BÀI TOÁN LIÊN QUAN MẶT CẦU I Phương pháp giải Phương trình mặt cầu ( )S tâm ( , , )I a b c bán kính R 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R hay Phương trình mặt cầu 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D[.]
BÀI TOÁN LIÊN QUAN MẶT CẦU I Phương pháp giải Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I (a, b, c) bán kính R: ( x a) ( y b) ( z c) R hay: Phương trình mặt cầu: x y z Ax 2By 2Cz D , A2 B C D có tâm I ( A, B, C ) bán kính R A2 B C D Chú ý: 1) Khoảng cách hai điểm A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) : AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 ) 2) Góc hai vectơ u ( x, y, z) v ( x, y, z) : cos(u, v) x.x y y z.z x y z x y z 3) Diện tích tam giác ABC: S AB AC 2 II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu sau đây: a) x y z x y b) 3x y 3z x y 15 z Giải a) Ta có: a 4.b 1, c 0, d nên a b c d 16 16 Mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) nên I (4; 1;0) bán kính R a b2 c d 16 b) Ta có: 3x y 3z x y 15 z x2 y z x y 5z 0 Do đó, mặt cầu có tâm I 1; ; có bán kính R 2 Bài tốn Tìm toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu sau đây: a) x y z x 18 y b) x y z x y z 100 Giải a) Ta có: x y z x 18 y x y z x y Do mặt cầu có tâm I ; 1;0 có bán kính R 3 b) Ta có: a , b , c 1, d 100 4 nên a b c d 100 Vậy khơng phương trình mặt cầu Bài tốn Cho phương trình ( S ) : x y z 2mx 4(m 1) y 2mz 3m 21 Tìm m để phương trình phương trình mặt cầu Giải Ta có: A m, B 2(m 1), C m, D 3m 21 Điều kiện phương trình ( S ) phương trình mặt cầu: A2 B C D m2 4(m 1) m2 3m 21 6m 11m 17 m 17 hay m Vậy phương trình cho phương trình mặt cầu m 17 hay m Bài toán Cho phương trình: x y z x cos y sin z (4 sin ) Tìm để phương trình phương trình mặt cầu tìm để bán kính mặt cầu nhỏ Giải Ta có: A cos , B sin , C 2, D (4 sin ) A2 B C D cos sin sin sin , Vậy phương trình cho phương trình mặt cầu với Ta có R sin R k , (k Z) Bài tốn Cho phương trình với tham số: x y z 2(sin 1) 2(sin 1) y cos z (1) a) Chứng minh (1) phương trình mặt cầu, xác định tâm bán kính mặt cầu b) Tìm bán kính lớn nhất, nhỏ mặt cầu đó, xác định tâm mặt cầu trường hợp Giải a) Ta có a sin 1, b sin 1, c cos d a b c d sin 0, x Vậy phương trình (1) xác định mặt cầu tâm I (a; b; c) bán kính R a b2 c d sin b) Ta có sin nên : Max R= sin k Min R= sin k Khi max R= ta có tâm mặt cầu là: I1 (0; 2;0) I (2;0;0) Khi R= ta có tâm mặt cầu là: I (1;1;1) I (1;1; 1) Bài toán Cho bốn điểm A(3; 2;0), B(1;3; 2), C(1;0;1), D(0; 1;3) Tìm tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện: a) MA2 MB 23 b) MA MB MC MD MA MB 2MC Giải a) Gọi M ( x; y; z ) điểm thoả mãn yêu cầu tốn Ta có: MA2 MB 23 ( x 3)2 ( y 2)2 z ( x 1) ( y 3) ( z 2) 23 x2 y z 2x y 2z 5 Vậy tập hợp điểm M cần tìm mặt cầu tâm I (1; ;1) , bán kính R b) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, I trung điểm AB thì: 3 G ( ;1; ), I (1; ;1) 2 Ta có MA MB MC MD 4MG MA MB 2MC 2MI 2MC 2CI Do MA MB MC MD MA MB 2MC MG 2CI MG CI : không đổi Vậy tập hợp điểm M cần tìm mặt cầu tâm 3 G ( ;1; ) bán kính R có phương trình 4 2 3 25 x ( y 1) z 4 16 Bài toán Cho tứ diện OABC có A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0; 4) a) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC b) Tính thể tích hình chóp O.ABC Giải a) Phương trình mặt cầu ( S ) cần tìm có dạng: x y z Ax By 2Cz D Ta có ( S ) qua gốc O (0; 0; 0) nên D Vì ( S ) qua điểm A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0; 4) nên ta có hệ: 4 A A 1 16 8B B 2 16 8C C 2 Vậy phương trình mặt cầu là: x y 2` z x y z Cách khác: Ta có OA, OB, OC đơi vng góc nên gọi M trung điểm AB MI OC Từ suy tâm I (1; 2; 2) b) Thể tích hình chóp O.ABC: V SOAB OC OA.OB.OC 32 Bài toán Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 2), B(1;3; 2), C (4;3; 2), D(4; 1; 2) a) Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng b) Gọi A hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu ( S ) qua bốn điểm A , B, C, D Giải a) Ta có AB (0;4;0), AC (3;4;0), AD (3;0;0) nên AB, AC (0;0; 12) AB, AC AD Vậy A, B, C, D đồng phẳng b) Hình chiếu A lên mp(Oxy ) A(1; 1;0) Gọi phương trình mặt cầu ( S ) : x y z Ax 2By 2Cz D ( S ) qua điểm A , B, C, D nên: 1 A B 0C D 2 A B D A 1 A B 4C D 8B 4C 12 B 1 16 A B 4C D 6 A 15 C 1 16 A B 4C D 8B D Vậy mặt cầu ( S ) : x y z 5x y z Bài toán Cho bốn điểm A(1; 2; 2), B(1; 2; 1), C (1;6; 1), D(1;6; 2) a) Chứng minh ABCD hình tứ diện có cặp cạnh đối b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giải a) Ta có AB (2;0; 3), CD (2;0;3), BD (0;4;3) AB, CD BD nên ABCD tứ diện Ta có: AB CD, AC 16 BD , AD 16 BC Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối 2 b) Trung điểm AB E (0; 2; ) , CD F (0; 6; ) Ta có EF (0;4;0) nên EF.AB 2.0 0.4 3.0 0, EF.CD Do EF đoạn vng góc chung AB CD Vậy d ( AB, CD) EF 16 c) Trung điểm EF (0; 4; ) Ta có IA IB IC ID 29 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD 2 Vậy phương trình x ( y 4) ( z ) 29 Bài toán 10 Cho mặt cầu x y z x y z 14 a) Xét điểm M (1; 2;1) N (3; 1;3) điểm nằm điểm nằm ngồi mặt cầu? b) Lập phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu cho qua mặt phẳng ( xOz ) Hai mặt cầu có cắt khơng? Giải a) Ta viết phương trình mặt cầu cho dạng: ( x 1) ( y 3) ( z 1) 25 Mặt cầu có tâm I (1; 3; 1), R Ta có IM 12 22 R nên điểm M mặt cầu IN 16 16 R nên điểm N nằm mặt cầu b) Gọi I điểm đối xứng I qua mặt phẳng ( xOz ) điểm I có toạ độ I (1;3; 1) , bán kính R R Do mặt cầu đối xứng với mặt cầu cho trước qua mặt phẳng ( xOy ) có phương trình là: ( x 1) ( y 3) ( z 1) 25 Hai mặt cầu có khoảng cách hai tâm d II Vì ta có d II R R 10 nên hai mặt cầu cắt theo giao tuyến đường trịn Bài tốn 11 Xét vị trí tương đối mặt cầu: (S1 ) : x2 y z 4x y z ( S2 ) : x y z x y z Giải Mặt cầu ( S1 ) có tâm I (2; 3; 1) , bán kính R Và ( S2 ) x y z x y 3z nên có tâm J ( ; 2; ), r 26 Ta có khoảng cách tâm IJ R r 3 25 38 1 , 4 26 26 , R r 3 2 Vì R r IJ R r nên mặt cầu cắt Bài toán 12 Cho mặt cầu ( S ) có phương trình x y z x y z hai điểm A(4; 2;0), B(2;1; 2) Chứng minh đường thẳng AB mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung Giải Mặt cầu có tâm I (2; 2;1) bán kính R Ta có SIAB 1 IH AB 89 , AB IA , IB 2 Do IH 2S IAB 89 3 R AB Vậy đường thẳng AB mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung