TÍCH PHÂN HÀM LÔGARIT I Phương pháp giải Phương pháp tích phân đổi biến số Dạng 1 Nếu x u t có đạo hàm liên tục trên , và ,u a u b thì b a f x dx f u t u t dt [.]
TÍCH PHÂN HÀM LƠGARIT I Phương pháp giải Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x u t có đạo hàm liên tục , u a, u b thì: b a f x dx f u t u t dt Dạng 2: Nếu t v x có đạo hàm liên tục f x dx g t thì: b v b a v a f x dx g t dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u x , v x có đạo hàm liên tục đoạn a; b b udv u.v b b a a v.du a b Dạng x ln xdx : Đặt u ln x, dv x dx a ln x a x dx : Đặt t ln x b Dạng II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính tích phân: e b) J ln x 1 dx a) I ln xdx Giải e a) I x ln x dx e e 1 e x dx ln dx x 1 x 1 0 b) J x ln x 1 1 Đặt x tan t tính J ln Bài tốn Tính tích phân: e a) I ln x dx 2 b) I ln x x dx 2 Giải e e a) I x ln x 2 ln xdx e 1 b) Ta tách tích phân: I ln x x dx ln x x dx 2 0 Tính tích phân J ln x x dx 2 Đặt x t dx dt Đổi cận: x 2 t 2; x t 0 Thì J ln t t dt ln t t dt ln x t dt 2 2 Thay vào ta được: I Nhận xét: f x ln x x hàm số lẻ 2; 2 Bài tốn Tính tích phân: a) A ln x x dx b) B x5 ln xdx 2 Giải 2x 1 dx 3ln 2ln dx 3ln x 1 x 1 2 3 a) A x ln x x b) Đặt u ln x, dv x5dx Khi du dx , v x6 x 2 x ln x x dx 32 B ln 1 Bài tốn Tính tích phân: e e b) B x x 1 ln xdx a) A x ln xdx 1 Giải a) Đặt u ln x, dv xdx Khi du 2ln x dx, v x x e e e x2 e2 A ln x x ln xdx x ln xdx 1 Đặt u ln x, dv xdx Khi du e dx x2 ,v x x2 e2 e2 x ln xdx ln x xdx e A 1 2 1 4 e e b) Đặt u ln x, dv x2 x 1 dx thì: e e x3 x x3 x 1 B x ln x x dx x 1 e x2 x e3 e 2e3 e2 31 e 1 dx 3 36 1 Bài tốn Tích tính phân: ln x dx x e a) I x b) J ln x dx Giải e a) I 1 ln x 1 e d 1 ln x 1 ln x 2 3 b) J ln x d ln x ln x 3 ln 3 3 Bài tốn Tính tích phân: e ln x a) A dx x ln x dx x2 b) B Giải a) A 2 ln xd x x ln x 2 4 1 e dx dx 4ln x x 1 1 b) B ln xd ln x dx x x e x 1 e e Bài tốn Tính tích phân: /2 a) cos x ln sin x dx /4 b) B ln x 1 dx x 1 Giải /2 a) A ln sin x d sin x sin x.ln sin x /4 /2 /4 /2 2 2 ln sin x ln 4 /4 x 1 2x b) B x ln dx 3ln 6ln x 1 2 x 1 Bài tốn Tính tích phân: /2 cos xdx /4 ln 1 a) A ln x x 1 b) B dx x ln x x dx x2 Giải 1 ln x dx a) A ln x d x 1 x x 1 x 1 3 ln 3 dx 1 27 dx ln 1x x 1 16 3 x b) Đặt u ln x x , dv B x 1.ln x x x2 thì: dx 2ln Bài tốn Tính tích phân: e a) I 1 x ln x dx b) J sin x ln 1 cos x dx x ln x Giải e a) Ta có: I e 1 x ln x 3dx e 1 x ln x 1 ln x dx x ln x ln x ln x e dx x dx e 1 J x ln x x ln x 1 e e 2 dx 1 x ln x 1 ln x dx x ln x e Tính J Đặt t x ln x dt 1 ln x dx 1 e Khi x t , x e t e nên J dt 1 e ln t ln 1 e t Vậy ta có I e 1 ln 1 e b) Đặt t cos2 x dt 2cos x sin x dx sin xdx Khi x t , x t Ta có: 2 J 2 cos x ln 1 cos x sin xdx 2 2t 3 ln dt 2t 3 ln tdt Đặt u ln t , dv 2t 3 dt Khi du dt , v t 3t t 2 dt dt J t 3t ln t 2 t 3t 4ln 2 t 3 t t 1 2 2 t2 4ln 3t 4ln 2 1 Bài tốn 10 Tính tích phân: a) I x ln x x 1 ln xdx x 3ln x e b) J dx Giải a) I x 2ln x x 1 2 1 2ln x dx dx 3 x x x 1 2 2 1 ln x ln x 2 dx 2 dx 3 x 1 x 1 12 x 1 x 1 ln x Tính J x 1 Đặt u ln x, dv dx dx x 1 Ta có: J ln x x 1 Khi du dx 1 ,v x x 12 2 dx ln 1 dx x x 12 18 1 x x x 12 ln x ln ln ln 18 x x 18 ln ln 18 12 Suy I ln ln 2 ln ln 12 72 18 12 e b) Ta có J e Tính A e ln x dx 2 ln xdx x 3ln x ln x dx x 3ln x t 1 dx ln x Đặt t 3ln x dt x 3ln x Khi x t , x e t A t 1 2 t3 dt t 27 e Tính B ln xdx Đặt u ln x, dv dx Khi du dx ,v x x e B x ln x dx e e 1 e Vậy J A 2B 62 2 27 27 Bài tốn 11 Tính tích phân: 2 a) I x ln 3x x dx b) J sin x ln sin x dx Giải a) Đặt u ln 3x x2 , dv xdx Khi du 2x dx, v x 2 3x x x2 3x x dx Ta có: I x ln 3x x dx ln 3x x 2 3 x 1 2 2 ln x dx ln x 3x 9ln x 2 1 x 3 2 ln 9ln 6ln 2 Vậy I 6ln b) Đặt sin x t cos xdx dt 2 Khi x t , x t J 2sin x cos x ln sin x dx t ln tdt Đặt u ln t du dt ; dv tdt v t t 1 Ta có: J t ln t tdt ln t 2 2 Bài tốn 12 Tính tích phân: 1 ln a) I sin x ln 1 cos x dx b) J x 1 ln x x x 1 dx Giải a) Đặt t cos2 x dt sin xdx; Khi x t , x 2 t I ln tdt ln tdt Đặt u ln t dv dt Khi du Suy I t ln t t b) Ta có J Tính A ln x Đặt u ln x, dv dx dx x 1 Khi du ln x x 1 dt 2ln t 2ln t ln x dx dx x x 1 x 1 x 1 Ta có: dt v t t dx dx 1 ,v x x 1 3 ln x dx dx ln x 1 x 1 x x 1 dx dx dx 1 Do đó: J ln 2 ln x x 1 x x 1 ln ln x ln x ln 2ln 4 Bài tốn 13 Tính tích phân: e a) I ln x dx x 3ln x e b) J 1 xe x dx x e x ln x Giải a) Đặt 3ln x t ln x dx 2t t 1 dt nên x 3 Khi x t 1; x t t 1 e 4 ln x 2t 80 1 I dx dt 2 t 11 dt t 11t 3 3 1 x 3ln x 1 1 xe b) Đặt t e ln x dt e x dx dx x x x x Đổi cận: x t e; x e t ee 1 xe x Suy ra: J x dx x e ln x e Vậy: J ln ee 1 ee 1 e dt ee 1 ln t e ln ee 1 t