Tich phan ham huu ti va ham luong giac toan 12

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán Tính f x dx g x Trong đó f(x) và g(x) là các đa thức theo biến x có bậc lần lượt là m và n • Trường hợp 1 m ≥ n Lấy f(x) chia cho g(x[.]

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài tốn: Tính f x dx Trong f(x) g(x) đa thức theo biến x có bậc g x m n • Trường hợp 1: m ≥ n Lấy f(x) chia cho g(x) để đưa nguyên hàm • Trường hợp 2: m < n Phương pháp hệ số bất định Bước 1: Đưa g(x) dạng g(x) = (ax+b) (cx+d)n(px2+qx+r) (Trong px2+qx+r = vô nghiệm) Bước 2: Đặt f x g x A ax b B cx C d cx d N cx d n Bước 3: Quy đồng mẫu đồng hệ số (1) để tìm giá trị A, B, C, …, M, N, P Một số trường hợp đặc biệt: a) Bậc f(x) nhỏ bậc g(x) đơn vị (m=n-1) Thử đặt t = g(x) tính dt • Nếu dt = k f(x)dx sử dụng • Nếu dt ≠ k g(x)dx sử dụng phương pháp hệ số bất định b) Tích phân dạng : • Nếu ax2+bx+c=0 có nghiệm phân biệt sử ta sử dụng phương pháp hệ số bất định • Nếu ax2+bx+c=0 có nghiệm kép x=x0 , sau đặt t=x-x0 • Nếu ax2+bx+c=0 vơ nghiệm ta sử dụng phương pháp lượng giác hoá c) Một số nguyên hàm cần nhớ: B BÀI TẬP Ví dụ 1: Tính tích phân sau: x  3x  2 x3  x dx a) b)  x   dx x   3x   2 tan x  sin xdx c) I    sin x d) I   cos x  tan x  1 dx Lời giải a) Đồng hệ số: x  3x  A B C    x( x  1)( x  1) x x  x   x  3x   A  x  1 x  1  Bx  x  1  Cx  x  1 (1)  x    2B B 1   Xét PT (1) cho  x   2   A   A   x  1   2C C      Khi ta có I      dx   ln x  ln x   ln x   x x 1 x 1 2  ln b) Đồng Ta có I    c) I    3  ln  ln 7x  7x  A B C     2 x 1 x  x  3x   x  1  x    x  1  x   dx  2   1 x 1      ln  dx    x 1 x  2 x   x  x  2   x  1  x 1     d  cos x  sin xdx sin xdx sin xdx     2   sin 3x  3sin x  4sin x   4sin x  cos x  2 6 dt  I    4t  t  cos x 2  dt 2t   ln  2t  1 2t  1 2t  3   ln     ln  tan x  d) Ta có I   cos x  tan x  1 dx Đặt t  tan x  dt  dx cos2 x x0t 0 Đối cận  t 1 I  x  2t  1  t 1 2t   1 dt dt 1 1  dt     3     2t  1  2t  1  2t  1  2t   2t  12  dt  1      18 xdx  a ln  b ln  c với a, b, c  Tính giá trị biểu x  x  Ví dụ 2: Cho tích phân I   thức T  a  2b  3c A T  B T  C T  2 D T  1 Lời giải  x  1   x  1 xdx xdx   dx 2 x  1 x  1  x  1 x  1 x  3x   I  1  ln x         dx   ln x    x  2x      a 1  1   ln  ln  b   2    c0 Do T  a  2b  c  Chọn A x2  x  dx  a ln  b ln  c với a, b, c  Tính giá trị biểu x2  x Ví dụ 3: Cho tích phân I   thức T  a  bc A T  B T  C T  D T  1 Lời giải 4 d x2  x  x2  x   2x      ln x  x I  dx  dx  3 3 x  x x2  x 4   ln 20 12  a 1    ln  ln  ln   b  1  T  1 Chọn D c2  ln Ví dụ 4: Cho tích phân  3e dx  a  b ln  c ln với a, b, c  x 2 Tính giá trị biểu thức T  a  3b  2c A T  1 B T  2 C T  D T  1 Lời giải Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx Đổi cận x   t 1 x  ln  t  dt  3t    3t 1    dt      dt t 3t   t  3t    t 3t    2 Khi I    ln t  ln 3t   2  1 ln  ln   ln  ln 2 2 Do a  0; b  1; c   T  2 Chọn B Ví dụ 5: Cho tích phân I   sin x   sin x  dx  a  ln b, với a, b số hữu tỷ Mệnh đề đúng? A 3a  2b  2 B 3a  2b  1 C 3a  2b  D 3a  2b  Lời giải x   t   Đặt t  sin x  dt  cos xdx đổi cận    x   t   Khi I   2sin x   sin x     2  ln t   t 2  cos xdx  2 t t  2 dt 2 t 22 t  2   t dt 2    dt t   t  2      a   2     ln   ln     2.ln  a  2.ln b   Chọn C 3   b3  Ví dụ 6: Cho tích phân I   2x  dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c  Tính giá trị biểu x3  x thức S  a  b  c A S  B S  C S  Lời giải 2x  x 1 x dx dx 2 x3  xdx  2 x. x  1 x  1dx  2 x. x  1  2  x  1 x  1 Ta có 6 D S  x 1  ln x x 1  ln x 1 15 1  ln  ln  ln  ln  ln 3 2 2 Do a  ; b  c    S  a  b  c  Chọn D    Ví dụ 7: Cho tích phân  2sin x  1 cos xdx 2sin x   a  ln  c ln với a, b, c  Khẳng định sau A b  c  a B b  c  2a C b  c  4a D b  c  4a Lời giải  I  2sin x  1 cos xdx 2sin x      2sin x  1 d  sin x  2sin x   2t     I   dt   1   dt 2t   2t  1 t sin x 1 2   t  ln 2t    1  ln   ln  ln  a  ; b  1; c   b  c  4a Chọn D 2 2    cos x  cos x  dx  a  b  c. với a, b, c  Tính tổng S  a  b  c Ví dụ 8: Cho tích phân A S  24 1 12 B S  C S  1 24 D S  5 24 Lời giải     cos     cos x dx x  cos x  dx   cos xdx   cos xdx   cos xd sin x   4 0   x sin x    1  sin x  d sin x      2 4    sin x    sin x      1     4 1 1      abc     Chọn A 12 12 24 Ví dụ 9: Cho tích phân I   dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c  Tính giá trị biểu x  2x thức T  a  b  c  A T  B T  5 18 C T  Lời giải 1 D T  1 2 2 dx dx x dx dx x3 I    3   3  ln 3 x  x   x3  x  2x x  x  2 x  x  2 1  a   12 1 1   ln   ln  ln  ln    b   a  b  c   Chọn D 6  c  1    sin x cos x dx  a ln  b ln  c với a, b, c  Tính tích P  abc  cos x Ví dụ 10: Cho tích phân I   A P  B P  C P  1 D P  Lời giải   sin x cos x cos x t dt t dt   t  cos x I dx   d  cos x       t    dt  cos x  cos x 1 t 1 t  1 t  0  t2     t  ln t   2  1 2 1 2  a2     ln  ln  ln    b  1  P  abc  Chọn B 8  1 c   1 ...  2 4    sin x    sin x      1     4 1 1      abc     Chọn A 12 12 24 Ví dụ 9: Cho tích phân I   dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c  Tính giá trị biểu x... x  dx  a  b  c. với a, b, c  Tính tổng S  a  b  c Ví dụ 8: Cho tích phân A S  24 1 12 B S  C S  1 24 D S  5 24 Lời giải     cos     cos x dx x  cos x  dx   cos xdx... giải 4 d x2  x  x2  x   2x      ln x  x I  dx  dx  3 3 x  x x2  x 4   ln 20 12  a 1    ln  ln  ln   b  1  T  1 Chọn D c2  ln Ví dụ 4: Cho tích phân  3e dx