Trac nghiem nguyen ham tich phan muc do van dung cao co dap an

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Chủ đề   MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Giả sử hàm số  f  có đạo hàm đến  cấp hai trên    thỏa mãn  f      và  f   x   x f   x   x  với mọi  x    Giá trị tích phân   xf   x  dx  bằng:  A   Câu B   C   D   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Sân trường có một bồn hoa hình trịn  tâm  O  Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn  phần bởi 2 đường parabol có cùng đỉnh  O  và đối xứng với nhau qua tâm  O  (như hình vẽ).    Hai đường parabol cắt đường trịn tại 4 điểm  A, B , C , D tạo thành một hình vng có cạnh bằng  4m  Phần diện tích  S1 , S  dùng để trồng hoa, phần diện tích  S3 , S  dùng để trồng cỏ. Biết kinh  phí trồng hoa là  150.000  đồng/ m , kinh phí trồng cỏ là  100.000  đồng/ m  Hỏi nhà trường cần  bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn)  A 3.270.000 đồng  B 5.790.000 đồng.  C 3.000.000 đồng. D 6.060.000 đồng.  Câu (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hàm số  f  x   liên tục, không âm trên đoạn      0;  ,  thỏa  mãn  f      và  f  x  f   x   cos x  f  x  , x  0;    Tìm  giá  trị  nhỏ     nhất  m  và giá trị lớn nhất  M  của hàm số  f  x   trên đoạn   ;    6 2 5 , M  B m  , M  A m  2 21 ,M  2 C m  3, M  2 D m  Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  đoạn   0;1   thỏa  mãn  f 1  0; f ' 1    và  10 f  x   xf '  x   x f ''  x   với  mọi  x   0;1   Khi đó tích phân   f  x  dx bằng  A    15 B    C    10 D    17 Trang Câu (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số  f ( x) có đạo hàm liên tục trên  R và thỏa  mãn  f (0)   và  f ( x)  f (2  x)  x  x  ,  x  R  Tích phân   x f '( x)dx  bằng  10 A .  Câu 5 B .  11 C .  (Chuyên KHTN - 2021) Cho  hàm  số  D 7   f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  xf   x    x  1 f  x   e x  với mọi  x  Tính  f      A   Câu B 1   D   e (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho  hàm  số  y  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  [1;3] thỏa  mãn  f (1)    và  f ( x)  ( x  1) f ( x)  xf ( x), x  [1;3]   Giá  trị  của   f ( x)dx bằng  A  ln   Câu C e   B  ln   C  ln   D  ln   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho  hàm  số  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên  R thỏa  mãn:  f '( x)  f ( x)  e x cos 2021x   và  f (0)    Đồ  thi  hàm  số  y  f ( x) cắt  trục  hoành  tại  bao  nhiêu  điểm có hồnh độ thuộc đoạn   1;1 ?  A Câu C 1287 B D 4043 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên   ,  xf   x   e x  1, x  , f 1   Giá trị   xf  x  dx  bằng A    B .  C    D   Câu 10 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  và  có  đạo  hàm  trên  x  2; \ 0 , thỏa mãn  f (1)   và  f '( x)  x e f ( x )   f ( x )   Giá trị của  f    bằng  e 2 A ln   B ln   C ln   D ln       Câu 11 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x   f  x   sin  x  x  x  , x    Tích phân  I   f  x  dx  thuộc khoảng nào?  3 A  3; 2    B  2; 1   C  1;1   D 1;2    Câu 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giả sử  f ( x )  là hàm có đạo hàm liên tục trên   0;    và    f ( x)sin x  x  f ( x)cosx, x   0;    Biết  f ( )  1, f ( )  ( a  b ln  c 3) , với  a, b, c  là  12 các số nguyên. Giá trị của  a  b  c  bằng  A 1   B 1.  C 11   D 11   Câu 13 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Thành  phố  định  xây  cây  cầu  bắc  ngang  con  sông  dài  500 m ,  biết  rằng  người  ta  định  xây  cầu  có  10  nhịp  cầu  hình  dạng  parabol,mỗi  nhịp  cách  nhau  40 m , biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng  5 m  Bề dày và bề  rộng của nhịp cầu khơng đồi là  20 cm  (mặt cắt của một nhịp cầu được mơ phỏng như hình vẽ).  Hỏi lượng bê tơng để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm trịn đến hàng đơn vị).  Trang   A 50m3   B 20m3   C 100m3   D 40m3   Câu 14 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đồ thị  y  f '  x  như hình vẽ.Giá  lớn nhất của hàm số  g  x   f  3x   3x  trên đoạn   1;1  bằng  A f  3  B f 1  C f  1    D f  3    Câu 15 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên    Hàm số  y  f   x   có đồ thị như hình vẽ  bên dưới.  Số nghiệm thuộc đoạn  2;6   của phương trình  f  x   f 0  là  A B C D Câu 16 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số  f ( x) liên tục và có đạo hàm xác định  f ( x)  với  trên  mọi  thỏa  mãn  x   0;      0;     Biết  rằng  f ( x )  ln f ( x )  1  x  f '( x )  f ( x )   và  ln( f (2))  ln( f (1))    Giá  trị  của  tích  phân   xf ( x)dx nằm trong khoảng nào dưới đây:  Trang A  0;6    B  6;12    C 12;18    D 18;24    Câu 17 (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên       thỏa  mãn  f  x   f   x   sin x.cos x   với  mọi  x     và  f      Giá  trị  của  tích  phân  2    x f   x  dx  bằng  A   B    C    D     Câu 18 (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Cho  hàm  số  f  x    liên tục  trên     và  thỏa  mãn  f  x   f 1  x   x 1  x  ;  x   Tính  I   f  x  dx     A 30 B .  60 C   45 D   15 Câu 19 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hàm số  y  f  x   Hàm số  y  f   x   có đồ  thị như hình vẽ bên    Đặt  M  max f  x  ; m  f  x   Tính giá trị  S  M  m ?   2;6  2;6 A S  f    f   B S  f    f   C S  f    f  2  D S  f    f  2    Câu 20 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm liên tục trên  1;3 ,  biết  f 1    a  f  x  dx   b  và  f  x  f   x   x    x  2 f   x   f  x    c  (với  a, b, c  là các số nguyên dương,  a  b  c  bằng  A 10   B 19   với  x  1;3   Biết  a  là phân số tối giản). Khi đó, tổng  b C 17   D 53   Câu 21 (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Biết rằng  y  f  x   là hàm số liên tục và khác   x  với mọi  x   0;    và thỏa mãn  f 1  2; f     Có tích phân   xf   x   f  x  a dx  ln ;  trong đó  2 f  x  x b a a, b  là các số nguyên dương sao cho phân số   tối giản. Giá trị của biểu thức  a  b3  bằng  b A B 10 C 17 D 34 Câu 22 (Sở Lào Cai - 2021) Hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị   C1   đi qua điểm  A 1;0  ; hàm số bậc  hai  y  g  x   có đồ thị   C2   đi qua điểm  B 1; 4     C1  ,  C2   cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có  hồnh độ lần lượt là  1;2;3  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   C1  ,  C2  ?  Trang A 115 B 32 C 71 D 112   4cos x     Câu 23 (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số  f  x   có  f    2  và  f   x   ,  x   0;    sin x 4  2  Khi đó   f  x  dx  bằng   A  B  ln3    ln   C    D   ln   Câu 24 (Sở Yên Bái - 2021) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên   0;1  và thỏa mãn  f 1  1 0 ,  37   f   x  dx   và   x f  x  dx  180  Tích phân   f  x  dx  bằng  A  14 15 B 15 C 14 15 D    15 Câu 25 (THPT Nguyễn Công Trứ - Hà Tĩnh - 2021) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1  thỏa mãn  f 1  1,    f   x   dx    và   x3 f  x  dx  A 1  Tích phân   xf  x  dx  bằng B C D   Câu 26 (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Hướng tới kỉ niệm 60 năm thành lập trường THPT  Thanh Chương 1. Khối 12K57 thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng  8m và độ dài trục nhỏ bằng 4m đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này trùng với trục  nhỏ của Elip kia và ngược lại (như hình vẽ).    Phần diện tích nằm trong đường trịn đi qua 4 giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện  tích bốn cánh hoa nằm giữa hình trịn và Elip dùng để trồng hoa. Biết kinh phí để trồng hoa là  300.000 đồng , kinh phí để trồng cỏ là 200.000 đồng  Tổng số tiền dùng để trồng hoa và  trồng cỏ cho bồn hoa gần với số nào nhất trong các số sau:  A 6.200.000 đồng.  B 8.200.000 đồng.  C 8.600.000 đồng.  D 9.100.000 đồng.  Trang Câu 27 (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Cho  a, b, c  là các số thực và  f  x   x3  ax  bx  c  thỏa mãn  t 5 f   t   f   t  5   với  t  là hằng số. Giá trị   f   x  dx  bằng  t 105 A    134 B .  C    D 19   Câu 28 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho  hàm  số  f  x    đồng  biến,  biết  f  x   0, x  1; 4   và  có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  1;4 ,  thỏa  mãn  f 1    và   f  x   xf   x    A 1.  f  x  với mọi  x  1; 4  Khi đó   f  x dx  bằng  x B 2ln   C 2ln    D 2   Câu 29 (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  khoảng   0;    thỏa mãn  xf   x   f  x   x3 ln x, x   và  f 1   Tính  f     A 2ln    B 4ln    C 2ln   D 4ln   Câu 30 (THPT Ba Đình - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số  f  x   nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  trên   0;2   Biết  f    1  và  f  x  f   x   e2 x I  x A I    3x  f   x  f  x 32   4 x   với  mọi  x   0; 2   Tính  tích  phân  dx   B I   16 C I   16   D I   14   Câu 31 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho  f  x , g  x  lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc  nhất có đồ thị như hình vẽ.    Biết diện tích hình  S  (được tơ màu) bằng  250  Tính  f  x  dx   81  A B 38 C 15 Câu 32 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Giả sử   x ln  x  1dx  Giá trị của biểu thức  b  c  a  bằng  A 2   B 24   C 4   D 34   15 a ln  b ln c   với  a, b, c  N *   D   e x  m         khi x  Câu 33 Cho hàm số  f  x     liên tục trên    Tích phân  I   f  x dx  bằng  1 2 x  x  khi x  22 22 22 A I  e   22 B I  e   C I  e     D I  e     3 Trang Câu 34 Cho hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị   C   là đường cong trong hình bên. Biết hàm số  f  x   đạt  x x  cực trị tại hai điểm  x1 , x2  thỏa mãn  x2  x1   và  f     3  Gọi  d là đường thẳng đi qua    hai điểm cực trị của đồ thị   C   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C   và  d  ( phần được tơ đậm  trong hình) bằng  y x2 O x x1   A B C D   ln x2  4x 1 , x  Câu 35 Cho hàm số  f  x     Tích phân   f  3e x  1 e x dx  bằng  ,x5 2 x  68 77 77 77 A B C D .  Câu 36 Cho hàm số bậc ba  f  x   ax3  bx  cx  d  và đường thẳng  d : g  x   mx  n  có đồ thị như hình  vẽ. Gọi  S1 , S , S3  lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu  S1   thì tỷ số  S2   S3 bằng.    A   B   C   D   x  m , x  Câu 37 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x    x   (m  là  hằng  số).  Biết  , x0 e b 1 f  x dx  a  e2  trong đó  a, b  là các số hữu tỉ. Tính  a  b   A B C D 1.  Trang Câu 38 Cho hàm số  y  x  3x  m  có đồ thị   Cm  , với  m  là tham số thực. Giả sử   Cm   cắt trục  Ox   tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ    Gọi  S1 ,  S ,  S   là  diện  tích  các  miền  gạch  chéo  được  cho  trên  hình  vẽ.  Giá  trị  của  m   để  S1  S3  S  là 5 5 A .  B    C .  D    4 2 Câu 39 Cho hàm số  y  f  x   ,  y  g  x   x  Giá trị  I    f  x  ; g  x dx 1 A B C   D Câu 40 Cho  parabol   P1  : y   x    cắt  trục  hoành  tại  hai  điểm  A ,  B   và  đường  thẳng  d : y  a     a    Xét parabol   P2   đi qua  A ,  B  và có đỉnh thuộc đường thẳng  y  a  Gọi  S1  là diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi   P1    và  d   S   là  diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi   P2    và  trục  hoành. Biết  S1  S  (tham khảo hình vẽ bên).  y N M A y=a B x O   Tính  T  a  8a  48a   A T  99   B T  64   C T  32   D T  72     x  m Câu 41 Cho hàm số  y  f  x    2 cos x  2 A B  x  0  liên tục trên    Giá trị  I   f  x  0 C D cos x  sin xdx 1   Câu 42 Cho hàm số bậc bốn  y  f  x   có đồ thị   C   như hình vẽ bên. Biết hàm số  y  f  x   đạt cực trị  tại  các  điểm  x1 , x2 , x3   thỏa  mãn  x3  x1  ,  f  x1   f  x3   Trang f  x2     và   C    nhận  đường  thẳng  d : x  x2  làm trục đối xứng. Gọi  S1 , S , S3 , S  là diện tích của  các miền hình phẳng được  S  S2 đánh dấu như hình bên. Tỉ số  gần kết quả nào nhất  S3  S y d x2 O S3 S1 x1 x3 S4 S2 x A 0, 60 0,55 C 0, 65 B D 0, 70  x  2 x   Câu 43 Cho hàm số  f  x     Tích phân   f 2sin x  sin xdx  bằng   x  x  x x  341 341 28 A B C D .  48 96   Câu 44 Cho hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị là đường cong   C   trong hình bên. Hàm số  f  x   đạt cực  trị  tại  hai  điểm  x1 , x2   thỏa  f  x1   f  x2     Gọi  A, B   là  hai  điểm  cực  trị  của  đồ  thị   C  ; M , N , K  là giao điểm của   C   với trục hồnh;  S  là diện tích của hình phẳng được gạch  trong hình,  S  là diện tích tam giác  NBK  Biết tứ giác  MAKB  nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số  S1  bằng S2 A B C D 3     x  Câu 45 Cho hàm số  f  x    3 x  x  37 37 A B 24 x  x   Tích phân   f   4cos x  sin xdx  bằng  C D 12   Trang Câu 46 Cho hàm số bậc bốn  y  f  x   có đồ thị   C   như hình vẽ bên. Biết hàm số  y  f  x   đạt cực trị  f  x2     và   C    nhận  đường  thẳng  d : x  x2  làm trục đối xứng. Gọi  S1 , S2 , S3 , S4  là diện tích của  các miền hình phẳng được  S S đánh dấu như hình bên. Tỉ số  gần kết quả nào nhất  S3  S tại  các  điểm  x1 , x2 , x3   thỏa  mãn  x3  x1  ,  f  x1   f  x3   y d x2 O A 0, 60 S3 S1 x1 x3 S4 B 0,55 S2 x C 0, 65 D 0, 70  x  ax  b x    Biết  hàm  số  có  đạo  hàm  tại  điểm  x    Tính  Câu 47 Cho  hàm  số  f  x     x  x  x  10khi x  I   f  x dx   A B C 2 D   ax  b   có  đồ  thị   C    Gọi  giao  điểm  của  hai  đường  tiệm  cận  là  I   Điểm  cx  d M  x0 ; y0   di động trên   C  , tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại  A, B  và SIAB    Câu 48 Cho  hàm  số  y  Tìm giá trị  IM 02  sao cho  A S1  S   (với  S1, S2  là 2 hình phẳng minh họa bên dưới)  S  IAB B 41 20 C 169 60 D 189   60 e 1  x  x  x  x Câu 49 Cho hàm số  f  x     Tính  I   f ln  x  1  dx    x 1   x  x  A  2;3 B  3; 2  C  2; 1 D  1;2    Trang 10 e x  m         khi x  Câu 33 Cho hàm số  f  x     liên tục trên    Tích phân  I   f  x dx  bằng  1 2 x  x  khi x  A I  e   22 B I  e   22 22 22 C I  e     D I  e     3 Lời giải  Chọn D   Ta có  lim f  x   lim  e x  m   m  ,  lim f  x   lim x  x   và  f    m    x0 x 0 x 0 x 0 Vì hàm số đã cho liên tục trên    nên liên tục tại  x    Suy ra  lim f  x   lim f  x   f   hay  m    m  1   x 0 x 0   1 Khi đó   f  x dx =  x  x dx    e  1dx =   x d   x     e x  1dx   x 1 = 1  x2   x2  0 1  ex  x   e   1 22   Câu 34 Cho hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị   C   là đường cong trong hình bên. Biết hàm số  f  x   đạt  x x  cực trị tại hai điểm  x1 , x2  thỏa mãn  x2  x1   và  f     3  Gọi  d là đường thẳng đi qua    hai điểm cực trị của đồ thị   C   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   C   và  d  ( phần được tơ đậm  trong hình) bằng  y x2 x x1 O   A Lời giải B C D   Chọn D Tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được đồ thị mới như hình vẽ  y x2 O Trang 24 x1 x Vì  f  x   là hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên  f  x   ax  cx   Chọn  x1  1 ,  x2  , khi đó  f  x   x3  x   Ta lại có  f  x   x  3x  3  x , suy ra  d : y  2 x   1 x x  dx    1 Diện tích hình phẳng cần tìm là  S     ln x2  4x 1 , x  Câu 35 Cho hàm số  f  x     Tích phân   f  3e x  1 e x dx  bằng  ,x5 2 x  68 77 77 77 A B C D .  Lời giải Chọn B Ta có  lim f  x   lim f  x   f  5   nên hàm số liên tục tại  x    x 5 x 5 Vậy hàm số  f  x   liên tục trên     Đặt  t  3e x   e x dx  dt   Đổi cận:  x       t  ;  x  ln      t    7  77 1 1 Khi đó  I   f  t dt   f  x dx     x  dx    x  x  1dx     34 34 3  Câu 36 Cho hàm số bậc ba  f  x   ax3  bx  cx  d  và đường thẳng  d : g  x   mx  n  có đồ thị như hình  vẽ. Gọi  S1 , S , S3  lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu  S1   thì tỷ số  S2   S3 bằng.    A   B   C   D   Lời giải: Chọn B  Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có:  f  x   g  x   k x  x   x     g  x  x    Trang 25 S1  S2   kx  x   x   dx  4k   2 S  S3   g  0  g  2     5    2 Vì  S1   S     S3     Vậy  S2    S3 x  m , x  Câu 37 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x    x   (m  là  hằng  số).  Biết  , x0 e b  f  x dx  a  e  trong đó  a, b  là các số hữu tỉ. Tính  a  b   1 A B C Lời giải D 1.  Chọn A Do hàm số liên tục trên    nên hàm số liên tục tại  x   lim f  x   lim f  x   f    m    x 0 Khi đó ta có   f  x dx  1 2x  e 2  f  x dx   f  x dx   e 1 x 0 2x 1 dx    x  1dx    x2  e 2   x        2e  0 2 1 Do đó  a  ; b     2 Vậy  a  b    Câu 38 Cho hàm số  y  x  3x  m  có đồ thị   Cm  , với  m  là tham số thực. Giả sử   Cm   cắt trục  Ox   tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ    Gọi  S1 ,  S ,  S   là  diện  tích  các  miền  gạch  chéo  được  cho  trên  hình  vẽ.  Giá  trị  của  m   để  S1  S3  S  là A   B    Lời giải    C D    Chọn A Gọi  x1  là nghiệm dương lớn nhất của phương trình  x  x  m  , ta có  m   x14  x12   1   x1 Vì  S1  S3  S2  và  S1  S3  nên  S  S3  hay   f  x  dx    Trang 26 x1 x1 x1 Mà   f  x  dx   0   x4   x5  x5 x  3x  m dx    x  mx    x13  mx1  x1   x12  m       0   x4  x4 Do đó,  x1   x12  m     x12  m          Từ  1  và    , ta có phương trình  Vậy  m   x14  3x12  x14  x12  x14  x12   4 x14  10 x12   x12    5   y  f  x  y  g  x  x Câu 39 Cho hàm số  ,   Giá trị  I    f  x  ; g  x dx 1 B A C   D Lời giải Chọn C x 1 Xét bất phương trình x       x  1 Vậy  1; x    khi 1  x  hoặc  x  1   1; x   x  khi  1  x    2 Xét  I    f  x  ; g  x dx   1; x dx   1; x dx   1; x dx   1 1 1 I   x dx   dx    xdx   xdx   dx  1 1 x 2  1 x 2  x =2.  Câu 40 Cho  parabol   P1  : y   x    cắt  trục  hoành  tại  hai  điểm  A ,  B   và  đường  thẳng  d : y  a     a  4  Xét parabol   P2   đi qua  A ,  B  và có đỉnh thuộc đường thẳng  y  a  Gọi  S1  là diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi   P1    và  d   S   là  diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi   P2    và  trục  hồnh. Biết  S1  S  (tham khảo hình vẽ bên).  y N M A y=a B x O   Tính  T  a  8a  48a   A T  99   B T  64   C T  32   D T  72   Trang 27 Lời giải Chọn B - Gọi  A ,  B  là các giao điểm của   P1   và trục  Ox  A  2;0  ,  B  2;0   AB       - Gọi  M ,  N  là giao điểm của   P1   và đường thẳng  d  M   a ; a ,  N   a; a    MN   a   a x  a   - Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta được:  - Nhận thấy:   P2   là parabol có phương trình  y   S1   a 4 4   y dy      y      a   a   3 a 2  ax3  8a  a    S2     x  a  dx     ax     12 0 0 - Theo giả thiết:  S1  S  8a   a   a     a 3  4a  a  8a  48a  64   3   x  m Câu 41 Cho hàm số  y  f  x    2 cos x  2 A B  x  0  liên tục trên    Giá trị  I   f  x  0 Lời giải C D cos x  sin xdx 1   Chọn A Hàm f  x   liên tục trên    suy ra  lim f  x   lim f  x   lim  x  m   lim  cos x  3  m  x 0 x 0 x 0 x 0 Xét bất phương trình 2cos x    với   x   2cos x   cos x      0 x   Vậy  2cos x    khi   x  cos x    khi   x   ,       I   f cos x  sin xdx   f cos x  sin xdx   f cos x  sin xdx   0    I   f  cos x  1 sin xdx   f 1  cos x  sin xdx     Xét  I1   f  cos x  1 sin xdx   Xét  t  2cos x   dt  2sin xdx  Trang 28 dt  sin xdx   x  0  t  1     0     Suy ra  I1   1 -dt   f  t  dt   f  x  dx   f  cos x  1 sin xdx   f  t  20 20 1 1 x3 x 1   I1    x -1 dx    20 20  Xét  I   f 1  cos x  sin xdx    Xét  t   2cos x  dt  2sin xdx  x   t  0  dt  sin xdx      1       Suy ra  I    1 dt 1 f  cos x  1 sin xdx   f  t    f  t  dt   f  x  dx   20 20 1 I2  x3 x 1   x -1 d x       20 20 Suy ra  I  I1  I  2   Câu 42 Cho hàm số bậc bốn  y  f  x   có đồ thị   C   như hình vẽ bên. Biết hàm số  y  f  x   đạt cực trị  f  x2     và   C    nhận  đường  thẳng  d : x  x2  làm trục đối xứng. Gọi  S1 , S , S3 , S  là diện tích của  các miền hình phẳng được  tại  các  điểm  x1 , x2 , x3   thỏa  mãn  x3  x1  ,  f  x1   f  x3   đánh dấu như hình bên. Tỉ số  S1  S gần kết quả nào nhất  S3  S y d x2 O A 0, 60 B 0,55 S3 S1 x1 x3 S4 S2 C 0, 65 x D 0, 70 Trang 29 Lời giải  Chọn A  Nhận  thấy  kết  quả  bài  tốn  khơng  đổi  khi  ta  tịnh  tiến  đồ  thị   C    sang  bên  trái  sao  cho  đường  thẳng  d : x  x2  trùng với trục tung khi đó   C   là đồ thị của hàm trùng phương  y  g  x   có ba  điểm cực trị  x1  1, x2  0, x3   Suy ra  y  g  x   k  x  x   c  k     2 f  x2    2k  2c  c   c  k   3 Suy ra: y  g  x   k  x  x   k   Lại có  f  x1   f  x3   28  17 Khi đó:  S1  S  k  x  x  dx  k   60 Ta lại có:  g    g 1  k  S1  S  S3  S  k  k Suy ra  S3  S  k  S  S 28  17 28  17 77  28 k k   0, 604   60 60 S3  S 77  28  x  2 x   f 2sin x  sin xdx  bằng  Câu 43 Cho hàm số  f  x     Tích phân    x  x  x x   A 28 341 48 Lời giải B C  D 341   96 Chọn D Ta có  1  lim f  x   lim  x    4; lim f  x   lim  x3  x  x   4; f    x4 x4 x4      lim f  x   lim f  x   f   x  4 x4 x4 Nên hàm số đã cho liên tục tại  x       Xét  I   f 2sin x  sin xdx   Đặt  sin x   t  sin xdx  dt   Với  x   t    x   t 5  5 1 1  341    I   f  t  dt   f  t  dt    t  t  t  dt    2t   dt  23 34 24 96  Câu 44 Cho hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị là đường cong   C   trong hình bên. Hàm số  f  x   đạt cực  trị  tại  hai  điểm  x1 , x2   thỏa  f  x1   f  x2     Gọi  A, B   là  hai  điểm  cực  trị  của  đồ  thị  C ; M , N , K Trang 30 là giao điểm  của   C  với trục hồnh;  S là diện tích của hình phẳng được gạch  trong hình,  S  là diện tích tam giác  NBK  Biết tứ giác  MAKB  nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số  S1  bằng S2 A B Lời giải C D 3   Chọn D Kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị   C   sang trái sao cho điểm uốn trùng  với gốc tọa độ  O  (như hình dưới)    Do  f  x   là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng   O  N    Đặt  x1  a, x2  a , với  a     f '  x   k  x  a   với  k    1   f  x   k  x3  a x     xM  a 3, xK  a   3  Có  MAKB  nội tiếp đường trịn tâm  O    OA  OM  a     Có  f  x1   OA2  x12  f  a   a  k   a3  a3   a  k    2a    f  x  S1   a 3 1  x  a2 x     2a    a2  f  x  dx  x   x  2a  12  a  2 a   Trang 31 S  S AMO  Vậy  1 f   a  MO  a 2.a  a   2 S1 3    S2   x  Câu 45 Cho hàm số  f  x    3 x  x  37 37 A B 24 x  x   Tích phân   f   4cos x  sin xdx  bằng  C D 12   Lời giải Chọn A Ta có:  lim f  x   lim x  0 x 0   x   2; lim f  x   lim  3x3  x    2; f    x 0 x 0  lim f  x   lim f  x   f   x 0   x 0 Nên hàm số đã cho liên tục tại  x     Xét  I   f   4cos x  sin xdx   Đặt   cos x  t  sin xdx  dt Với  x   t     x I   t  1  1 1 1 1 f  t  dt  1 f  t  dt  1  3t  t  2 dt  0   t  dt  37   24 Câu 46 Cho hàm số bậc bốn  y  f  x   có đồ thị   C   như hình vẽ bên. Biết hàm số  y  f  x   đạt cực trị  f  x2     và   C    nhận  đường  thẳng  d : x  x2  làm trục đối xứng. Gọi  S1 , S2 , S3 , S4  là diện tích của  các miền hình phẳng được  tại  các  điểm  x1 , x2 , x3   thỏa  mãn  x3  x1  ,  f  x1   f  x3   đánh dấu như hình bên. Tỉ số  Trang 32 S1  S2 gần kết quả nào nhất  S3  S y d S3 S1 x1 x2 O A 0, 60 x3 S2 S4 B 0,55 x C 0, 65 D 0, 70 Lời giải  Chọn A  Nhận  thấy  kết  quả  bài  tốn  khơng  đổi  khi  ta  tịnh  tiến  đồ  thị   C    sang  bên  trái  sao  cho  đường  thẳng  d : x  x2  trùng với trục tung khi đó   C   là đồ thị của hàm trùng phương  y  g  x   có ba  điểm cực trị  x1  1, x2  0, x3   Suy ra  y  g  x   k  x  x   c  k     2 f  x2    2k  2c  c   c  k   3 Suy ra: y  g  x   k  x  x   k   Lại có  f  x1   f  x3   28  17 Khi đó:  S1  S  k  x  x  dx  k   60 Ta lại có:  g    g 1  k  S1  S2  S3  S4  k.1  k Suy ra  S3  S  k  28  17 77  28 S  S 28  17 k k   0, 604   60 60 S3  S 77  28  x  ax  b x    Biết  hàm  số  có  đạo  hàm  tại  điểm  x    Tính  Câu 47 Cho  hàm  số  f  x     x  x  x  10khi x  I   f  x dx   A C 2 Lời giải B D   Chọn D  Hàm số có đạo hàm tại   f    lim f  x   lim f  x    2a  b  2  2a  b  6   1   x 2  Có  lim f  x   f  2 x2 x 2  lim x 2 x 2 x  x  x  10   2a  b x3  x  x  12  lim   x 2 x2 x2  lim  x    x  3  lim  x2 f  x   f  2 x  2 x2  x   x  3   0;    x   x   a   lim x  a   a    x  ax  b   2a  b  lim   x  2 x 2 x2 x2 x2 x2 x2 Hàm số có đạo hàm tại  x   nên hàm số liên tục tại  x    lim  lim Trang 33 suy ra  lim f  x   f  2  lim f  x   f  2 x2 x2 x2 Từ  1  và    ,  suy ra  a  4  và  b    x2  a    a  4        x  x  x    Khi đó  f  x     x  x  x  10 x  4 I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   0 2    x3  x  x  10 dx    x  x  dx x   x3  16 x     x  10 x     x  x      0  2 3 Vậy  I    Câu 48 Cho  hàm  số  y    ax  b   có  đồ  thị   C    Gọi  giao  điểm  của  hai  đường  tiệm  cận  là  I   Điểm  cx  d M  x0 ; y0   di động trên   C  , tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại  A, B  và SIAB    Tìm giá trị  IM 02  sao cho  A S1  S   (với  S1, S2  là 2 hình phẳng minh họa bên dưới)  S  IAB B 41 20 169 60 Lời giải C D 189   60 Chọn B  Nhận thấy kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị   C   theo  IO  Khi đó hai tiệm  cận của   C   là hai trục tọa độ.  Và hàm số của đồ thị   C   trở thành:  y       y       x2    2 Gọi  d  là tiếp tuyến tại  M  x0 ; y0   d : y    x  x0      x x0 x0 x0 x0 x  2  Suy ra: Ox  d  A 2x0 ;0  và  Oy  d  B  0;     x0   SOAB  OAOB  2  2a           x  1   c  y  , d : y   x  , B  0;  , C  ;    x x0 x0  x0   x0  Trang 34   Và     x   0 1    S1  x0        dx    xo x0  x0  x0 x  x0     x0 S2   x0 1 1   dx   x0  x0      x0 x0 x Theo giả thiết  S1  S 3   S1  S  S  IAB      x02   y02    S  IAB x0 x0 Vậy  IM 02  x02  y02  41 20  x  x  x  Câu 49 Cho hàm số  f  x     Tính  I   x  x  A  2;3 B  3; 2  e 1  x f  ln  x  1  dx   x 1  C  2; 1 D  1;2    Lời giải Chọn A  Với  x  , ta có  f  x   x  x   là hàm đa thức nên liên tục trên   ;     Với  x  , ta có  f  x   x   là hàm đa thức nên liên tục trên   2;       Ta có  lim f  x   lim x  x     x2 x 2 lim f  x   lim  x    ;  f      x  2 x 2 Do đó  lim f  x   lim f  x   f    nên hàm số liên tục tại  x    x 2 x 2 Khi đó hàm số đã cho liên tục trên     xdx xdx dt  dt      Đặt  t  ln x   x 1 x 1 Đổi cận:  Với  x   ta có  t      Với  x  e4   ta có  t    Khi đó  I   4  1 1 f t d t  f x d x  x  x  dx      x   dx          20 20 20    x2    14  x3  31  x  x      x      16     2  2       Câu 50 Cho hàm số bậc ba  y  f  x   có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi  x1 , x2  lần lượt là hai  điểm cực trị thỏa mãn  x2  x1   và  f  x1   f  x2    Đường thẳng song song với trục  Ox  và  qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hồnh độ  x0  và  x1  x0   Tính tỉ số  S1   S2 ( S1  và  S2  lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).  Trang 35 A 27   B     Lời giải C D   Chọn A +) Gọi  f  x   ax3  bx  cx  d , với  a     f   x   3ax  2bx  c   +) Theo giả thiết ta có  f   x1   f   x2    f   x   3a  x  x1  x  x2   3a  x  x1  x  x1      f   x   3a  x  x1   6a  x  x1     f  x    f   x  dx  a  x  x1   3a  x  x1   C   +) Ta có  f  x1   f  x2    f  x1   f  x1       C   8a  12a  C    2C  12a   C  6a   Do đó  f  x   a  x  x1   3a  x  x1   6a   +)  S  là diện tích hình chữ nhật có cạnh bằng 3 và và  f  x2   8a  12a  6a  2a   +)  S1   là  diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường  x  x0  x1  1, x  x2  x1  ,  y  f  x2   2a  và  f  x   a  x  x1   3a  x  x1   6a  nên suy ra  x1  S1   x1   f  x   2a  dx  x1 1  x1 1  a  x  x1 3  3a  x  x1 2  4a  dx     x1   a  x  x1   x  x1   27 a   3a  4ax     4   x 1 Vậy  S1 27    S2  2 x  2          x  Câu 51 Cho hàm số  f  x     Tích phân  I   sin x f  cosx  dx  bằng   x +4x   khi  x  0 9 7 A I  B I   C I   D I    2 6 Lời giải  Chọn A Do  lim f  x   lim f  x   f    2  nên hàm số  f  x   liên tục tại điểm  x    x 0 x 0 Đặt  t  cos x  dt   sin xdx   Trang 36 Đổi cận:  x   t  ;  x    t  1   Ta có:    1  sin x f  cosx  dx   sin x.cosx f  cosx  dx    2t f  t  dt   t f  t  dt 0 1 1   x f  x  dx   x f  x  dx  2 x  x  x   dx   x  x   dx   1 0 1  x4 x3 1  x3 x  10  2   x            0   1 Câu 52 Cho hàm số bậc bốn trùng phương y  f  x   có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số  f  x   đạt cực trị tại ba điểm  x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 )  thỏa mãn  x1  x3   Gọi  S1  và  S  là diện  tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số  S1  bằng  S2   A   B   16 C   D   15 Lời giải  Chọn B Rõ ràng kết quả bài tốn khơng đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho  x2      Gọi  g ( x)  ax  bx  c , ta có hàm số  g ( x)  là chẵn và có 3 điểm cực trị tương ứng là  2;0;   là các nghiệm của phương trình  4ax3  2bx    Dựa vào đồ thị  g ( x) , ta có  g (0)   Từ đó suy ra  g ( x )  a ( x  x ) với  a    Trang 37 Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật bằng  S1  S  g (2)  64a   Ta có  S1  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  g ( x) , trục hoành, đường thẳng  x  2, x    S1   g ( x ) dx  a  x 2 S 224 Vậy      S 512 16 Trang 38 2  x dx  224a 512a 224a   Suy ra  S2  64a  .  15 15 15 ...   f cos x  sin xdx   f cos x  sin xdx   f cos x  sin xdx   0    I   f  cos x  1 sin xdx   f 1  cos x  sin xdx     Xét  I1   f  cos x  1 sin xdx   Xét  t  2cos x... lim  x  m   lim  cos x  3  m  x 0 x 0 x 0 x 0 Xét bất phương trình 2cos x    với   x   2cos x   cos x      0 x   Vậy  2cos x    khi   x  cos x    khi   x ... x  f ( x)cosx  f ( x) sin x  f ( x)cosx  x f ( x) sin x  f ( x)cosx x x  f ( x )     2   sin x sin x  sin x  sin x   f ( x) x    dx   x cot x   cot xdx   x cot x  ln