Trang 1 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 1 (THPT Nguyễn Công Trứ Hà Tĩnh 2021) Chọn ngẫu nhiên 3 số , ,a b c trong tập hợp 1;2; ;26S Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn 2 2 2a b c chia hết cho 5 bằn[.]
Chủ đề PHÉP ĐẾM-XÁC SUẤT MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (THPT Nguyễn Công Trứ - Hà Tĩnh - 2021) Chọn ngẫu nhiên số a, b, c tập hợp m S 1; 2; ; 26 Biết xác suất để số chọn thỏa mãn a b c chia hết cho với n m phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T m n m, n * n A 104 B 100 C 81 D 79 Câu (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Có ba hộp: hộp I có bi đỏ bi xanh, hộp II có bi đỏ bi đen, hộp III có bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên hộp lấy viên bi từ hộp Xác suất để viên bi lấy màu đỏ 601 61 A B C D 1080 11 360 Câu (THPT Ba Đình - Thanh Hóa - 2021) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác đôi chọn từ chữ số 1, 2,3, 4,5,6, 7,8,9 Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chia hết cho số 11 tổng chữ số chia hết cho 11 1 1 A B C D 42 21 63 84 Câu (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ chữ số 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để số chọn khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh 97 583 97 79 A B C D 560 3360 650 560 Câu (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hai hộp đựng bi, đựng loại bi bi trắng bi đen, tổng số bi hộp 20 bi hộp thứ đựng bi hộp thứ hai Lấy ngẫu nhiên từ 55 hộp bi Cho biết xác suất để lấy bi đen , tính xác suất để lấy bi trắng? 84 15 11 A B C D 28 84 84 28 Câu (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho tập hợp S 1;2;3; ;30 tập hợp 30 số nguyên dương Lấy ngẫu nhiên số khác tập S , xác suất cho ba số lấy có tổng lập phương chúng số chia hết cho thuộc khoảng khoảng sau đây? A 0,3;0, B 0, 4;0,5 C 0,5;0, D 0, 2;0,3 Câu (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Chọn ngẫu nhiên ba số a , b, c tập S 1; 2;3; ;19; 20 Biết xác suất để ba số tìm thỏa mãn a b c chia hết cho m m , với m , n số nguyên dương phân số tối giản Biểu thức S m n n n A 85 B 239 C 58 D 127 Câu (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Trong buổi sinh hoạt nhóm lớp, tổ có 12 học sinh gồm học sinh nữ có Dung học sinh nam có Hải Chia tổ thành nhóm, nhóm gồm học sinh phải có học sinh nữ Tính xác suất để Dung Hải thuộc nhóm Trang A Câu 16 B 11 16 C 16 D 32 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để chữ số số đơi khác phải có mặt chữ số 7 189 A B C D 150 375 125 1250 Câu 10 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Có học sinh gồm học sinh trường A, học sinh trường B học sinh trường C xếp hàng dọc Xác suất để cách cách xếp mà hai học sinh trường C em ngồi hai học sinh trường A em ngồi hai học sinh trường B 1 1 A B C D 90 45 180 30 Câu 11 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho đa giác có 20 đỉnh nội tiếp nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tâp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác vuông tam giác cân A 10 57 B 57 C 19 D 57 Câu 12 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Một nhóm 10 học sinh gồm học sinh nam có An học sinh nữ có Bình xếp ngồi vào 10 ghế hàng ngang Hỏi có cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An khơng ngồi cạnh Bình? 2 A 16 4! B 16.8! C 32. 4! D 32.8! Câu 13 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Có 10 học sinh, gồm học sinh lớp 12A học sinh lớp 12B tham gia trò chơi Để thực trò chơi, người điều hành ghép ngẫu nhiên 10 học sinh thành cặp Xác suất để khơng có cặp gồm hai học sinh lớp A B C D 63 63 63 63 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.C 4.A 5.A 6.A 7.D 8.D 9.A 10.B 11.B 12.C 13.C Trang Chủ đề PHÉP ĐẾM-XÁC SUẤT MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (THPT Nguyễn Công Trứ - Hà Tĩnh - 2021) Chọn ngẫu nhiên số a, b, c tập hợp m S 1; 2; ; 26 Biết xác suất để số chọn thỏa mãn a b c chia hết cho với n m phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T m n m, n * n A 104 B 100 C 81 D 79 Lời giải Chọn D Gọi A tập hợp phần tử thuộc S mà chia hết cho , A có phần tử B tập hợp phần tử thuộc S mà chia cho dư dư , B có 11 phần tử C tập hợp phần tử thuộc S mà chia cho dư dư , B có 10 phần tử Ta có nhận xét + Với k A k chia hết cho + Với k B k chia cho dư + Với k C k chia cho dư Số phần tử không gian mẫu C263 Để chọn số thỏa mãn tốn, ta có hai trường hợp + Trường hợp: số chọn thuộc A , có C53 cách chọn + Trường hợp: số chọn có số thuộc tập A, B, C , có C51 C111 C101 cách chọn Suy số phần tử biến cố C53 C51 C101 C111 Xác suất biến cố Câu C53 C51 C101 C111 14 m Suy m n 79 C26 65 n (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Có ba hộp: hộp I có bi đỏ bi xanh, hộp II có bi đỏ bi đen, hộp III có bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên hộp lấy viên bi từ hộp Xác suất để viên bi lấy màu đỏ 601 61 A B C D 1080 11 360 Lời giải Chọn A Lấy ngẫu nhiên hộp Gọi C1 biến cố lấy hộp I; Gọi C2 biến cố lấy hộp II; Gọi C3 biến cố lấy hộp III Suy P C1 P C2 P C3 Gọi C biến cố “lấy ngẫu nhiên hộp, hộp lại lấy ngẫu nhiên viên bi bi màu đỏ” Ta có: C C C1 C C2 C C3 P C P C C1 P C C2 P C C3 601 1080 Trang Câu (THPT Ba Đình - Thanh Hóa - 2021) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác đôi chọn từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chia hết cho số 11 tổng chữ số chia hết cho 11 1 1 A B C D 42 21 63 84 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu n( S ) A94 Xét số tự nhiên thuộc x S với x abcd , ta có x chi hết cho 11 a b c d số chia hết cho 11 Ta lại có tổng chữ số x chia hết cho 11 nên a b c d 11 a b c d 22 Bây ta xét tập hợp T 2;9 ; 3;8 ; 4;7 ; 5;6 ta tấy hai cặp số thuộc T cho ta số x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện trên, số tất số x thỏa mãn hai điều kiện n( A) 8.C42 Xác suất để số chọn số chia hết cho số 11 tổng chữ số chia hết cho 11 n( A) 8C42 P( A) n( S ) A9 63 Câu (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để số chọn hai chữ số chẵn đứng cạnh 97 583 97 79 A B C D 560 3360 650 560 Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm: abcdef Ta có: n A85 53760 (cách) Vì số chọn có chữ số nên phải có hai chữ số chẵn Và số chọn khơng có hau chữ số chẵn đứng cạnh nên số chọn tối đa chữ số chẵn *TH1: Số chọn có hai chữ số chẵn + Xếp chữ số lẻ trước: 4! cách + Lấy số chẵn số chẵn xếp vào ơ: có C52 A52 cách + Trường hợp có số đầu (xếp số chẳn số vào cịn lại) có: C14 C41 cách 2 1 Suy ra: TH1 có 4! C5 A5 C4 C4 4416 số *TH2: Số chọn có chữ số chẵn + Xếp chữ số lẻ trước: A43 cách + Xếp số chẵn chữ số chẵn xếp vào ô ô: có C43 A53 cách + Trường hợp có số đầu có: C32 A42 cách 3 2 Suy ra: TH2 có A4 C4 A5 C3 A4 4896 số Do đó: Số số cần tìm thỏa mãn YCBT là: n A 4416 4896 9312 (số) Trang Xác suất cần tìm là: P A Câu n A 9312 97 n 53760 560 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hai hộp đựng bi, đựng loại bi bi trắng bi đen, tổng số bi hộp 20 bi hộp thứ đựng bi hộp thứ hai Lấy ngẫu nhiên từ 55 hộp bi Cho biết xác suất để lấy bi đen , tính xác suất để lấy bi trắng? 84 15 11 A B C D 28 84 84 28 Lời giải Chọn A Hộp thứ có chứa x viên bi, có d viên bi đen Hộp thứ hai có chứa x viên bi, có d viên bi đen Ta có: x x 20, x x (1) Xét phép thử: Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Số phần tử không gian mẫu: n xx Gọi A biến cố lấy hai bi đen, suy n A dd Theo giả thiết, ta có: P A Theo BĐT côsi: xx n A n dd 55 xx 84 1 x x 202 100 4 Suy ra: xx 84, x Từ (1) (2) suy x, x nghiệm phương trình X 20 X 84 x 14 d 5, (d x ) Khi dd 55 d 11 Do hộp thứ chứa bi trắng, hộp thứ hai chứa bi trắng Gọi B biến cố lấy hai bi trắng n B 1.3 Ta có: P B n 84 28 Câu (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho tập hợp S 1; 2;3; ;30 tập hợp 30 số nguyên dương Lấy ngẫu nhiên số khác tập S , xác suất cho ba số lấy có tổng lập phương chúng số chia hết cho thuộc khoảng khoảng sau đây? A 0,3;0, B 0, 4;0,5 C 0,5;0, D 0, 2;0,3 Lời giải Chọn A Không gian mẫu n C303 4060 Gọi A biến cố " Tổng lập phương ba số lấy chia hết cho " Trường hợp 1: số chọn số chẵn tổng lập phương chúng chia hết cho Do ta có C153 455 cách Trường hợp : Trong số chọn có số chẵn, số chia dư số chia dư Có 15 số chẵn, số chia dư 1;5;9;13;17; 21; 25;29 số chia dư 3;7;11;15;19;23;27 Do ta có 15.8.7 840 cách Trang Suy n A 455 840 1295 P A Câu n A 1295 0,32 0,3; 0, n 4060 (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Chọn ngẫu nhiên ba số a , b, c tập S 1; 2;3; ;19; 20 Biết xác suất để ba số tìm thỏa mãn a b c chia hết cho m m , với m , n số nguyên dương phân số tối giản Biểu thức S m n n n A 85 B 239 C 58 D 127 Lời giải Chọn D Xét phép thử : ‘‘ Chọn ngẫu nhiên ba số a , b, c tập S 1; 2;3; ;19; 20 ’’ Gọi A biến cố: ‘‘ Ba số tìm thỏa mãn a b c chia hết cho ’’ 1140 Ta có n C20 Tập hợp số S 1; 2;3; ;19; 20 gồm +) số chia hết cho : 3; 6;9; ;18 +) 14 số không chia hết cho : Các số lại thuộc S Ta thấy số phương chia cho chia hết dư Do đó, trường hợp thuận lợi cho biến cố A : Trường hợp : a , b , c chia hết cho a, b, c chia hết cho C63 20 cách chọn a , b, c Trường hợp 2: a , b , c chia cho dư a, b, c không chia hết cho C143 364 cách chọn a , b, c n A 364 20 384 Vậy xác suất biến cố A là: P A Câu 384 32 m 32; n 95 m n 127 1140 95 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Trong buổi sinh hoạt nhóm lớp, tổ có 12 học sinh gồm học sinh nữ có Dung học sinh nam có Hải Chia tổ thành nhóm, nhóm gồm học sinh phải có học sinh nữ Tính xác suất để Dung Hải thuộc nhóm 11 A B C D 32 16 16 16 Lời giải Chọn D Ta có: Khơng gian mẫu số cách chia 12 học sinh thành nhóm phải đảm bảo nhóm có học sinh nữ, giả sử: - Nhóm thứ có học sinh nữ, học sinh nam, có: C42 C82 cách - Nhóm thứ hai có học sinh nữ học sinh nam, có: C21 C63 cách Sau chia nhóm thứ thứ hai xong cịn lại nữ nam nên để chọn nhóm cịn lại có cách Vậy khơng gian mẫu ta có là: n ( ) C42 C82 C21 C63 6720 cách Trường hợp 1: Dung Hải với bạn nam bạn nữ tạo thành nhóm nên có: C31.C71 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ có C21 C63 cách Cuối lại bạn nam bạn nữ nên có cách Suy trường hợp có: C31.C71 C21 C63 cách Trường hợp 2: Dung Hải với bạn nam tạo thành nhóm nên có: C72 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ nên có: C52 C32 cách Cịn lại bạn nam bạn nữ nên có du cách cho nhóm thứ ba Suy trường hợp có: C52 C32 C72 cách Trang Trường hợp 3: Dung Hải với bạn nam thành nhóm Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ Suy nhóm thứ ba có bạn nam bạn nữ Trường hợp vơ tình trùng trường hợp thứ hai nên ta khơng cần tính Suy tổng biến cố thỏa mãn đề cho là: n ( A) C31.C71 C21 C63 C52 C32 C72 1470 cách n( A) 1470 Vậy, xác suất để Dung Hải thuộc nhóm P n() 6720 32 Câu (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để chữ số số đơi khác phải có mặt chữ số 7 189 A B C D 150 375 125 1250 Lời giải Chọn B Gọi số tự nhiên có chữ số a1a2 a3a4 a5 a Chọn a1 : có cách Chọn a2 : có 10 cách Chọn a3 : có 10 cách Chọn a4 : có 10 cách Chọn a5 : có 10 cách Chọn a6 : có 10 cách Suy số phần tử S là: 9.105 cách Chọn ngẫu nhiên số từ S n 9.105 Gọi A biến cố: “Số chọn có chữ số đơi khác có mặt chữ số ” TH1: a1 Có vị trí để xếp số Và có A84 cách chọn vị trí cịn lại Suy có: A84 8400 số TH2: a1 2, ,9 Chọn a1 : có cách Xếp hai số có: A52 20 cách Xếp vào vị trí cịn lại có: A73 210 cách Suy có: 8.20.210 33600 số n A 8400 33600 42000 P A n A 42000 n 900000 150 Câu 10 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Có học sinh gồm học sinh trường A, học sinh trường B học sinh trường C xếp hàng dọc Xác suất để cách cách xếp mà hai học sinh trường C em ngồi hai học sinh trường A em ngồi hai học sinh trường B 1 1 A B C D 90 45 180 30 Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: n 6! Gọi A biến cố “hai học sinh trường C em ngồi hai học sinh trường A em ngồi hai học sinh trường B” Trang Ta có: + Sắp xếp học sinh trường A có 2! cách + Sắp xếp học sinh trường B có 2! cách + Sắp xếp học sinh trường C (trong học sinh học sinh trường A vừa xếp, học sinh học sinh trường B vừa xếp) có 2! cách + Xem học sinh trường A học sinh trường C vừa xếp phần tử (ACA), học sinh trường B học sinh trường C vừa xếp phần tử (BCB) Sắp xếp phần tử (ACA) (BCB) có 2! cách Vậy n( A) 2!.2!.2!.2! n( A) Suy xác suất biến cố A là: P( A) n() 45 Câu 11 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho đa giác có 20 đỉnh nội tiếp nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tâp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác vuông tam giác cân A 10 57 B 57 C 19 D 57 Lời giải Chọn B Số phần tử tập X n( X ) C20 1140 Có 10 cách chọn cạnh huyền tam giác vng (vì có 10 cạnh qua tâm đường trịn), ứng với có 18 cách chọn đỉnh cịn lại tam giác vng Suy số cách chọn tam giác vuông 10.18 180 Do số tam giác vng khơng cân 180 10.2 160 n( A) 160 Vậy xác suất cần tìm P( A) n( A) 160 n( X ) 1140 57 Câu 12 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Một nhóm 10 học sinh gồm học sinh nam có An học sinh nữ có Bình xếp ngồi vào 10 ghế hàng ngang Hỏi có cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An khơng ngồi cạnh Bình? 2 A 16 4! B 16.8! C 32. 4! D 32.8! Lời giải Chọn C Đánh số 10 vị trí tương ứng với 10 ghế sau: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Trường hợp Xếp học sinh nam vị trí lẻ học sinh nữ vị trí chẵn + Nếu An vị trí (1) xếp Bình vào vị trí (4), (6), (8), (10) Có cách xếp An Bình Xếp bạn nam cịn lại vào vị trí (3), (5), (7), (9) có 4! cách xếp Xếp bạn nữ cịn lại vào vị trí chẵn cịn lại có 4! cách xếp Có 4! cách xếp học sinh trường hợp An vị trí (1) + Nếu An vị trí (3), (5), (7), (9) Có cách xếp An Với cách xếp An, có cách xếp Bình (khơng ngồi cạnh An vị trí chẵn) Xếp bạn nam cịn lại có 4! cách xếp xếp bạn nữ cịn lại có 4! cách xếp 2 Có 4.3 4! 12 4! cách xếp trường hợp An ngồi vị trí (3) (5), (7), (9) 2 Vậy có 4! 12 4! 16 4! cách xếp học sinh trường hợp Trường hợp Xếp học sinh nam vị trí chẵn học sinh nữ vị trí lẻ Tương tự trường hợp 1, có 16 4! cách xếp 2 Vậy có tất 16 4! 16 4! 32 4! cách xếp học sinh thỏa mãn toán Trang Câu 13 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Có 10 học sinh, gồm học sinh lớp 12A học sinh lớp 12B tham gia trò chơi Để thực trò chơi, người điều hành ghép ngẫu nhiên 10 học sinh thành cặp Xác suất để khơng có cặp gồm hai học sinh lớp A B C D 63 63 63 63 Lời giải Chọn C Lấy học sinh 10 học sinh để tạo thành cặp có C102 cách, Lấy học sinh học sinh để tạo thành cặp có C82 cách, Lấy học sinh học sinh để tạo thành cặp có C62 cách, Lấy học sinh học sinh để tạo thành cặp có C42 cách, Lấy học sinh học sinh để tạo thành cặp có C22 cách Áp dụng quy tắc nhân ta có n() C102 C82 C62 C42 C22 Gọi A biến cố “trong cặp khơng có cặp gồm hai học sinh lớp” Lấy học sinh học sinh lớp 12A có cách, lấy học sinh học sinh lớp 12B có cách để ghép thành cặp có 5.5 cách Lấy học sinh học sinh lớp 12A có cách, lấy học sinh học sinh lớp 12B có cách để ghép thành cặp có 4.4 cách Lấy học sinh học sinh lớp 12A có cách, lấy học sinh học sinh lớp 12B có cách để ghép thành cặp có 3.3 cách Lấy học sinh học sinh lớp 12A có cách, lấy học sinh học sinh lớp 12B có cách để ghép thành cặp có 2.2 cách Lấy học sinh học sinh lớp 12A có cách, lấy học sinh học sinh lớp 12B có cách để ghép thành cặp có 1.1 cách Áp dụng quy tắc nhân ta có n( A) 5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 n( A) 5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 P ( A) n() C102 C82 C62 C42 C22 63 Trang ... Có 4! cách xếp học sinh trường hợp An vị trí (1) + Nếu An vị trí (3), (5), (7), (9) Có cách xếp An Với cách xếp An, có cách xếp Bình (khơng ngồi cạnh An vị trí chẵn) Xếp bạn nam cịn lại có... 2021) Một nhóm 10 học sinh gồm học sinh nam có An học sinh nữ có Bình xếp ngồi vào 10 ghế hàng ngang Hỏi có cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình? 2 A 16 4! B 16.8!... 4896 số Do đó: Số số cần tìm thỏa mãn YCBT là: n A 4416 4896 9312 (số) Trang Xác suất cần tìm là: P A Câu n A 9312 97 n 53760 560 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa -