Phuong phap giai va bai tap ve cac bai toan lien quan den tong

DẠNG 9 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG 0 n k k k n k a C b   Phương pháp 1 Dựa vào khai triển nhị thức Newton 0 1 1 2 2 2( ) n n n n n n n n n n a b C a a bC a b C b C       Ta chọn những giá tr[.]

Trang 1

DẠNG 9 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG 0nk kknka C b

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

0112 22

(a b )n C anna bCn nan b Cn  b Cnnn Ta chọn những giá trị a b thích hợp thay vào đẳng thức trên ,

Một số kết quả ta thường hay sử dụng: * Cnk Cn kn* Cn0C1n  Cnn 2n* 0( 1) 0nkknkC * 222122200012nnnkkknnnkkkCC  C * 0(1 )nk knnkC aa 

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa

k) và biến đổi số hạng đó có hệ số khơng chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm số ngun dương n sao cho: 0 2 1 4 2 2nn 243

Trang 2

101101 1( 1)2( 1) 2( 1)nkknnkCCnn         Ví dụ 3 Tính tổng sau: S C n13n12Cn23n23Cn33n3  nCnnA n.4n1 B.0 C.1 D 4n1Lời giải: Ta có: 1133knnknkSkC    Vì 1 1 113 3kkkknnkC   n  C         k 1nên 11111101 13 3 3 3kknnnknknnkkSnCnC            1 1 113 (1 ) 43nnnnn   Ví dụ 4 Chứng minh đẳng thức sau 1 C Cm0 nkC C1mnk1  C Cmkn0 Cm nk với m n,  ,0 k min m n,2 C20nC22n  C22nn C12nC23n  C22nn13 0 k 1 k 11 k 0 2kknnnnnn knC C C C   C C   C với 0 k n  Lời giải: 1 Xét khai triển: 0( ) (1 )m nm nkkm nif xxCx   (1)

Ta có thể khai triển f x theo cách khác như sau ( )

00( ) (1 ) (1 )nnjjnmiinnijf xxxC xC x          (2) Hệ số của x trong khai triển (1) là: kk

m n

C 

Hệ số của x trong khai triển (2) là: k