NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản 1 2 3 4 2 5 2 6 7 2 8 2 9 2 I sin xdx cos x C 1 I sin ax dx cos ax C a I cos xdx sin[.]
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số nguyên hàm lượng giác I1 sin xdx cos x C I sin ax dx cos ax C a I3 cos xdx sin x C I cos ax dx sin ax C a cos 2x x sin 2x I5 sin xdx dx C 2 cos 2x x sin 2x I6 cos xdx dx C 2 dx I7 tan x C cos x dx I8 tan ax C cos ax a I9 dx cot x C sin ax I10 dx cot ax C sin ax a sin xdx ln cos x C cos x cos xdx I12 cot xdx ln sin x C sin x I13 tan xdx dx tan x x C cos x I14 cot xdx dx cot x x C sin x I11 tan xdx Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp Dạng 1: Nguyên hàm I sin m x.cosn xdx - TH1: Nếu m 2k I sin2k x.cosn x.sin xdx 1 cos x cos n xd cos x Đặt t cos x k - TH2: Nếu n 2k Đặt t sinx - TH3: Nếu m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc Chú ý: Đối với nguyên hàm chứa sinx cosx dạng I f sin x cos xdx f sin x d sin x Đặt t sinx I f cos x sin xdx f cos x d cos x Đặt t cos x Dạng 2: Nguyên hàm I dx sin x.cos n x m - TH1: Nếu m 2k I d cos x sin xdx cos2 x k 1 cosn x sin 2k x.cos n x Khi ta đặt: t cos x - TH2: Nếu n 2k ta đặt t sinx - TH3: Nếu m,n chẵn ta biến đổi sin x cos x sin m x.cos n x sin m x.cos n x Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác hàm tanx cotx Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng đẳng thức 1 cot x; tan x sin x cos x Nguyên hàm mà mẫu số đẳng cấp bậc hai với sinx cosx; A sin x Bsin x cos C cos x Chú ý: Khi I f tan x cos2 x ta chia tử số mẫu số cho cos x dx f tan x d tan x đặt t=tanx Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng cos ax.cos bxdx cos a b x cos a b x dx sin ax.sin bxdx cos a b x cos a b x dx sin ax.cos bxdx sin a b x sin a b x dx cos ax.sin bxdx sin a b x sin a b x dx Dạng 5: Nguyên hàm I Ta có: I dx a sin x b cos x c dx 2a sin x x x x x x cos b cos sin c sin cos 2 2 2 dx dx x x x x x x x m sin n sin cos p cos cos m tan n tan p 2 2 2 2 t tan x I dt mt nt p B BÀI TẬP Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I sin3 x.cos2 xdx b) I sin3 x.cos5 xdx c) I sin x.cos2 xdx d) I sin xdx Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: cos3 x dx sin x a) I b) I cos x dx sinx c) I dx sin x.cos x d) I dx sin x.cos x Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: a) I tan xdx b) I tan x dx cos 2x c) I sin 2x cos3xdx d) I sin x cos3xdx Ví dụ 4: Xét mệnh đề sau: (1) dx cos x sin x ln cos x C sin x C (2) sin x cos xdx (3) sin x tan x dx C cos4 x (4) cos3 xdx sin x sin x C Số mệnh đề là: A B C D Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x x sin x sin 2x Biết f(0) = Giá trị f là: 2 A f 2 B f 2 C f 2 Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x A f A I ln sin x C I ln sin x D f sin 2xdx sinx C sin x B I ln sin x C sin x Ví dụ 8: Biết I f Tính giá trị f 4 3 Ví dụ 7: Tìm ngun hàm I sin x Biết cos5 x C f B f 16 2 D f 2 C sin x D I 2 ln sin x C sin x sinxcos xdx a cos x b cos 2x ln 1 cos x C(a; b ) Giá trị a + cos x b A a b B a b C a b Ví dụ 9: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f x Khi đó: D a b 2sin x 3cos x 5 F A F x Fx 1 B F x tan x tan x C F x 1 D tan x 1 tan x Ví dụ 10: Tính nguyên hàm A I tan x C cos x tanx cos x B I cos2 x C dx C I tan x C D I cos2 x C