Dang bai tap tich phan ham da thuc

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC I Phương pháp giải Tích phân Giả sử  f x liên tục trên khoảng K và ,a b K là 1 nguyên hàm của  f x thì         b a b f x dx F b F a F x a    Tính chất     [.]

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC I Phương pháp giải Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K nguyên hàm f  x  thì: b  f  x  dx  F b   F  a   F  x  a b a Tính chất:  f  x  dx  0,  f  x  dx   f  x  dx a b a a a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx,  kf  x  dx  k  f  x  dx   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx, b c a a b c b b b a a a Nếu f  x    a, b b b a a  f  x  b a Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục  ,   u    a, u     b thì:  f  x  dx   f u t   u ' t  dt b  a Dạng 2: Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì:  b a f  x  dx   v b  v a  g  t  dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  ,   thì: b b udv  u.v   v.du a a a  b Công thức nguyên hàm:  dx  x  C  kdx  kx  C với k số x 1 u 1   C  u u '.du  C Với   1  x dx   1  1  Các dạng hàm đa thức: Dạng  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  Dạng  P  x  Q  x  dx : Khai triển tích số Dạng   x  mx  n  dx : Đặt u  mx  n b a b a b a Chú ý: 1) Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x :  f t  dt,  f u  du ,  f  x  dx b b b a a a n 2) Công thức nhị thức Niu-tơn:  a  b    Cnk a nk bk  Cn0 a n Cn1a n1b   Cnn1abn1  Cnnbn n k 0 n Đặc biệt: 1  x    Cnk x k  Cn0 x0 Cn1 x   Cnn x n n k 0 Mỗi cách chọn cận tích phân cho ta hệ thức tổ hợp II Ví dụ minh họa  f  x  dx  1,  f  x  dx  5,  g  x  dx  Bài toán Cho 9 7 Tính A  1 f  x  dx; B  7 2 f  x   3g  x dx Giải A   f  x  dx   f  x  dx  1   6 9 B  2 f  x dx  3 g  x dx  2.5  3.4  2 9 7 Bài toán Tính tích phân: b) B  0 t 1  t  dt a) A  0 1  x  dx 1 Giải a) A     1 1  x  d 1  x     2x  0    12 b) Đặt u   t du  4t 3dt  t 3dt  du Khi x  u  1, x  u  B   16  15 u du    u 1  1 16 16  16  Bài tốn Tính tích phân: a) I  0  x  1  x  x  3 dx b) J  2  x    x  3 dx Giải a) I  0  x3  x  5x  3 dx   x  x3  x  3x   2 1 17 0 b) Đặt u  x  x  u  3, dx  du Khi x  u  1, x   u  J    u   u du    u  10u  25  u du 1 1  u11 25  185    u10  10u  25u  du    u10  u   1  1 99  11 Bài tốn Tính tích phân: a) I  2  x   x dx b) J  1 x  x  dx Giải a) I  2  x  x  dx  0  x  x  dx   20   8 3 b) J  1  x  x  3 dx  1   x  x  3 dx  3  x  x  3 dx  x3   x3   x3  28    x  3x      x  3x     x  3x     1  1  3 Bài tốn Tính tích phân: a) I  0 1  x n dx b) J  0 x 1  x n dx 1 Giải a) Ta có: I  0 1  x  dx  0 1  x  d 1  x  1 n n 1  x   n 1 n 1  1  n 1 n 1 b) Ta có: J  0 x 1  x  dx  0  x   11  x  dx 1 n    1  x  n 1 n 1 1   n  n  n  3n  dx   1  x  dx  n Bài toán Chứng minh rằng: a)  x 1  x  dx   f 1  x  dx n b) 1 f  x  dx  0  f  x   f   x  dx 1 Giải a) Đặt u   x du  dx, x   u  1, x   u   f  x  dx   f 1  u  du   f 1  u  du   f 1  x  dx 0 b)  1 1 0 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Do 1  1 f  x  dx   f  u  du   f   x  dx 1  f  x  dx    f  x   f   x  dx 1 1 Bài toán Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn  a; a  Chứng minh: a) Nếu f hàm số lẻ  a a b) Nếu f hàm số chẵn f  x  dx   a a f  x   2 f  x  dx a Giải I   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx a a a a Đổi biến x  t tích phân a) Nếu f lẻ  a b) Nếu f chẵn  a f  x  dx ta được: f  x  dx   f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  I   a a a a 0 f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  I  2 f  x  dx a a a 0 Bài toán Xác định số b dương để tích phân   x  x  dx có giá trị lớn b a Giải Xét hàm số f  x   0  t  t  dt x Ta có: F '  x   x  x2 , F '  x    x  Lập bảng biến thiên F  x   0;   F  x  đạt giá trị lớn x  , b  1 1 Bài toán Chứng minh: Cn0 20  Cn1 21   3n 1  Cnn 2n  n 1  n  1 Giải Ta có: n 0 1 1 k k n x k 1 Cn  Cn   Cnn 2n   Cn   n 1 k 0 k  k 0 k  1 n 2 n 1  x  n    Cnk x k dx    Cnk x k dx   1  x  dx  k 0 k 0 2 n 1 n 1 Bài toán 10 Chứng minh: 3n 1    n  1 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn1  2n 2n  Giải Ta có: 1  x 2 n  C20n  C21n x   C22nn x n 1  x  2n  C20n  C21n x   C22nn x n  1  x   1  x    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn1x n1  2n Do đó:  2n 1  x  2n  1  x  dx    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn 1 x n 1  dx Ta tính riêng vế: 2n  1  x  2n  1  x  1  x   1  x  dx  2  2n  1 2n n 1 n 1 22 n   2n  1 Và  C 1 2n x  C23n x  C25n x   C22nn 1 x n 1  dx  x2 x4 x6 x2n    C21n  C23n  C25n   C22nn 1  2n   1 1  C21n  C23n  C25n   C22nn 1 2n Suy 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn1  2n 2n  Tính I n  0 x 1  x  dx, n nguyên dương: Bài toán 11 n  1 C n 1 1 Suy tổng: S  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   n  n  1 n Giải Đặt t   x2  dt  2x.dx Khi x   t  1, x   t  1 t n 1 I n    t n  dt   2  n  1  n  1 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I n   x 1  x  dx   x  Cnk   x  dx n n   1  k 0 k n k 0 k n Cnk x k 1dx    1 Cnk  x k 1.dx k k 0 n  x   1 C k    1 C   n  k 0  2k   k  2k  n k 2k 2 k k n  1 C n 1  Cn0  Cn1    n  n  1 n  1 C n  1 Từ ta có: S  Cn0  Cn1   n  n  1  n  1 n Bài tốn 12 Tìm số nguyên dương n cho: Cn0  22  1 23  2n1  n 3n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 2019 Giải Ta có: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn x n n Suy  1  x  n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx  x2 x3 x n 1  n 1   Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn 1  x    n 1 n 1  Do Cn0  Nên 22  1 23  2n1  n 3n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 3n1  2n1 3n1  2n1   n   2019  n  2018 n 1 2019