Dang bai tap tich phan ham phan thuc rbl4y

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC I Phương pháp giải Công thức nguyên hàm 1 '''' ln ln u dx x C dx u C x u      Với 1 1 1 '''' 1 1 x u a x dx C u u dx C                  Các dạng hàm hữu tỉ Dạ[.]

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC I Phương pháp giải Cơng thức nguyên hàm: u'  x dx  ln x  C  u dx  ln u  C x 1 u 1  Với a  1:  x dx   C  u u '.dx  C  1  1  Các dạng hàm hữu tỉ: - Dạng:  dx Lập   q  4qr px  qx  r b a  0 b 0  b  0 b dx  mx  n  a b a dx : Đặt x  k tan t x  k2 dx 1  1  :     2 x k x k 2k  x  k x  k  a  : Dùng công thức a - Dạng: mx  n dx Lập   q  4qr px  qx  r    Phân tích dùng cơng thức A  px  qx  r  ' mx  n B 0   2 px  qx  r px  qx  r x    k2 - Dạng:  b a dx x 1  x  n m  b a x n 1dx x n 1  x  n m : đặt t   xn Chú ý: 1) Biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh,… 2) Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu Nếu bậc tử bé bậc mẫu phần tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay  x2  px  q  bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo tổng phân số dạng: II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính tích phân: a)  dx 4x  4x 1 b) Giải  x2  x dx x3 A Bx  C , , x  a x  px  q a) b)   1 dx dx  1             1   4x  4x 1   x  1  x    3 x2  x 4 4  dx   dx  ln x        ln 1  x x2   x3 x1 Bài toán Tính tích phân: a) dx 1 x  x  b)  3x  dx x  4x  Giải a) dx dx  1 x2  x  1  x  12    2 Đặt x   tan t ,   t  Khi x  t   , x  1 t   /6  tan t  1 dt  /6 dx  /6 3  1 x2  x  1  tan t  1  1 dt  t  18 3x  3x  A B    x  x   x  1 x  3 x  x  b) Ta có: Nên 3x    A  B  x  A  B A  B   A  2  3 A  B   B  Đồng hệ số   Vậy: 5  2 3x   dx      dx   2ln x   5ln x    ln  2ln  ln18 x  4x   x 1 x   Bài tốn Tính tích phân: a) A  0 5x  x2  4 x2 b) B  2   dx  x3 dx Giải d  x  4 1    a) A  0  x  2 x2  b) Đặt t  x  x   t  5, dx  dt Khi x  2 t  1, x  t  7 10 25  25  192  B   1    dt   t  10ln t     10ln t t  t 1   Bài tốn Tính tích phân: a) I  1 x9 dx x10  x5  b) J  0 6x  dx x  x 1 Giải a) Đổi biến t  x5 dt  5x4dx Khi x  t  1, x  t  32 I 32 tdt 32  t    dt 32          dt 2  t  4t  5  t   t  2  t  2 1  32  34 31    ln  t       ln   5 t21  51  b) J  0 3 2  x  1  x  1  dx dx  3 dx  5 2 x  x 1 x  x 1 1  x   2  2x 1 dx  3ln x  x   3ln x  x 1 2 Đặt x     tan t   t   dx   tan t  dt  2 2  Khi x  t   , x  , t  5 dx 2 1  x   2   5  /3  /6  3 10  / 3  Vậy J  3ln   t   / 3 3 Bài toán Tính tích phân với a  : a /2 a) I  0 dx x  a2 a b) J  0 Giải a) I  a /2  1  xa a/2  dx  ln   ln    2a  x  a x  a  2a x  a 2a   2 b) Đặt x  a.tan t với   t  dx  a 1  tan t  dt Khi x  t  0, x  a t  J   /4 a 1  tan t  dt a 1  tan t   Bài tốn Tính tích phân:   /4  /4  dt  t  a 0 a 4a dx a  x2 2 a) I  0 x4  x  dx x2  b) J  0 x4  x2  dx x6  Giải  a) Đặt x  tan t , x  0; 2  t  0;   I   /4  4 16 tan t  tan t  2dt  /4   16 tan t  tan t  1dt 2 cos t  tan  1    /4 16 tan t 1  tan t   16 tan t  tan t  dt  Từ tính được: I   Cách khác: 16 17   ln x4  x  x 17  x2    2 x 4 x 4 x 4 dx x2  d x   dx    0 x2  0 x3   x 1 x 1     b) J  0  Lần lượt đặt x  tan t , x3  tan u J  5 12 Bài tốn Tính tích phân: x2  a) M  2  x  1  x  3 1/ b) N  0 dx xdx x8  Giải a) x2   x  1  x  3  A B C D    x   x  1  x  1 x  Đồng được: A   Từ tính được: M   5 , B  ,C  , D   32 32 1   x  13   x   37  ln  ln   16  x  1 32 x   56 32 15 b) Đặt t  x xdx  dt Khi x  t  0, x  N 1 , t  3 1/ dt 1/  1       dt  t 1  t 1 t    t 1  1/    ln  arctan t   ln   24  t 1 0  Bài tốn Tính tích phân:  1/2 a) I  0 dx x  x2  b) J  1 Giải a) Ta có: 1 1 1       2 x  x   x  1  x  1  x 1 x 1   1 1      2   x  1  x  1  x  1 x  1  1 1 1        2   x  1  x  1 x  x   1 1 x   1/ Từ I      ln  x 1 x 1 x   b) J  1 ln   8x  8x7  dx  dx  dx   x8  x x 1  x  x 1  x  2 x6 d x   ln  x8  x    dx  ln129  1 x 1  x  1 x 1  x  x7 256  ln129  ln  ln129  ln 7 1 x 129 8x7  dx x 1  x 