 A A )  P(A1 A A )  P(A1 A A ) = = 0,2 0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384 b Gọi biến cố B: “ Trong lần bắn, ngƣời bắn trúng đích lần” Khi biến cố B : “Trong lần bắn, ngƣời khơng bắn trúng đích lần nào” B = A1 A A Suy P( B ) = P( A1 A A3 ) = (0,8)3 = 0,512 Vậy P(B) = – P( B ) = – 0,512 = 0,488 Ví dụ 2.74 Một chàng trai viết thƣ cho cô gái, khơng tâm nên bỏ thƣ vào phong bì cách ngẫu nhiên Tính xác suất để có nhận đƣợc thƣ viết cho Giải: Gọi Ai biến cố “cơ thứ i nhận đƣợc thƣ viết cho mình”; i=1; 2; B biến cố “có nhận đƣợc thƣ viết cho ” B = A1+A2+A3 P(B)= P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) +P(A3) - P(A1A2) - P(A2A3) - P(A3A1) + P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) +P(A3) -P(A1) P(A2 /A1) - P(A2) P(A3 /A3) - P(A3) P(A1 /A3) + P(A1) P(A2 /A1) P(A3 /A1A2) = 1 1 1 1 1 11        3 3 3 21 Ví dụ 2.75 Trong kì thi Thí sinh đƣợc phép thi lần Xác suất lần đầu vƣợt qua kì thi 0,9 Nếu trƣợt lần đầu xác suất vƣợt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trƣợt hai lần xác suất vƣợt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu 76 Giải: Gọi Ai biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B  A1  (A1A2 )  (A1 A2 A3 ) Suy ra: P(B)  P(A1 )  P(A1A )  P(A1 A A3 ) Vậy: P(B)  0,9  0,1.0,7  0,1.0,3.0,3  0,979 2.5.3 Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phương pháp: + Xác định giá trị nhận X (x1, x , , x n ) + Tính xác suất pi  P(X  x i ) , X  x i  biến cố “X nhận giá trị x i ” + Lập bảng phân phối xác suất theo dạng: X x1 x2 xn P p1 p2 pn Ví dụ 2.76 Gieo đồng xu sấp ngửa lần liên tiếp Lập bảng phân phối cho số lần xảy mặt sấp Giải: Gọi X số lần xảy mặt sấp lần gieo S1, S2, S3 tƣơng ứng biến cố đồng xu xuất mặt sấp lần gieo thứ nhất, thứ hai, thứ ba Không gian mẫu:  = { S1S2 S3 ,S1S2 S3 ,S1S2 S3 ,S1S2S3 ,S1S2 S3 ,S1S2S3 ,S1S2S3 ,S1S2S3 } Khi X nhận giá trị thuộc tập {0, 1, 2,3} * P(X=0) = P( S1 S2 S3 ) = 77 * P(X=1) = P( S1 S2 S3 , S1S2 S3 , S1 S2S3 ) = * P(X=2) = P( S1S2 S3 ,S1S2S3 ,S1S2S3 ) = * P(X=3) = P(S1S2S3) = Bảng phân phối xác suất X: X P 8 8 Ví dụ 2.77 Một sinh viên thi ba mơn Tốn, Lý, Hóa với xác suất đậu lần lƣợt 0,6; 0,7; 0,8 Hãy lập bảng phân phối xác suất số mơn đậu ba mơn Giải: Gọi X số môn đậu sinh viên Ta có X nhận giá trị thuộc tập = 0, 1, 2, 3 Gọi T, L, H lần lƣợt biến cố sinh viên đậu Tốn, Lý, Hóa P(X = 0) = P( T L H ) = 0,024 P(X = 1) = P(T L H + T L H + T L H) = 0,188 P(X = 2) = P(TL H + T L H + T LH) = 0,452 P(X = 3) = P(TLH) = 0,336 Vậy, bảng phân phối xác suất X là: X P 0,024 0,188 0,452 0,336 78 Ví dụ 2.78 Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm có sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên lúc sản phẩn để kiểm tra Gọi X số sản phẩm xấu gặp phải kiểm tra Lập bảng phân bố xác suất x Giải: Dễ thấy X nhận giá trị thuộc tập {0,1,2,3} Ta có : P(X=0)= C74 35  ; C10 210 C32C72 63 P(X=2)=  C10 210 P(X=1)= C13C37 105  C10 210 C33C17 P(X=3)=  C10 210 Vậy bảng phân bố xác suất x là: X P 35 210 105 210 63 210 210 2.5.4 Xác định kỳ vọng, phƣơng sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc Phương pháp: Để tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng công thức sau: n E(X) = x p i 1 i i n D(X) = x p i 1 i i = x1p1 + x2p2 + + xnpn   ,   E(X) ; pi  P(X  x i ), i  1,n  (X) = D(X) Ví dụ 2.79 Một hộp đựng 10 thẻ, có bốn thẻ ghi số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số thẻ ghi số Chọn ngẫu nhiên hai thẻ cộng hai số hai thẻ với Gọi X số thu đƣợc a) Lập bảng phân bố xác suất X 79 b) Tính kì vọng, phƣơng sai độ lệch chuẩn X Giải: a Gọi Bịj biến cố "Chọn đƣợc thẻ ghi số i thẻ ghi số j." b X nhận giá trị thuộc tập {2,3,4,5,6,7} P(X=2)=P(B11)= C24  C10 45 C14C13 12 P(X=3)=P(B12)=  C10 45 C14 C12 C32 11 P(X=4)=P(B13)+P(B22)=   C10 C10 45 C14 C11 C13C12 10 P(X=5)=P(B14)+P(B23)=   C10 C10 45 C22 C13C11 P(X=6)=P(B33)+P(B24)=   C10 C10 45 C12C11 P(X=7)=P(B34)=  C10 45 Vậy bảng phân bố xác suất X X P 45 12 45 11 45 10 45 45 45 b) Ta có : E(X)=2 12 11 10 +3 +4 +5 +6 +7 =4 45 45 45 45 45 45 D(X)=22 12 11 10 +32 +42 +52 +62 +72 - 42 ≈ 1,78 45 45 45 45 45 45 σ(X)= D(X)  1,78  1,33 80 Ví dụ 2.80 Một ngƣời dùng chùm chìa khóa có chìa (có chìa mở đƣợc chìa khơng mở đƣợc) để mở cửa Gọi X lần mở cửa a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính kì vọng, phƣơng sai độ lệch chuẩn X Giải: a Gọi Xi biến cố "mở cửa đƣợc lần thứ i."; i = 1,4 X nhận giá trị thuộc tập {1,2,3,4} P(X=1)= P(X=2)=P( X1X )= P( X1 ).P( X / X1 )= 3 = 10 P(X=3)=P( X1 X 2X3 )= P( X1 ).P( X / X1 ) P( X3 / X1 X2 ) = 2 = 5 P(X=4)=P( X1 X X3X )= P( X1 ).P( X / X1 ) P( X3 / X1 X2 ) P( X4 / X1 X2 X3 ) = 2  10 Vậy bảng phân bố xác suất X : X P 10 10 b.E(X) =1 +2 + + 2 10 5 10 D(X)=12 1 2 +2 + 32 + 42 - 22 = 5-4 =1 10 10 σ(X)= V(X)   81 KẾT LUẬN Luận văn “Một số dạng toán đại số tổ hợp xác suất chương trình trung học phổ thơng ” thực đƣợc mục tiêu nhiệm vụ đề ra; cụ thể luận văn đạt đƣợc nội dung sau: Tổng quan số kiến thức đại số tổ hợp xác suất: Tập hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Nhị thức Newton, biến cố, xác suất biến cố, quy tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc, Khảo sát số dạng toán đại số tổ hợp xác suất chƣơng trình trung học phổ thông thƣờng gặp đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Đối với dạng toán, giới thiệu phƣơng pháp giải chung kèm theo nhiều ví dụ minh họa, tốn tham khảo Các kết đạt đƣợc luận văn cịn khiêm tốn nhƣng góp phần giúp thân tìm hiểu làm rõ số vấn đề dạng toán đại số tổ hợp xác suất chƣơng trình trung học phổ thông, phục vụ tốt cho công tác giảng dạy Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong quý thầy bạn đọc góp ý để luận văn đƣợc hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Vân Anh (2010), Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi Quốc gia mơn tốn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Bài tập giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [4] Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [5] Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Bài tập giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [6] Lê Hồng Đức (2007), Bài giảng chuyên sâu toán PTTH giải toán đại số giải tích 11, Nhà xuất Hà Nội [7] Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Lam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2008), Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [8] Ngơ Long Hậu-Trần Thanh Phong-Nguyễn Đình Thọ (2011), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng toàn quốc từ 2002 – 2003 đến 2011 – 2012, Nhà xuất Hà Nội [9] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [10] Phạm Văn Kiều (1998), Lý thuyết xác suất thống kê toán học, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [11] Ngơ Thúc Lanh (1998), Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất Giáo dục [12] Lê Khánh Luân - Nguyễn Thanh Sơn - Phạm Trí Cao (2007), Bài tập Xác suất thống kê, Nhà xuất Lao Động [13] Tống Đình Quỳ (2004), Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [14] Nguyễn Ngọc Siêng (2006), Xác suất thống kê toán, Nhà xuất Đà Nẵng [15] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [16] Huỳnh Công Thái (2002), Chuyên đề giải tích tổ hợp, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [17] Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [18] Đặng Hùng Thắng (1998), Bài tập xác suất, Nhà xuất Giáo dục [19] Trần Mạnh Tuấn (2004), Xác suất thống kê, lý thuyết thực hành tính tốn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [20] Nguyễn Hữu Tuyển (2007), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nhà xuất Văn hóa thơng tin [21] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh Nguyễn Thế Hệ (2002), Bài tập lý thuyết xác suất thống kê toán, Nhà xuất Giáo dục ... nghiên cứu đề tài dạng toán đại số tổ hợp xác suất Phạm vi nghiên cứu đề tài phƣơng pháp giải toán thích hợp cho dạng tốn đại số tổ hợp xác suất chƣơng trình trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ MINH QUYÊN MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13... Các kiến thức đại số tổ hợp xác suất Chƣơng Các dạng toán thƣờng gặp phƣơng pháp giải 3 CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chương nhắc lại số kiến thức tập hợp, quy tắc