Dang bai tap tich phan ham luong giac h9eig

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I Phương pháp giải Các nguyên hàm lượng giác 2 2 2 2 cos sin cos '''' sin sin sin '''' '''' tan tan '''' cot cot sin sin xdx x C u u dx u C xdx cos x C u u dx cosu C dx u x C dx u C cos x[.]

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I Phương pháp giải Các nguyên hàm lượng giác:  cos xdx  sin x  C  cos u.u '.dx  sin u  C  sin xdx  cos x  C  sin u.u '.dx  cosu  C dx u' 2  cos x  tan x  C  cos u dx  tan u  C dx  sin x   cot x  C  u' dx   cot u  C sin u Các biến đổi lượng giác: x Biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng lượng giác, biến đổi theo góc phụ t  tan sin  x  a    x  b   1   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  1  2 a sin x  bcosx a  b sin  x     sin x   cosx   A  a sin x  bcosx  c  ' B   a sin x  bcosx  c a sin x  bcosx  c a sin x  bcosx  c 1  2 a sin x  b sin xcosx  cos x a tan x  bt tan x  c cos x A  a sin x  b cos x  ' sin xcosx     a sin x  b2cos x   a sin x  b2cos x  Chú ý: 1) Cận đặc biệt tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng: t   x, t    x, t  2)  b  b a a P  x  sin  xdx, enx sin  xdx,  b a  P  x  cos xdx b a : đặt u  P  x  , v '  sin  x cos x enx cos xdx : đặt u  enx , v '  sin  x cos x 3) Nếu R   sin x, cosx    R  sin x, cosx  đặt t  cosx Nếu R  sin x, cosx    R  sin x, cosx  đặt t  sin x Nếu R   sin x, cosx   R  sin x, cosx  đặt t  tan x,cot x II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính tích phân: a)  /2 0  2cosx  sin x  dx b) Giải   /4 sin x dx  x  /2 a)     2cosx  sin x  dx   2sin x  cosx  b)   /2  /4  1   /4  cos x  /4  2 x dx   dx   x  sin x   0 2 sin Bài tốn Tính tích phân: a)   /2 b) cos3x.cos xdx   cos xdx Giải a)   /2  /2  cos7 x  cosx  dx   cos3x.cos xdx  b) cos x  1  cos x   Suy   cos xdx  1  2cos x  cos 2 x    cos x  cos x  8 3 Bài toán Tính tích phân:  /4  /2 a) A  0 cos3 x.sin xdx b) B  0  cos x 1 cos xdx Giải a) Đặt t  cos x dt   sin xdx Khi x   t  1, x  Nên A  1 /2  t  2 2/2 t 3dt   t  16  /2  /2 b) B  0 cos5 xdx  0 cos xdx Đặt t  sin x dt  cos xdx, x  t  0, x  B1    /2 B2    /2 cos5 xdx    /2 cos xdx  Vậy: B  1  sin x  2  t  1  cosxdx   1  t  dt   t  t  t    15   /2 1  /2   cos x  dx   x  sin x     2 0   15 Bài toán Tính tích phân:   /2 a) C  0 cos x.sin 8xdx b) D  0 Giải sin x  cos x  dx    9 a) Xét I  0 sin x.sin 8xdx C  I  0 sin x  cos x  C  I    cos x  sin x  sin xdx   cos2x sin xdx  b) Đặt x    /2   0  cos10 x cos x     sin10 x  sin x  dx     0C   2 10    t dx  dt , x   t   ,x   t 0  /2  /2  /2   sin xdx   sin   t  dt   cos7 tdt   cos7 xdx  D    sin x  cos x  dx   0 2  Bài toán Tính tích phân: a)  /3  /4  /3 tan xdx  sin b) x tan xdx Giải a) Đặt t  cos x  dt   sin xdx, x   /3   /3 tan xdx   /4   /3 b)  sin cos3 x  /3 x tan xdx  1  cos x  sin x dx   /4   sin x sin x dx  cosx t   ,x  t  1 t2  t dt  /2 1/2  /3   1/  3    t dt  ln t    ln    t   2t  / 2 /2 1/2  cos x    /3 dx    ln cosx  cos x   ln  cosx  0 Bài tốn Tính tích phân:  /2 a)   /3 sin xdx  cosx sin xdx   cos2 x b) Giải  /2 a)   /3 b)   /2  /2 d 1  cosx  sin xdx    ln  cosx  ln  cosx  cosx  /3 d  cosx  sin xdx  /3     cos x cos x cosx Bài tốn Tính tích phân:  /2 a)   /2 dx  cosx b) Giải x x 2dt a) Đặt t  tan  dt  1  tan  dx  dx  2 2 2 1 t cos3x  sin x  1dx Khi x  t  0; x   /2   t  dx 1 t2  dt   dt   cosx 02  t 2 1 b) cos3x  4cos3 x  3cosx   4cos x  3 cosx Đặt t  sin x  dt  cos xdx, x   t  0, x   /2    t  cos3x  4t   dx   dt   4t    dt   3ln sin x  t  t    0 1 Bài tốn Tính tích phân:  /2 a) I   /6 sin xdx  4sin x  cos x  b) J   tan x dx cos x Giải a) Đặt t  sin x  dt  cosxdx, x  t  0, x   /2 I   tan x dx  cos x  /6 t   dx tan x dx Đặt t  tan x dt  2 cos x 1  tan x  cos x Khi x  t  0, x  1/ J 1 sin x.cosxdx tdt 1   1 1     ln t      ln   dt   2     sin x  2sin x   t  1 t 1   t 1 0  1  t   /6 b) J    t4 dt  1 t2 1/   t  t 1 1 dt  1 t2 1/   1    t    dt  t t         t t   1/ 10     t  ln  ln    t 1     Bài tốn Tính tích phân:  /2 2 a) A    cos xdx b) B   sin x cos x  4sin x dx Giải 2 a) A    /2 b) B   Bài toán 10 2 2    2 2sin x dx   sin x dx    sin xdx   sin xdx    cosx   cosx 4   0  sin xdx  3sin x   /2 2  3sin x    3 3 Tính tích phân:  /2  /2  xcosx.dx a) A  b) B    x  1 cos xdx 0 Giải  /2  a) A  xd  sin x    x sin x   /2  b) B    /2  /2   cos2 x dx   x  1 2  sin xdx   /2  /2   cosx    /2  1 1 0  /2     sin xdx    1  Tính tích phân:  /2  xcosx sin a) I     x  1 dx    x   cos2 xdx  /2 1 1 /2  x    x  1 2 2 Bài toán 11   /4 b) J  xdx  x tan xdx Giải a) Đặt u  x, dv  cosx sin xdx Khi du  dx, v  sin x I  /  /2  x sin x   sin xdx     3  /4  b) J   /4     x  1 dx   cos x  xd  tan x    /4   /4  xdx  x tan x Bài toán 12 xdx  cos x  /4  xdx  /4  /4   tan xdx  x2  /  2   ln  32 Tính tích phân:  /2  /2 a) A   x sin xcosxdx b) B  a) Đặt u  x, dv  sin x dx x Khi du  dx, v   cos x A  Giải  /2   x  sin x  cos xdx  /2 sin x cos x   x cos x   / x dx     0      /2  /2   x  sin x  d  sin x     x  sin x  sin x  b) B  2  /2  1  2sin x.cosx  sin xdx  0  /2  /2       1   cosx    sin x    0 3 2  Bài tốn 13 Tính tích phân:  /2  /4  x cosxdx a) A   b) B  x sin xdx Giải  /2  x d  sin x   x a) A  2 sin x    /2    xd  cosx    /2  /2   x sin xdx  2   xcosx   /2  /2   x sin xdx  /2    cos xdx   2 2 b) Đặt t  x  x  t  dx  2dt Khi x   t  0, x  2 t    /2 nên L   t sin tdt Đặt u  t , dv  sin tdt Khi du  3t 2dt , v  cost B   t cost   /2  /2  /2 0   t 2costdt   t 2costdt Áp dụng tích phân phần lần B    4 Bài tốn 14 Tính tích phân:   sin x  cos x dx sin x  cosx 4 dx 3cos x  sin x.cosx  a) I   b) J   Giải   sin x  cos x 2sin xcosx  2cos x  dx   dx sin x  cosx sin x  cosx 0 a) Ta có: I      sin x  cos x dx  dx   cos x   sin x  cosx sin x  cosx 0 4    4 dx dx  2sin x    2 sin x  cosx sin x  cosx 0  dx  , đặt t  sin  x   sin x  cosx 4  Tính J   Ta có:   4 J   dx    0  2cos  x   4  dt  1 t2  2 Vậy I =  2      cos  x   dx  d sin  x  4 4       sin  x    2 2cos  x     4 4    1  1  t   t   dt  2  ln t   ln t      2 ln  2 2    ln ln  2      1  dx 1 dx  2  cos x tan x  tan x  cos x  tan x   tan x   0 b) Ta có: J   Đặt tan x  t  dx  dt cos x Khi x  t  0, x   t  1 dt t    t  1  1   dt   dt  ln t   ln t   ln       t  t  t  t  t  t  3      0 J  Bài tốn 15 Tính tích phân:   sin x  5cos x dx a) I    5sin x  cos x 2 b) J    dx sin x  2sin x Giải a) Đặt sin x  t cos xdx  dt Khi x   t  0; x    t 1  (2sin x  5) cos x 2t  2t  I  dx   dt   dt 2t  5t  2t  1 t    5sin x  1  2sin x  0  1 1    dt  4 dt   dt     dt t2 2t  1 t   t2  2t  t   0  1 1 1  ln 2t   ln t   ln  ln 3  b) J      2 3  d  cos x  dx dx sin xdx 12      sin x  2sin x  2sin x  cos x  1  sin x  cos x  1  1  cos x  1  cos x  1  u   1  u     du  1  u 1  u 2 0  0 1 du du   1 1 u  1    ln     ln 2     1  u  1 u   1  u   u  2   Giả sử hàm số liên tục đoạn [a;b] Chứng minh: Bài toán 16  /2 a)  f  sin x dx   /2  f  cos x dx  b)  xf  sin x dx    0 f  sin x dx Giải a) Đặt x    t dx  dt , x   t   /2  f  sin x dx   /2    f  sin   t  dt      ,x   t   /2  /2 0  f  cos t dt   f  cos x dx b) Đặt x    t dx  dt , x   t   , x    t       0 0  xf  sin x dx     t  f  sin t  dt    f  sin t  dt   tf  sin t  dt    f  sin x dx   xf  sin x dx   0 Do 2 xf  sin x  dx    f  sin x dx  đpcm Bài toán 17 a) Chứng minh rằng: lim  x n sin  xdx  x t 4 b) Giải phương trình:  sin cos dt   Giải a) Với x  0;1  xn sin  x  xn 1 0 Do đó:   x n sin  xdx   x n dx  Vì lim n 1   đpcm n 1 x b) x x x 1 1 t 2 t sin cos dt  sin dt  1  cos t  dt   t  sin t    x  sin x  0   40 80 8 Ta có phương trình:  x  sin x     x  sin x  8  x  8 Tính đạo hàm hàm số: Bài tốn 18 x a) F  x    cos tdt b) G  x    3t dt Giải a) F '  x   cos x  x  '  sin x cos x x b) G '  x   3sin x. sin x  '  3sin x cos x Bài toán 19  /2 a) Tính:  maxsin x,cos xdx b) Tính f   biết: x2  f  t  dt  x cos  x  Giải  /2 a)  max sin x;cos xdx   /4   /2 cos xdx   /4  sin xdx   sin x     cos x  /4 b) Lấy đạo hàm vế có xf  x2    x sin  x   cos  x  Cho x  : f    2 sin 2  cos 2  f       /2  2           /4  2   