Nguyen ham cua huu ti toan 12

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Các công thức cần nhớ (1) 1 dx 1 dx ln x a C ln ax b C x a ax b a           (2) 2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a      (3) 2 2 2 2 1 1 x 1 1[.]

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Các công thức cần nhớ dx (1)  x  a dx  ln x  a  C   ax  b  a ln ax  b  C (2) x (3) x dx x a  ln C a 2a x  a 1 x 1 u dx  arctan  C   du  arctan  C 2 a a a u a a a II Nguyên hàm dạng I   P  x  dx Qx Nếu bậc tử số lớn mẫu số thực phép chia đa thức ta có: Px Qx  gx  P 'x  Qx  Dạng 1: I   Phân tích: Px ax  b Dưới số dạng thường gặp P  x  dx ax  b  gx   Dạng 2: I   k dx I   g  x  dx  k  ax  b ax  b mx  n dx ax  bx  c  Trường hợp 1:   b  4ac  Phân tích: mx  n mx  m 1 A B       ax  bx  c a  x  x1  x  x  a  x  x1 x  x  (Đồng hệ số để tìm A, B) I  A ln x  x1  Bln x  x   C a  Trường hợp 2:   b  4ac  m  x  x0   p mx  n mx  n m P     2 a.x  bx  c a  x  x  a  x  x  a  x  x 2 a  x  x0   Trường hợp 3:   b  4ac  Phân tích: k  2ax  b  mx  n p   ax  bx  c ax  bx  c a  x  x 2  q Khi I   kd  ax  bx  c  ax  bx  c  p dx  a  x  x 2  n  Dạng 3: I   P  x  dx Qx với Q  x   ax  bx  cx  d  Trường hợp 1: ax3  bx  cx  d  a  x  x1  x  x  x  x  Phân tích: Px ax  bx  cx  d  A B C   x  x1 x  x x  x Trường hợp 2: ax3  bx  cx  d  a  x  x1  x  x  Phân tích: Px ax  bx  cx  d  A Bx  C  x  x1  x  x   Trường hợp 3: ax3  bx  cx  d  a  x  x1   mx  nx  p  mx  nx  p  vô nghiệm Phân tích: Px ax  bx  cx  d  A Bx  C  x  x1 mx  nx  p  Dạng 4: [Tham khảo nâng cao]: I   Trường hợp 1: I   Phân tích: Px x a  P  x  dx x4  a2 bậc P(x) nhỏ P  x  dx x4  a2     A x  a  B x  a  Cx  Dx x a a  a dx   x a du x  x dx   I1   Khi ta có: I1   dx   2  a x a u  2a a  x2  x    2a  x x  1 a  a dx   x a du x  x dx  I2   dx    I2   2 2  a x a u  2a a  x2  x    2a  x x  1   x 3dx d x a I3      ln x  a  C x a x a   xdx d x du I4      I4   2 x a x a u  a2 Từ suy nguyên hàm I    Trường hợp 2: I   P  x  dx x4  a2 P  x  dx x4  a2 Phân tích: Px x a   Ax  Bx  Cx  D x a      2 Ax  Bx A d x a B d x A du B dv Khi xét: I1   dx      I1     2 x a x a x a u v a Phân tích I2   Cx  D N   M dx      dx (Đồng tìm M, N) x a  x a x a   Dạng [Tham khảo nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ Q(x) đa thức bậc  I1   dx dx  1       x 1 x 1 x 1  x 1 x 1   I2   xdx dx du   I2   3  x 1 x 1 u 1         x 2dx d x du I3      I3   x 1 x 1 u 1  2 x 3dx x d x udu I4      I4   x 1 x 1 u 1  x4  x2 1  x2 1  x dx dx dx dx I5    dx    2    x 1 x 1 x  x 1 x6 1 x2 1 x4  x2 1    Với K             2 dx x   x 1 x2 1 x 1  dx  dx  dx x4  x2 1  x4  x2 1  x4  x2 1  x4  x2 1 1 1   1 dx   dx   1 1 1 1 x x x x   dx   dx       1 1 x2 1 x2 1   1  x   1 x   3 x2 x2 x  x  K du dv   2  u  v 1 B BÀI TẬP Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số sau: dx A I1   2x  x 1 dx B I   x 1 Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: 2x  dx C I3    4x x2  x  D I4   x 3 A I5   x3  x  dx 2x  B I6   3x  3x  x  dx x 1 C I3   2x  dx x  3x  B I6   5 x dx  2x  x 4x  3x  x  C I7   dx 2x  Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số sau: dx dx x  2x  A I1   B I2   2dx 3x  4x  2 D I4   3x  dx 5x  6x  Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: A I5   4x  2x  dx x2 1 Ví dụ 5: Tìm ngun hàm hàm số sau: A I1   2dx x  2x  B I2   dx 6x  9x  C I3   dx 25x  10x  Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I   2x  dx 4x  4x  b I5   4x  dx 4x  12x  c I6    5x dx 9x  24x  16 Ví dụ 7: Tìm ngun hàm hàm số sau: a I1   dx x  2x  b I   dx 4x  4x  2 c I3   dx 9x  24x  20 Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I4   3x  dx 2x  x  10 b I5   4x  dx 6x  9x  c I6   2x  x dx x  2x  Ví dụ 9: Tìm ngun hàm hàm số sau: a I1   dx  x  2 x    b I2   6x  x  dx x x 1   c I3   3x  x  3z  dx x x2  x    Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: I   4x  dx 2x  A I  2x  ln 2x   C B I  2x  ln 2x   C D I  x  ln 2x   C C I  x  ln 2x   C 3x  2x  dx Ví dụ 11: Tính nguyên hàm: I   x 1 B I  x  x  ln x   C 3 D I  x  x  ln x   C A I  x  x  ln x   C C I  x  2x  ln x   C Ví dụ 12: Tính nguyên hàm: I   2x  C A I  ln x 1 2x  C B I  ln x 1 Ví dụ 13: Tính nguyên hàm: I   x 1 C A I  ln x 1 dx 2x  x   x  1 C I  ln  x  1  x  1 D I  ln  x  1 2x   3x  2 2 C  C 3x  B I  ln 3x   1 C 3x  D I  ln 3x   C I  ln 3x   Ví dụ 15: Tính nguyên hàm: I    ln 2x   C  2x dx A I  ln 3x   A I   2x  1 C D I  ln x 1 x 5 dx x2 1 x 1 C B I  ln x 1 Ví dụ 14: Tính nguyên hàm: I   2x  C C I  ln x 1 1 C 3x  2 1 C 3x   2x  3 dx 4x  4x  B I   ln 2x   C  4x C C I   ln 2x   C 2x  D I  Ví dụ 16: Tính nguyên hàm: I    ln 2x   C  2x 4x  dx x  2x  2 A I  2ln  x  2x  2  arctan  x  1  C B I  2ln  x  2x  2  arctan  x  1  C C I  ln  x  2x  2  arctan  x  1  C D I  ln  x  2x  2  arctan  x  1  C Ví dụ 17: Tính nguyên hàm: I   dx x x 2 A I  ln x   ln x  C B I  ln x   ln x  C C I  ln x 1  ln x  C D I  ln x   ln x  C Ví dụ 18: Tính nguyên hàm: I   A I  dx x  3x  1 x 1  ln C  x  1 x  C I   1 x 1  ln C  x  1 x  B I   D I  1 x 1  ln C  x  1 x  1 x 1  ln C  x  1 x  3x  dx Ví dụ 19: Tính nguyên hàm: I   x 4 A I  x x ln  arctan  C x 2 C I  ln x x  arctan  C x 2 B I  ln D I  x x  arctan  C x 2 x x ln  arctan  C x 2 ... nx  p  vơ nghiệm Phân tích: Px ax  bx  cx  d  A Bx  C  x  x1 mx  nx  p  Dạng 4: [Tham khảo nâng cao]: I   Trường hợp 1: I   Phân tích: Px x a  P  x  dx x4  a2 bậc P(x)... a Phân tích I2   Cx  D N   M dx      dx (Đồng tìm M, N) x a  x a x a   Dạng [Tham khảo nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ Q(x) đa thức bậc  I1   dx dx  1       x... dx 25x  10x  Ví dụ 6: Tìm ngun hàm hàm số sau: a I   2x  dx 4x  4x  b I5   4x  dx 4x  12x  c I6    5x dx 9x  24x  16 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I1   dx x  2x  b