Skkn hướng dẫn học sinh tiếp cận nhóm bài toán trắc nghiệm trên trường số phức được phát triển từ một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng

0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TRONG TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHĨM BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM TRONG TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Lê Quang Vũ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2017 skkn MỤC LỤC Mở đầu Trang 2 Nội dung sáng kiến…… Trang 2.1 Cơ sỡ lý luận SKKN .Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trang 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Trang 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng ……… Trang 2.3.2 Các toán cực trị liên quan đến đường tròn Trang 10 2.3.3 Các toán cực trị liên quan đến đường E-lip Trang 18 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 19 Kết luận, kiến nghị………………… Trang 19 skkn Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm học 2016-2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng toán quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong q trình giảng dạy, ơn thi, làm đề tơi phát rằng: nhiều tốn khó số phức xây dựng sở số tốn cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý nên tổng hợp kinh nghiệm trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHĨM BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh giỏi nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán cực trị tập số phức Sau khuyến khích em dựa vào tính chất cực trị hình học học để sáng tạo tập hay tập số phức, qua giúp em phát triễn tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán cực trị số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức hình học liên quan Đặc biệt với riêng chuyên đề giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ số phức với hình học tọa độ, công thức chuyển đổi từ số phức sang hình học Sau giáo viên chọn số tốn điển hình, kiện, u cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo “phản xạ” cho em gặp loại toán Bước cuối yêu cầu em sáng tạo thêm đề tốn từ tốn điển hình từ toán khác mà em gặp skkn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Một số phép toán mở rộng mô-đun số phức số phức liên hợp Cho hai số phức Ta chứng minh tính chất sau:[1]1 2.1.2 Biểu diễn hình học số phức - Biểu diễn hình học số phức với mặt phẳng tọa độ điểm Khi - Biểu diễn hình học hai số phức hai điểm đối xứng qua trục nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức hình hai hình đối xứng qua trục - Nếu điểm biểu diễn hai số phức với trung điểm đoạn - Cho điểm biểu diễn hai số phức quỹ tích điểm biểu diễn số phức - Cho điểm biểu diễn hai số phức quỹ tích điểm biểu diễn số phức - Cho Số phức thay đổi thỏa mãn trung trực đoạn Số phức thay đổi thỏa mãn đường thẳng , số phức quỹ tích điểm biểu diễn số phức thay đổi đường trịn số phức khơng đổi có điểm biểu diễn thỏa mãn trịn tâm bán kính số phức khơng đổi có điểm biểu diễn thỏa mãn tâm bán kính - Cho , số phức quỹ tích điểm biểu diễn số phức thay đổi miền đường [1] Kết tham khảo trang 12, 13, 14 sách “HÀM BIẾN PHỨC” tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải skkn - Cho số phức không đổi có điểm biểu diễn thỏa mãn trịn tâm bán kính - Cho hai số phức , số phức quỹ tích điểm biểu diễn số phức thay đổi miền ngồi đường khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm thay đổi thỏa mãn Một số phức Khi + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn đường E-lip nhận + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức đoạn thẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện gặp dạng toán cực trị tập số phức phát triễn từ tốn cực trị hình học thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường khơng thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm toán loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác em lại khơng phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ chạy đường thẳng trí điểm tính độ dài a Hướng dẫn giải: , cho điểm cho độ dài đoạn đường thẳng Điểm nhỏ Khi tìm vị A d(M,d) (d) H M skkn Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Khi , nên độ dài đoạn nhỏ hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun biết với - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức số phức Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức cho + Cho số phức thỏa mãn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho số phức với có điểm biểu diễn nằm đường thằng Tính giá trị nhỏ A B  Gợi ý: Gọi A C D thỏa mãn Giá trị nhỏ B C  Gợi ý: Gọi có: , hay quỹ tích điểm điểm điểm biểu diễn số phức Ví dụ 2: Cho số phức hai số phức biết D điểm biểu diễn số phức đường trung trực đoạn đường thẳng Từ đề ta Quỹ tích Mà với skkn Ví dụ 3: Cho số phức Giá trị nhỏ A số ảo thỏa điều kiện B C D  Gợi ý: toán trở dạng giống Ví dụ Ví dụ 4: Cho số phức Như thỏa mãn Giá trị nhỏ A B C  Gợi ý: D Bài toán trở thành: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ tốn trở dạng giống Ví dụ Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm phân biệt thẳng Điểm chạy đường thẳng nhỏ Khi tìm vị trí điểm a Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp +) Trường hợp 1 : hai điểm , Như , đường cho tổng độ dài đoạn tính nằm hai phía đường thẳng A (d) D M B Ta có nên +) Trường hợp 2 : hai điểm , đạt , phía đường thẳng skkn B A (d) D M A' Gọi điểm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng nên Khi , đạt b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức với là số Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại phát nhanh yếu tố hình học giả thiết kết luận, vẽ yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí c Ví dụ minh họa: với đường thẳng Ví dụ 5: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A B  Gợi ý: Gọi D điểm biểu diễn số phức , từ điều kiện quỹ tích điểm phía trục C trục Đặt suy nằm hai Khi Ví dụ 6: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A  Gợi ý: Gọi B C D điểm biểu diễn số phức , từ skkn suy quỹ tích điểm Đặt đường thẳng Điểm đường thẳng nằm phía với điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Khi Bài tốn 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm đoạn thẳng Điểm chạy đoạn thẳng cho độ dài đoạn nhỏ Khi tìm vị trí điểm tính độ dài a Hướng dẫn giải: Gọi hình chiếu vng góc điểm trường hợp  Trường hợp 1: điểm nằm đoạn lên đường thẳng Ta xét hai I M A H B Dễ dàng thấy  Trường hợp 2: điểm nằm đoạn I A M B H Dễ dàng thấy b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đoạn thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn mô-đun phức biết với số - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu skkn - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đoạn thẳng Điều kiện kiểu chủ yếu dựa vào tính chất: điểm thuộc đoạn thẳng Tính chất viết theo ngơn ngữ số phức có số dạng sau: + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết (Đây dạng suy biến Elip trình bày phần sở lý thuyết) + Cho số phức thỏa mãn nhỏ với hai số phức biết Hoặc tạo quỹ tích điểm biểu diễn phần đường thẳng bị giới hạn miền đường tròn, elip Chẳng hạn như: + Cho số phức bị ràng buộc điều kiện để quỹ tích đường thẳng, điều kiện cịn lại c Ví dụ minh họa: Ví dụ 7: Xét số phức thỏa mãn Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn A Tính C , D điểm biểu diễn số phức , gọi Từ giả thiết Quỹ tích điểm đoạn thẳng hình chiếu Gọi B  Gợi ý: Gọi Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra lên đường thẳng nằm đoạn Lại có: Ví dụ 8: Xét số phức thỏa mãn nhỏ Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn A B Tính C , D skkn  Gợi ý: Gọi điểm biểu diễn số phức , gọi Ta có , nghĩa quỹ tích điểm đoạn thẳng Gọi hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu ngồi đoạn Ví dụ 9: Xét số phức A  Gợi ý: Gọi nằm thỏa mãn B Vẽ lên đường thẳng Lại có: Tìm giá trị nhỏ C D điểm biểu diễn số phức , thuộc đường thẳng nên , mà đường trịn nên Lại có biệt nhỏ nên quỹ tích điểm cắt thuộc miền hai điểm phân đoạn thẳng Gọi , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng nằm đoạn mà nên 2.3.2 Các tốn cực trị liên quan đến đường trịn Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm đường trịn bán kính Điểm thay đổi đường trịn Xác định vị trí điểm dài đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp  Trường hợp 1: điểm có tâm để độ nằm miền ngồi đường trịn (C) M R A B I C 10 skkn  Trường hợp 2: điểm nằm đường tròn (C) M R A C I B  Trường hợp 3: điểm nằm miền đường tròn (C) R B A C I M b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức với số phức Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đường trịn Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết 11 skkn + Cho số phức thỏa mãn c Ví dụ minh họa: với Ví dụ 10: Cho số phức có A B  Gợi ý: Gọi số phức có modun nhỏ lớn C điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm Dễ thấy điểm hai số phức biết bán kính Vì nên quỹ tích điểm Đặt nằm ngồi đường trịn D nên Ví dụ 11: Cho số phức lớn là: A B  Gợi ý: Gọi điểm thoả Khi C điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm D Vì nên quỹ tích bán kính Dễ thấy điểm nên có giá trị Đặt nằm ngồi đường trịn Ví dụ 12: Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thoả mãn điều kiện A  Gợi ý : Gọi B C điểm biểu diễn số phức D .Theo ra : nên quỹ tích điểm đường trịn đường trịn tâm nên bán kính Dễ thấy điểm O nằm 12 skkn Ví dụ 13: Cho số phức Tính thỏa mãn A B  Gợi ý: Đặt C với D Từ Gọi biểu diễn số phức quỹ tích Đặt đường trịn đường trịn tâm , bán kính Dễ thấy điểm nên điểm nằm miền Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đường trịn có tâm bán kính khơng có điểm chung Điểm thay đổi đường trịn , điểm thay đổi đường thẳng Xác định vị trí hai điểm , để độ dài đoạn giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: I R M A H N b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn đường tròn, tạo điều kiện ràng buộc số phức điểm biểu diễn đường thẳng cho quỹ tích 13 skkn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức Gọi , đường thẳng biểu diễn số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Khi học sinh nắm vững tốn dễ dàng hình dung đường hình học để giải tốn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 14: Xét hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ A B  Gợi ý: Gọi C D điểm biểu diễn hai số phức , suy quỹ tích điểm quỹ tích điểm trực quan dễ thấy đường tròn tâm đường thẳng có bán kính khơng có điểm chung, mà Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Đoạn đường kính Xác định vị trí điểm để tổng độ dài tính giá trị a Hướng dẫn giải: cho đường tròn Điểm Theo có tâm Vẽ hình nên bán kính thay đổi đường trịn (với ) đạt giá trị nhỏ 14 skkn M A R B I Ta có : , dấu xảy b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun với hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn biểu diễn số phức - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức tốn hình học nêu Gọi Khi tốn số phức trở - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 15: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  Gợi ý: Gọi điểm B C D điểm biễu diễn số phức Theo đường tròn tâm hình trực quan dễ thấy bán kính nên quỹ tích Đặt , vẽ đường kính đường trịn Khi , dấu xảy Suy Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn Đoạn cố định nhận điểm làm trung điểm Điểm có tâm bán kính thay đổi đường 15 skkn trịn Xác định vị trí điểm để tổng độ dài giá trị lớn tính giá trị a Hướng dẫn giải: (với ) đạt M A I B Theo công thức đường trung tuyến ta có Lại có: , dấu xảy , giao điểm đường với đường trịn tâm bán kính b Cách tạo giải toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường trịn - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mô-đun với hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng nhận tâm đường tròn biểu diễn số phức làm trung điểm - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức tốn hình học nêu Khi tốn số phức trở - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn thực phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm Gọi bán kính ; đồng thời hai số đường tròn 16 skkn có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu c Ví dụ minh họa: Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A B  Gợi ý: Gọi C D điểm biễu diễn số phức Theo điểm đường trịn hình trực quan dễ thấy tâm nhận nên quỹ tích bán kính Đặt làm trung điểm nên , vẽ ta có Khi , dấu xảy đường trịn tâm giao điểm đường trịn bán kính Suy với Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn có tâm bán kính Điểm cố định nằm miền đường tròn; hai điểm thay đổi cho ba điểm dài (với a Hướng dẫn giải: thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm ) giá trị nhỏ tính giá trị để tổng độ I M A B 17 skkn Ta có tích độ lớn phương tích điểm suy với đường trịn Nên , , dấu xảy giao điểm đường trịn tâm bán kính với đường tròn b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc hai số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng đường tròn Chọn số phức diễn nằm miền đường tròn biểu diễn ba điểm biểu diễn có điểm biểu Tạo điều kiện ràng buộc để thẳng hàng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ tổng mô-đun - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức thực số phức thẳng hàng; đồng thời hai số phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm bán kính đường trịn có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức thẳng hàng ta thường sử dụng c Ví dụ minh họa: Ví dụ 17: Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  Gợi ý: Gọi B C điểm biểu diễn hai số phức , suy quỹ tích điểm D Theo quỹ tích điểm đường 18 skkn trịn tâm có bán kính Đặt điểm điểm nên theo cơng thức phương tích ta có , ta có thuộc đoạn , Lại có , dấu xảy giao điểm đường thẳng qua vng góc với đường trịn 2.3.3 Các toán cực trị liên quan tới E-lip Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho E-lip có độ dài trục lớn , độ dài trục bé , tâm đối xứng ; điểm thay đổi Xác định vị trí điểm cho độ dài đoạn lớn nhất, nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: B M A' I A B' b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên: - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn đường E-lip - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun diễn tâm E-lip với số phức có điểm biểu 19 skkn ... nghiệm trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHĨM BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI... độ mặt phẳng, qua chọn lọc số toán cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán cực trị số phức, ... diễn hình học số phức - Biểu diễn hình học số phức với mặt phẳng tọa độ điểm Khi - Biểu diễn hình học hai số phức hai điểm đối xứng qua trục nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức hình hai hình