Dang bai tap tich phan ham can thuc

TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC I Phương pháp giải Tích phân Giả sử  f x liên tục trên khoảng K và ,a b K và  F x là 1 nguyên hàm của  f x thì         b b a a f x dx F b F a F x   Phương phá[.]

TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC I Phương pháp giải Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K F  x  nguyên hàm f  x  thì: b  f  x  dx  F b   F  a   F  x  b a a Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục ,  u     a, u   b thì: b  a  f  x  dx   f  u  t  u  t   dt  Dạng 2: Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì: b v b  a v a   f  x  dx   g  t  dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b b b  udv  u.v a   v.du b a a Các dạng hàm thức: b dx   x  m  x  n  : Đặt t  xm  xn a b  k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t a b  a b  x m : Đặt t  x  x2  m x  mdx : Đặt u  x  m , dv  dx a b   x   a dx px  qx  r : Đặt t  x     R  x, k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t  R  x, k  x dx : Đặt x  k tan t k cot t b a b a    R  x, b x  k dx : Đặt x  a  b  R  x;  a n k k sin t cos t x   x     dx : Đặt t  n x   x    Chú ý: 1) Biến đổi chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, trục mẫu, mũ m n phân số a  a ,… n m 2) Phối hợp bảng công thức, phương pháp đổi biến số để đưa nguyên hàm, tích phân đa thức, tích phân hữu tỉ nêu,… II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính tích phân:  a) A     x    dx x b) B   4x x2  dx Giải     23   a) A    x  x  dx   3 x    3  x 1   1 b) B   x  1 x2   dx  x   4 Bài toán Tính tích phân: a) A   x  1dx b) B   3x3  x dx Giải 1  x  1 d  x  1    x  1    20 3  a) A   2 1   7 4 1 1 3 3 b) B    3x   d  3x     3x    91 12 12 Bài tốn Tính tích phân: a) I   4 x dx x b) J   x 1  dx x 1  Giải a) Đặt t   x  x  t   dx  2tdt Khi x  t  2; x  t  t2 1   I  2 dt   1    dt t 4 t 2 t 2 6 3 t 2    t  ln  t2     3   ln 25  10    b) Đặt t  x   x  t   dx  2tdt J   t  2 2tdt   2t     t 3 1   dt   6ln t 3 Bài tốn Tính tích phân 7/3 a) K   x 1 dx 3x  dx x 1  x 1 b) L   Giải a) Đặt t  3x   x  Khi x  t  1, x  t 1  dx  t dt t  2  t5 t3  46 K    t  2t  dt      31  15  15 b) L  2  3 1 3  2  x   x  dx    x  1   x  1   3 1  Bài tốn Tính tích phân a a /2 a) A   a  x dx b) B   dx a  x2 Giải  a) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos t  Khi x  t  0, x  a t   /2 Aa   /2 cos t cos tdt  a  a2 cos tdt  2  /2  1  cos 2t  dt  /2 a  sin 2t  a  t    2 0  b) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos tdt a  t  Khi x  t  0; x   /6 B  /6 a cos tdt  a cos t    dt  Bài toán Tính tích phân b b dx  a) C  x b  b) D  x  bdx Giải    dx  x2  b  x a) Đặt t  x  x  b  dt  1   b  2b  C b dt  ln t t   b b 2  x2  b  b x2  b b b  2 b   b b  x2  x2  b b x2  b dt t dx x2  b dx   dx dx  b  D  b  x b   ln  x  bdx  x  x  b Nên D  b  b b) D  b  2b dx  b  ln  2  Bài tốn Tính tích phân: a) I   x3dx  b) J   x2 x5  x3 x2  dx Giải a) Đặt t   x2  x2   t  xdx  tdt Khi x   t  2, x   t  I     t  tdt  t  t3   t dt  t       3  2  16 3 3 b) Đặt t  x2   x2  t   xdx  tdt Khi x   t  1, x   t  J  t  1 t  1 t 26 1  tdt    t  1 dt   t  t   5 1 Bài toán Tính tích phân: a) K    x2 dx x4 x b) L   1/2  1 dx x x4  Giải t a) Đặt x   dx  1 dt t2 1/2 K    t  t dt   1  15 2  t 1   d 1  t      2    1/2 1  x dx  dx   x  1/2  1 x2  x     x x  1 b) L   1/2 2   1 13     ln x    x      ln   x x 13     1/2 Bài tốn Tính tích phân: 1 a) A   x3 x  3dx b) B   x  x dx 0 Giải a) Đặt t  x2   x2  t   xdx  tdt Ax  t5  x  3xdx    t  3 t.tdt    t  3t  dt    t  5  3 2 2  8   b) Đặt x  sin t    t    dx  cot dt  2 Khi x  t  0, x  t   /2 B  sin t cos tdt  2  /2   sin 2tdt   /2   /2  cos 4t  sin 4t   dt   t    8 0 16 Bài tốn 10 Tính tích phân: a) A   x  x dx b) B   x  3dx Giải a) Đặt t   x2  x2   t  xdx  tdt Khi x  t  1, x  t  A   1  t  t7  t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t    105 7  2   1 0 b) B   x  3dx  x x     2 x2   x2  dx    3 2 x2 x2  x2  dx dx Đặt t  x  x2  tính B   3ln Bài tốn 11 Tính tích phân: a/ x dx a) I   x2  x  xdx  b) J  a2  x2  a  x2  Giải 1  x  x    x    ,  x  x  1  x  2  a) Ta có  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C 2 4  Đồng A  1, B  2, C   nên   1 2x 1 1   I    x      2 2 0  1  1  x   x                 dx     2x 1  3 1     x  x   ln  x   x  x      ln 1     3   a/ b) J  xdx  a2  x2  a2  x2 Đặt t   a  x  dt  a 1 J  a 1   dt  t t a 1 a 1 xdx a2  x2 2   xdx   t  1 dt 2a   a   Bài tốn 12 Tính tích phân: 4096 a) A   128 xdx x2  x b) B   dx x2  5x  Giải a) Đặt x  t12 dt  12t11dt Khi x  128 t  2, x  4096 t   t14 t4  dt  12 t  t   dt   t 1 t 1  2 A  12   t10 t   12    ln t    10 5  2  464  31   12   ln  5    b) Đặt t  x   x   1  x   x   dt    dx x  2 x     1   dt     dx   x 2 x 3   x   x  3  x   x  3 2 dx B dx  2dt  ln t t 1  2 1  2dt t  ln 2 1 Bài tốn 13 Tính tích phan: a) I   x2 dx  x  1 x  4 dx b) J   x  3x  Giải 2 du   tan u, u  0;  dx  3 cos u  2 a) Đặt x  Khi x  u  , x  u   2 du tan u   tan u  1 cos u Ta có I        du  cos udu  2sin u   cos u  2sin u   1  sin u  2  dt 3 t    t  1 t  1   (với t  sin u )    4 2 2   dt     0 t 1 t 1  t    3   1 3    4 ln  t     ln t    ln  t  1     0        4ln  ln  Vậy I  4ln  ln    t2  b) Đặt t  3x   x  Suy dx  dt 3 Khi x  t  , x  t  t2  2 2 t2  J  tdt   dt t 1  t 4  1    4 2 dt  t 1    dt    t      ln  dt   ln 32 t 1 2  t 1 t   t 1 4 4 Vậy J   ln Bài tốn 14 Tính tích phân: x2  dx b) J   x 3x    x2 a) I   dx x4 Giải  a) Đặt x  2sin u, u  0;  dx  2cos udu  2   Khi x  u  , x  u   I    4sin u  2sin u     cos u cos udu  8sin u 2cos udu       6 6 cos u cos u d  sin u  2   du   du    cot udu  cot u   sin u  sin u  sin u 4   6 1 72   cot u   sin u  12 Vậy I  72 t 1 2tdt b) Đặt t  3x   x   dx  3 Khi x  t  , x  t   t2  t   1  4  2tdt dt  J     t  1 dt  2 2 t 1 92 t 1 2 t 2   t  1 dt  2     dt  92 t 1 t   2  4 21 t 1 100    t  t   ln   ln 93 t  27 2 Bài tốn 15 Tính tích phân: a) I  64 x3dx  b) J   x 4x 1  dx x x Giải a) I   x x5 x dx    x   x dx  x x  4dx   x dx 5 5 Tính x x  4dx Đặt x2   t  x2  t   xdx  tdt Khi x   t  2; x   t  x  253 1 x  4dx    t   t.tdt    t  4t  dt   t  t    15 5 2 3 Thay vào ta I  64 b) Ta có J   253 5  60 1 x dx x Đặt t   x  t   x  2tdt  dx x Đổi cận: x   t  2; x  64  t  3 76 Suy ra: J   4t dt  t  3 2 x Bài toán 16 Chứng minh: f  x    t 1 t4 dt hàm số chẵn Giải Đặt t  s tích phân f   x   x  Ta được: f   x   x  x t 1 t dt   s  s4 t 1 t4 dt ds  f  x   đpcm  ...  x   x  3 2 dx B dx  2dt  ln t t 1  2 1  2dt t  ln 2 1 Bài tốn 13 Tính tích phan: a) I   x2 dx  x  1 x  4 dx b) J   x  3x  Giải 2 du   tan u, u  0;  dx 