Phuong phap giai va bai tap ve cac bai toan lien quan den bien ngau nhien roi rac

DẠNG 4 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Phương pháp 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với m[.]

Trang 1

DẠNG 4 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Phương pháp

1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực:

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là   Xa hay Xa

Giải sử X có tập các giá trị là {x1, x2,…,xn}

Đặt:p1  P X x1, , pn P X xn Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

X x1 x2 … … nxP 1pp2 … … np

2 Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1) Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức:

  1 11 nn niiiE Xx px px p     (2)

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu ( )V X , là một số được cho bởi công thức:

2 2 211( ) ( ) ( )nniiiiiiV XxE Xpx pE X   

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: ( ) X , là một số được cho bởi công thức: ( )XV X( )

 

Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X

Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X

Bài toán 01: Lập bảng phân bố xác suất

Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngãu nhiên X ta làm như sau

 Tìm tập giá trị của X

Để tìm tập giá trị của X ta có thể tiến hành theo hai cách sau

Cách 1: Dựa vào cách mô tả của X ta có thể liệt kê được các giá trị cảu X có thể nhận, khơng

cần mơ tả khơng gian mẫu

Cách 2: Liệt kê các kết quả của không gian mẫu ; với mỗi kết quả a, tính giá trị X a của ( )biến cố X tại a Từ đó ta có tập giá trị của X( )

. Giả sử X( ) x x1, 2, ,xn, tính ( )( ) iiiXxpP Xx    Lập bảng phân bố xác suất

Ví dụ Ta có hai hộp bi: hộp 1 có 3 bi trắng và 1 bi đỏ; hộp 2 có 2 bi trắng và 2 bi đỏ Lấy ngẫu

Trang 2

Lời giải:

 Lấy 2 viên từ hộp 1 Có thể có 2 trường hợp sau:

TH 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 1 có 2 trắng, hộp 2 có 3 đỏ, 3 trắng TH 2: 2 trắng, suy ra hộp 1 có 1 trắng, 1đỏ, hộp 2 có 4 trắng, 2 đỏ  Lấy 2 viên từ hộp 2 Với TH1 ta có 3 khả năng Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng suy ra hộp 2 có 2 đỏ, 2 trắng, hộp 1 có 3 trắng, 1 đỏ Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng; hộp 1 có 2 đỏ, 2 trắng Khả năng 3: 2 trắng, suy ra hộp 2 có 3 đỏ, 1 trắng; hộp 1 có 4 trắng

Với TH2 ta có các khả năng sau

Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng, hộp 1 có 2 trắng, 2 đỏ Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 có 4 trắng; hộp 1 có 3 đỏ, 1 trắng

Khả năng 3: 2 trắng suy ra hộp 2 có 2 đỏ, 2 trắng; hộp 1 có 3 trắng, 1 đỏ

Vậy sau khi chuyển qua, chuyển về thì hộp 1 có thể có X = 1, 2, 3, 4 và hộp 2 có Y = 1, 2, 3, 4

Ta có: P(X=1)= P(lần đầu chọn 2 trắng và lần sau chọn 2 đỏ) Suy ra : 223222461( 1) 30C CP XC C  Tương tự:  11 31 2332 14 1222224646112 30C C CC C CP XCCCC     11 13 13 1332 242222464613 2C C C CC CP XCCC C    11213322461( 4) 10C C CP XCC  Bảng phân bố xác suất X 1 2 3 4 P 130113012110

Bài toán 02: Tính kỳ vọng và phương sai

Phương pháp: Để tính kỳ vọng và phương sai của biến cố ngẫu nhiên X ta làm như sau:

 Tìm tập giá trị X( ) x x1, 2, ,xn Lập bảng phân bố xác suất X x1 x2 … … nxP 1pp2 … … np Tính kì vọng theo cơng thức: 1( )niiiE Xx p

 Tính phương sai theo cơng thức:

Trang 3

Ví dụ 1 Ta có hai hộp bi: hộp 1 có 3 bi trắng và 1 bi đỏ; hộp 2 có 2 bi trắng và 2 bi đỏ Lấy ngẫu

nhiên từ hộp 1 ra 2 viên bi và bỏ vào hộp 2 Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 ra 2 viên bỏ vào hộp 1 Gọi X là số bi trắng ở hộp 1 sau hai lần chuyển bi như trên Tính kì vọng, phương sai và độ

lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X

Lời giải: Ta có bảng phân bố xác suất X 1 2 3 4 P 130113012110Kì vọng của X là: 1 11 1 1 8( ) 1 2 3 4.30 30 2 10 3E X     

Phương sai của X là:

22228 1 8 11 8 1 8 1 22( ) 1 2 3 4 3 30 3 30 3 2 3 10 45V X                           Độ lệch chuẩn của X: ( )X  V X( )0,699

Ví dụ 2 Số vị vi phạm an tồn giao thơng trên một đoạn đường vào giờ cao điểm làm một biến

ngẫu nhiên rời rạc và cho biết X0,1,2,3,4,5: ( 0) 0,2

P X  , P X(  1) 0,15, P X( 2) 0,15 , P X( 3) 0,4 , P X( 4) 0,05 , ( 6) 0,05

P X 

1 Lập bảng phân bố xác suất và tính xác suất để trên đoạn đường đó vào giờ cao điểm có khơng

q 3 vụ tai nạn giao thơng;

2 Tính kì vọng và phương sai của X

Lời giải:

1 Ta có bảng phân bố như sau