Skkn giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “con mắt” hình học

1 Mở đầu 1 Lí chọn đề tài Số phức đưa vào giảng dạy bậc phổ thông nhiều nước giới, lại nội dung với học sinh trung học phổ thông Việt Nam Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thơng Tính đến thời điểm này, gần 10 năm, nội dung sách giáo khoa mức độ đơn giản song phân bố khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo nội dung cịn ít, nội dung đưa hầu hết đề thi THPT Quốc gia năm gần chiếm tỉ lệ định Bắt đầu từ năm học 2016-2017 mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, việc giúp học sinh nhận dạng đưa cách giải nhanh, xác yêu cầu tối cần thiết Vì việc dạy học “Số phức” có hiệu thật vấn đề cần nghiên cứu Trải qua số năm tham gia dạy chương trình tốn lớp 12, tơi thấy: Học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên phần lớn vận dụng em bị ảnh hưởng nhiều tính chất tập hợp số thực, em tỏ lúng túng giải toán số phức, đặc biệt có em cịn nhầm tưởng tính chất tập hợp số thực tập hợp số phức Đặc biệt việc giải tốn “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” tốn q khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn Vấn đề thơng qua tốn học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải tốn “Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Riêng thân, mối tiết dạy, dạy trăn trở tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng học sinh, tìm cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư sức sáng tạo học sinh Chính lí nên tơi chọn đề tài “Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ “Con Mắt” hình học ” để viết sáng kiến kinh nghiệm. Nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chương số phức lớp 12 Mục đích nghiên cứu Giúp em học sinh có nhiều cách nhìn việc tư giải toán đại số Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài “Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ “Con Mắt” hình học ”, phương pháp hình học giải tốn tìm số phức có mơdun lớn nhất, nhỏ skkn 1 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi PPDH theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình giải tích 12 (Chương số phức) Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT, tiến hành theo quy trình đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng phương pháp để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu skkn 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận SKKN Phương pháp nghiên cứu SKKN dựa sở: + Các kiến thức số phức + Các kiến thức lượng giác phương pháp tọa độ mặt phẳng + Những sai lầm thực tế làm học sinh số phức 1.1 Số phức [1]  Định nghĩa 1: Mỗi số phức biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R i2 = -1 Kí hiệu số phức z = a +bi ; i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu C  Định nghĩa 2: Hai số phức Từ đó, a + bi = a = b =  Biểu diễn hình học số phức: + Ứng với số phức z = a + bi có điểm M(a;b) mặt phẳng Oxy ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b) Ngồi ra, số phức z = a + bi biểu diễn vectơ + Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo  Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tổng hai số phức số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i Hiệu hai số phức số phức z-z’ = (a-a’) + (b-b’)i Khi đó, biểu diễn số phức z, biểu diễn số phức z’ vectơ biểu diễn số phức z+z’, z- z’  Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tích hai số phức số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i Chú ý: Có thể thực phép tốn cộng, trừ, nhân hai số phức cách hình thức tương tự phép toán cộng, trừ, nhân tập hợp số thực R  Phép chia số phức: + Số phức liên hợp số phức z = a +bi số phức + Môđun số phức z = a +bi + Số nghịch đảo số phức z = a +bi khác số phức skkn + Thương hai số phức z’ = a’ + b’i số phức z = a + bi khác tích z’ với số phức nghịch đảo z, tức Vậy: Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ MM’ =  Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực: +D ³ 0: Phương trình có nghiệm thực +D < 0: Phương trình có nghiệm phức  Tập hợp điểm biễu diễn số phức thừơng gặp: + Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng : Cho số phức z thoã mãn: Giả sử M, A, B lầ lượt điểm biểu diễn số phức z, z1,z2 Ta có thuộc trung trực AB +Tập hợp điểm biểu diễn đường tròn : Cho số phức z thoã mãn: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường tròn +Tập hợp điểm biểu diễn elip: Cho số phức z thoã mãn: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z (E) có phương trình: 2.1.2 Một số kiến thức áp dụng 1.Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki với bốn số thực: Với bốn số thực a,b,c,d, ta có: Dấu đẳng thức xảy ay=bx Định lí dấu tam thưc bậc hai Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 4.Giao điểm đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với đường tròn skkn 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học chương số phức nói chung tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhất, nhỏ nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thời lượng SGK dành cho chương số phức không nhiều, kiến thức đơn giản, khơng có nhiều dạng tập đề thi ,với hình thức thi trắc nghiệm, nên dạng tập đa dạng , phong phú Mức , độ yêu cầu đề ngày cao, vượt xa sách giáo khoa cung cấp gây nhiều khó khăn cho học sinh Đối với học sinh, việc tiếp thu vận dụng kiến thức số phức nhiều em hạn chế phần kiến thức mới.bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ lại khó liên quan đến nhiều tốn định lượng, bất đẳng thức, mối liên hệ đại số với tốn hình học Qua kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì lớp 12C2 thấy nhiều học sinh thường không làm tập phần Vì điểm kiểm tra thường thấp so với phần học khác Cụ thể kết kiểm tra 15 phút lớp 12C2 (Năm học 2014-2015), trước chưa đưa phương pháp sau: Đề bài: Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết Câu 2: Tìm số phức Lời giải có mơđun nhỏ thỏa mãn Lớp 12C2(Năm học 2014-2015): ( Tổng số HS :36) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 16,7 15 41,7 11 30.56 11.04 Phân tích : +Nhiều em khơng làm câu lúng túng khơng biết xử lí tốn cho Khơng nắm vững kiến thức elip nên khơng tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z + Nhiều em theo hướng không lập mối liên hệ x y nên khơng thể tính khơng giải tốn +Nhiều em theo hướng khơng giải tốn khơng nắm chất “Hình học” tốn Các giải pháp sử dụng giải vấn đề 2.3.1 Một số tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình: Bài tốn1: Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z skkn Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z   i =2 b)  z   i c) Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z   i =2 (1)  Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = b) Xét hệ thức 2 z  z i  |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2  4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB Giải Giả sử Ta có : Gọi điểm biểu diễn số phức Xét hai điểm Khi hệ thức viết lại thành Tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện elip nhận làm hai tiêu điểm có độ dài trục thực Độ dài trục bé Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho elip có phương trình Bài tốn 2: (Trích đề thi tuyển sinh đại học Bách Khoa năm 2010) skkn Trong mặt phẳng tọa độ mãn: , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa Lời giải Giả sử Ta có : thỏa mãn điều kiện cho đường Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức trịn có phương trình Bài tốn 3 : Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết số phức thỏa mãn điều kiện Lời giải Cách 1: Giả sử Ta có Đặt Ta có : Giả sử Do từ hệ thức , ta có Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức trình : Cách 2: Đặt Khi ta có đường trịn có phương Từ giả thiết tính chất mơđun ta có Giả sử skkn Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ phức , tìm tập hợp điểm biểu diễn số thỏa mãn điều kiện: Lời giải Giả sử Ta có Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có phương trình thỏa mãn điều kiện cho parabol 3.2 Bài tốn tìm cực trị số phức *) Phương pháp: Bài toán: Trong số phức thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu toán hàm số biến vừa tìm Kỹ năng: +Phương pháp đại số +Phương pháp hình học + Phương pháp bđt modun +Phương pháp casio *) Một số tốn điển hình Dạng 1: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z đường thẳng :Giả sử M,A,B lầ lượt điểm biểu diễn số phức z, z1,z2 Ta có : thuộc trung trực AB Khi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z hình chiếu vng góc O lên Nhận xét : Đề suy biến toán thành số dạng khác,khi ta cần thực biến đổi đưa dạng bản: Ví dụ : +Cho số phức z thỗ mãn Khi ta biến đổi: + Cho số phức z thỗ mãn Khi ta biến đổi: skkn Ví dụ 1: Trong số phức thoả mãn điều kiện , tìm số phức có mơđun nhỏ Giải: Gọi Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z suy góc O lên (O gốc tọa độ).Tìm M hình chiếu vng suy *Nhận xét: Nếu gặp toán chẳng hạn : Trong số phức thoả mãn điều kiện Tìm Ví dụ 2: Biết số phức z thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ số thực Giải Đặt z= x+ yi (x, y ) ta có Ta có: Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0 M(x;y) điểm biểu diễn z , z có mơđun nhỏ độ dài OM nhỏ Tìm M(-2;2) suy z = -2+2i Dạng 2: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z đường tròn Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z ,Khi ta có: Nhận xét : Đề suy biến toán thành số dạng khác,khi ta cần thực biến đổi đưa dạng bản: Ví dụ : skkn + Cho số phức z thỗ mãn Khi ta biến đổi: + Cho số phức z thỗ mãn Khi ta biến đổi: (Lấy liên hợp hai vế) + Cho số phức z thỗ mãn Ví dụ 3: Cho số phức Khi ta biến đổi: thỏa mãn điều kiện giá trị lớn Tìm giá trị nhỏ Giải Giả sử Ta có Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm , bán kính Giả sử điểm biểu diễn số phức nhỏ nhỏ nhất; lớn lớn Đường thẳng có phương trình Giao điểm đường thẳng với đường trịn  là Khi Với điểm nằm đường tròn , ta ln có Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ 3.2.2 Mở rộng: Bài tốn gốc số 1: Cho đường trịn cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Giải: TH1: A thuộc đường trịn (T) skkn 10 Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: Đẳng thức xảy Đẳng thức xảy +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: Đẳng thức xảy Đẳng thức xảy Vậy M trùng với B AM đạt giá trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt giá trị lớn Bài tốn gốc số 2: Cho hai đường trịn có tâm I, bán kính R1; đường trịn có tâm J, bán kính R2 Tìm vị trí điểm M , điểm N cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) Với điểm M bất khì điểm N Ta có: Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn Khi M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ Bài toán gốc số 3: skkn 11 Cho hai đường trịn có tâm I, bán kính R; đường thẳng chung với Tìm vị trí điểm M , điểm N giá trị nhỏ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường trịn J Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường trịn , ta có: Đẳng thức xảy Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ khơng có điểm cho MN đạt Ví dụ 4: Trong số phức thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giải: Gọi biểu diễn cho số phức hệ toạ độ Oxy Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm kính R = ; nên O nằm ngồi đường trịn (T) , bán lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài toán qui toán gốc số 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt Với M di động (T), ta có: OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B Vậy nhỏ ; lớn Cách Gọi biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy biểu diễn cho số phức ; Theo giả thiết skkn 12 Ta có: ; Vậy ; nhỏ khi ; lớn Nhận xét: Ngồi tốn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hố Ví dụ 5: Trong số phức số phức cho thoả mãn điều kiện có mơđun lớn số ảo, tìm Giải: Gọi biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy số ảo M biểu diễn cho thuộc đường trịn (T) có tâm , bán kính với (Bài tốn qui tốn gốc số - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn AM đường kính (T) M đối xứng với A qua I I trung diểm AM Vậy lớn Ví dụ 6: Trong số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z1, z2 cho đạt giá trị lớn Giải: Gọi số thực); biểu diễn điểm M(a; b); biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = suy M thuộc đường trịn tâm J(6; 6), bán kính R' = skkn 13 Ví dụ 7: (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu ) Cho số phức z thoã mãn A .Giá trị lớn C.6 D B.4 Giải: Cách 1: Gọi z=x+yi, ta có z-2-3i=(x-2)+(y-3)i Nên ta có : Do điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I(2;3), bán kính R=1 Ta có Gọi M(x;y) H(-1;1) Vì M chạy đường trịn , H cố định nên MH lớn M giao điểm HI với đường trịn Phương trình HI: mãn , Giao điểm HI với đường tròn ứng với t thỗ suy Tính độ dài MH , ta chọn kết Cách 2: Đặt Chọn đáp án D Ta có Nên tập hợp điểm biểu diễn W đường trịn có tâm I(3;-2), bán kính R=1 Vậy Chọn đáp án D Nhận xét: dùng lượng giác để giải toán (Bài toán qui tốn gốc số 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I hai điểm Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm skkn 14 Vậy đạt giá trị lớn Ví dụ 8: Cho số phức thực Tìm số phức thoả mãn: số cho đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi biểu diễn cho M thuộc đường trịn hệ toạ độ Oxy có tâm O, bán kính R = số thực N thuộc đường thẳng Ta có nên khơng có điểm chung (vì ) (Bài tốn qui tốn gốc số 3) Gọi H hình chiếu vng góc O Đoạn OH cắt đường tròn Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn , ta có: Đẳng thức xảy Đẳng thức xảy Vậy P đạt giá trị nhỏ skkn 15 Ví dụ 9: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Giải Cách 1: Gọi , 1), bán kính R=2 Xét điểm biểu diễn số phức z.Ta có : suy M nằm đường trịn (C) tâm I(1;- trung điểm AB.Khi đó: Mặt khác N nằm ngồi đường trịn (C) nên MNmax =NI+R= Cách 2: Ta có : Suy toạ độ điểm M thoả mãn hệ: Hệ có nghiệm Suy Dạng 3: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z elip (E): Ví dụ 10: Trong số phức phức z có mơđun lớn thoả mãn điều kiện Tìm số Giải: Gọi biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy ; (với ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự Vậy lớn lớn z=-5 skkn 16 4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tơi vừa trình bày trên, giáo viên cần gơị mở để học sinh chủ động phát tập hợp điểm biểu diễn số phức z để đưa tốn phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề “Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ “Con Mắt” hình học ” Tơi cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Câu 1: Cho số phức số phức Câu 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho thỏa mãn điều kiện thực Tìm giá trị nhỏ số Kết kiểm tra thể cụ thể sau: Lớp 12A1(Năm học 2017-2018): ( Tổng số HS :40) Giỏi SL 13 % 32.5 Khá SL 15 % 42.5 TB SL 10 Yếu % 25 SL Kém % SL % Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 12A1 sau học xong chủ đề có khác biệt rõ rệt so với anh chị khoá trước Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi chưa áp dụng cách làm mà tơi trình bày trên, áp dụng cách làm có 13 học sinh đạt điểm giỏi Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu em khơng cịn học sinh bị điểm Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Dạng tập tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ chương trình giải tích lớp 12 nói chung đa dạng, phong phú dạng tập khó đa số học sinh THPT Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh yêu cầu người dạy người học phải khơng ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Các em học sinh phải ln cố gắng, tìm tịi, sáng tạo, phân tích vấn đề khái qt hố vấn đề, Trong khn khổ viết mình, tơi xin đưa số tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ số phức qua việc tìm tập hợp điểm skkn 17 biểu diễn số phức Từ đó, giúp em giải toán cách dễ dàng nhanh làm trắc nghịêm 3.2 Kiến nghị Với khả năng, kinh nghiệm thân hạn chế, việc áp dụng phương pháp hệ thống tập đưa chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp quý vị độc giả góp ý để SKKN hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Nguyễn Huy Quang skkn 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 NXB Giáo dục 2.Xây dựng tài liệu số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Nguyễn Tiên Tiến,THPT Gia Viễn B 3.Bài toán Max-Min số phức-Lương Văn Huy –Thanh Trì- Hà Nội Đề thi thử đại học THPT Quốc Gia (Từ 2006-2018) -Nguồn internet 5.Trích số tập từ Word toán skkn 19 MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Số phức  Định nghĩa  Định nghĩa  Biểu diễn hình học số phức  Phép cộng, phép trừ hai số phức  Phép nhân số phức  Phép chia số phức  Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực  Tập hợp điểm biễu diễn số phức thường gặp 2.1.2 Một số kiến thức áp dụng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình 2.3.2 Bài tốn tìm cực trị số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo skkn TRANG 1 1 3 3 3 3 4 5 17 17 19 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG “CON MẮT” HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Huy Quang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HOÁ, NĂM 2019 skkn 21 ... hợp điểm biểu diễn số phức z để đưa toán phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề ? ?Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ “Con Mắt” hình học ” Tơi cho học sinh làm kiểm tra... phép toán cộng, trừ, nhân tập hợp số thực R  Phép chia số phức: + Số phức liên hợp số phức z = a +bi số phức + Môđun số phức z = a +bi + Số nghịch đảo số phức z = a +bi khác số phức skkn ... NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG “CON MẮT” HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Huy Quang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 skkn