TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tính nguyên hàm f x g x dx từng phần ta làm như sau – Bước 1 Đặt ''''u f x du f x dx dv g x dx v G x [.]
TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tính nguyên hàm f x g x dx phần ta làm sau: u f x – Bước Đặt du f ' x dx (trong G x nguyên hàm hàm dv g x dx v G x số g x ) – Bước Khi theo cơng thức ngun hàm phần ta có: f x g x dx f x G x G x f ' x dx Chú ý: Khi I f x g x dx f x g x hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ) Tức hàm số đứng trước câu nói ta đặt u hàm Ví dụ: u f x Nếu f x hàm log, g x hàm lại, ta đặt dv g x dx u g x Tương tự f x hàm mũ, g x hàm đa thức, ta đặt dv f x dx Một số dạng nguyên hàm phần thường gặp Dạng 1: I P x ln mx n dx, P x đa thức u ln mx n Theo quy tắc ta đặt dv P x dx sin x dx, P x đa thức cos x Dạng 2: I P x u P x Theo quy tắc ta đặt sin x dv cos x dx Dạng 3: I P x eaxb dx, P x đa thức u P x Theo quy tắc ta đặt ax b dv a dx sin x x e dx cos x Dạng 4: I sin x u Theo quy tắc ta đặt cos x x dv e dx B BÀI TẬP Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số sau: a) I1 x sin xdx b) I xe3 x dx c) I3 x2 cos xdx d) I x ln xdx Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: b) I x ln x 1 dx a) I5 x ln xdx c) I ln x x dx d) I8 e x sin xdx Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: a) I ln x 1 x 1 dx c) I11 x.sin x.cos xdx b) I10 d) I12 ln x 1 1 3x x 2e x x 2 2 dx dx Ví dụ 4: Tính nguyên hàm sau: a) I13 x ln x2 1 dx b) I14 x tan xdx c) I15 x2 ln x2 1 dx d) I16 x sin xdx Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I ln x 2 dx A I x ln x x C C I x ln x C x2 B I x 2 ln x 2 x C D I x ln x C x2 Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I x ln x 1 dx A I x2 x2 x ln x 1 C B I x2 1 x2 x ln x 1 C C I x2 1 x2 x ln x 1 C x2 1 x2 x ln x 1 C D I Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I x 2 e x dx A I x 3 e x C B I x 1 e x C D I x 1 e x C C I xe x C Ví dụ 8: Giả sử F x nguyên hàm hàm số f x x 1 sin x Biết F 3, tìm F x A F x x 1 cos x 2sin x B F x x 1 cos x 2sin x C F x x 1 cos x 2sin x D F x x 1 cos x 2sin x Ví dụ 9: Tìm ngun hàm I ln xdx x 1 A I ln x ln x C x 1 B x ln x ln x C x 1 C I x ln x ln x C x 1 D I x ln x ln x C x 1 Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm I x cos xdx A I x sin x cos x C B I x sin x cos x C C I x cos x sin x C D I x cos x sin x C Ví dụ 11: Tìm ngun hàm I x 1 3x dx ta được: x.3x C A I ln B x 1 3x I ln 3x C ln C I x 1 3x 3x C D I ln x cos Ví dụ 12: Cho nguyên hàm x 1 3x ln 3x C ln xdx m.x n.x sin x p.cos x C m; n, p; C Tính giá trị P m n p 5 A P B P C P D P Ví dụ 13: Cho F x f x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm x cos x số f ' x tan x A f ' x tan xdx x sin x C x3 B f ' x tan xdx x sin x C x3 C f ' x tan xdx x cos x C x3 D f ' x tan xdx x cos x C x3 x2 Ví dụ 14: Cho F x 1 cos x x sin x nguyên hàm hàm số f x sin x Nguyên 2 hàm hàm số f ' x cos x là: A cos x x sin x C B sin x x cos x C C cos x x sin x C D sin x x cos x C Ví dụ 15: Cho F x e x x nguyên hàm hàm số f x x Tìm nguyên hàm hàm số f ' x ln x A x e x x ln x e x x C B x e x 1 ln x e x x C C x e x 1 ln x e x x C D x e x x ln x e x x C Ví dụ 16: Cho F x x sin x nguyên hàm hàm số f x e x Tìm nguyên hàm hàm số f ' x e x A x sin x cos x sin x C B e x cos x sin x sin x C C x cos x 2sin x sin x C D x cos x sin x sin x C Ví dụ 17: Cho F x x nguyên hàm hàm số f x x Tìm nguyên hàm f ' x ln x A f ' x ln xdx x 2ln x 1 C B f ' x ln xdx x 1 2ln x C C f ' x ln xdx x 2ln x 1 C D f ' x ln xdx x 2ln x 1 C 2 2 Ví dụ 18: Cho F x ln x nguyên hàm xf x Tìm nguyên hàm f ' x ln x 1 ln x C 2 B f ' x ln xdx x ln x C 1 ln x C 2 D f ' x ln xdx x ln x 1 C A f ' x ln xdx x C f ' x ln xdx x Ví dụ 19: Cho F x ln x nguyên hàm 1 f x x3 Tìm nguyên hàm f ' x ln x A f ' x ln xdx x 1 ln x C 2 B f ' x ln xdx x C f ' x ln xdx x 2ln x 1 C D f ' x ln xdx x 2 1 2 1 ln x C 2 1 ln x C 2 Ví dụ 20: Cho F x x tan x ln cos x nguyên hàm hàm số f x cos x Tìm nguyên hàm hàm số f ' x tan x A f ' x tan xdx ln cos x C B f ' x tan xdx ln sin x C C f ' x tan xdx ln cos x C D f ' x tan xdx ln sin x C Ví dụ 21: Gọi F x nguyên hàm hàm số f x ln x thỏa mãn điều kiện F 1 Tính giá trị biểu thức T 2F e log 3.log3 F e A T B T C T D T 17 Ví dụ 22: Gọi F x nguyên hàm hàm số f x xe2x thỏa mãn F 2 Tính ln F 2 A ln F 2 2 B ln F 2 C ln F 2 D ln F 2 Ví dụ 23: Cho F x nguyên hàm hàm số f x x.e x thỏa mãn F 0 1 Tính tổng S nghiệm phương trình F x x A S 3 B S C S D S 1 Ví dụ 24: Biết F x nguyên hàm hàm số f x x sin x thỏa mãn F 2 Tính giá trị biểu thức T 2F 8F 2 A T 6 B T 4 C T 8 D T 10 ... Tính nguyên hàm sau: a) I ln x 1 x 1 dx c) I11 x.sin x.cos xdx b) I10 d) I12 ln x 1 1 3x x 2e x x 2 2 dx dx Ví dụ 4: Tính nguyên hàm sau: a) I13 x... C A I ln B x 1 3x I ln 3x C ln C I x 1 3x 3x C D I ln x cos Ví dụ 12: Cho nguyên hàm x 1 3x ln 3x C ln xdx m.x n.x sin x p.cos x C m; n, p; C