BÀI TẬP HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU I Phương pháp giải 1 Hình cầu Khi quay một hình tròn quanh tâm O, bán kính R một vòng quanh đường sinh AB cố định thì được một hình cầu 2 Cắt[.]
BÀI TẬP HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU I Phương pháp giải Hình cầu: Khi quay hình trịn quanh tâm O, bán kính R vịng quanh đường sinh AB cố định hình cầu Cắt hình cầu mặt phẳng phần mặt phẳng nằm hình (mặt cắt) hình nón Diện tích mặt cầu: Tính diện tích mặt cầu cơng thức: S 4 R2 hay S d (R bán kính, d đường kính) Thể tích hình cầu: Tính thể tích hình cầu công thức V R3 (V thể tích R bán kính) II Bài tập Bài (30/124/SGK T2) Nếu thể tích hình cầu 113 cm3 kết sau kết bán kính (Lấy (A) 2cm; (B) 3cm; (C) cm; 22 )? (D) cm; (E) Một kết khác Giải Muốn tính bán kính hình cầu biết thể tích hình cầu đó, ta dựa vào cơng thức tính thể tích hình cầu: V V R R 3,14 R cm R3 4.3,4 113 Vậy đáp án (B) đáp án Bài (31/124/SGK T2) Hãy điền vào ô trống bảng sau số thích hợp: Bán kính hình cầu 0,3 mm 6,21 dm 0,283 m 100 km hm 50 dam Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu Giải Bán kính hình cầu 0,3 mm 6,21 dm 0,283 m 100 km hm 50 dam Diện tích mặt cầu 11,13 mm2 484,37 dm2 m2 125600 km2 452,16 hm2 31400 dam2 Thể tích hình cầu 0,11 mm3 1002,63 dm3 0,09 m3 4166666 km3 904,32 hm3 523333 dam3 Bài (32/125/SGK T2) Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường trịn đáy r Chiều cao 2π (đơn vị cm) Người ta khoét rỗng thành hai nửa hình cầu hình 108 Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại (diện tích ngồi lẫn trong) Giải Theo đề phần ta phải tính diện tích gồm diện tích xung quanh khối gỗ hình trụ bán kính đường trịn đáy r (cm) Chiều cao 2r (cm) diện tích nửa mặt cầu bán kính r (cm) Diện tích xung quanh khối gỗ hình trụ là: 2 r.h 2 r.2r 4 r cm2 Diện tích hai nửa mặt cầu là: 4 r 4 r 8 r cm2 Bài (33/125/SGK T2) Dụng cụ thể thao: Các loại bóng bảng sau có dạng hình cầu Hãy điền vào ô trống bảng sau số thích hợp (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Loại bóng Quả bóng gơn Đường kính 42,7 mm Độ dài đường trịn lớn Quả khúc cầu Quả ten-nít Quả bóng bàn Quả bi-a 6,5 cm 40 mm 61 mm 23 cm Diện tích Thể tích Giải Muốn giải ta phải vận dụng cơng thức: * Cơng thức tính độ dài đường trịn: C 2 R hay C d * Cơng thức tính diện tích mặt cầu S 4 R2 hay S d * Cơng thức tính thể tích hình cầu bán kính R: V R3 Loại bóng Quả bóng gơn Quả khúc cầu Quả ten-nít Quả bóng bàn Quả bi-a Đường kính 42,7 mm 7,32 cm 6,5 cm 40 mm 61 mm Độ dài đường tròn lớn 0,34,08 mm 23 cm 21,41 cm 125,6 mm 191,54 mm Diện tích 5725 mm2 168,25 cm2 132,66 cm2 5024 mm2 11683,9 mm2 Thể tích 40743 mm3 205,26 cm3 143,72 cm3 33493 mm3 118786,7 mm3 Bài (34/125/SGK T2) Khinh khí cầu nhà Mông-gô-ti-ê Ngày 4/6/1783 anh em nhà Mông-gô-ti-ê (người Pháp) phát minh khí cầu dùng khơng khí nóng Coi khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Giải Khinh khí cầu có bán kính 11 : 5,5 m Diện tích mặt khinh khí cầu là: 4.3,14 5,5 379,94 m2 Bài (35/126/SGK T2) Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ (hình 110) Hãy tính thể tích bồn chứa theo kích thước hình vẽ Giải Muốn tính thể tích bồn xăng ta phải tính diện tích đáy Muốn tính diện tích đáy bồn phải tính bán kính mặt đáy Bồn xăng hình trụ có bán kính mặt đáy 1,80 : 0,9 m Chiều cao bồn xăng hình trụ 3,62m Ta sử dụng cơng thức tính thể tích hình trụ: V Sh R2 h Thể tích bồn xăng là: V 0,9 3,62 0,9 12,26 m3 Bài (36/126/SGK T2) Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước cho hình 111 (đơn vị đo cm) a) Tìm hệ thức x h AA’ có độ dài không đổi 2a b) Với điều kiện câu a) tính diện tích bề mặt thể tích chi tiết máy theo x a Giải a) Theo đề bán kính hình cầu x AA h 2x 2a h 2x Đây hệ thức x h AA’ có độ dài khơng đổi b) Với 2a h x h a x Diện tích phần hình trụ là: S 2 r.h Diện tích hai nửa mặt cầu là: S 2 r.h Diện tích hai nửa mặt cầu 4 r .2 4 R2 Diện tích bề mặt chi tiết máy là: 2 r.h 4 r 2 r h 2r 2 rx.2a 4rx.a Gọi thể tích phần hình trụ chi tiết máy V1 ta có: V1 r h 2 x a x Gọi thể tích hai nửa hình cầu chi tiết máy V2 ta có: 4 V2 r x 3 Thể tích chi tiết máy là: 2rx 2 x 2 x a x x a x x 3a x 3 Bài (37/126/SGK T2) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R ; Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M, vẽ tiếp tuyến MP cắt By N a) Chứng minh ∆MIN ∽ ∆APB b) Chứng minh hệ thức AM.BN R2 c) Tính tỉ số SMON SAPB AM R d) Tính thể tích hình nửa đường trịn APB quay quanh AB sinh Giải Nử a đườ ng trò n (O; R) đườ ng kính AB Ax AB; By AB GT M Ax , MP OP MP By N *ΔMON ∽ΔAPB * AB.BN R S KL * MON ? sAPB R * Thể tích hình cầu Khi AM Chứng minh a) Chứng minh ∆MON ∽ ∆APB µ1 A µ1 N µ B µ1 Muốn chứng minh ∆MON ∽ ∆APB ta phải chứng minh M µ B µ1 ta phải chứng minh tứ giác BOPN nội tiếp đường tròn Muốn chứng minh N Tứ giác AMPO có: · OAM 90 (Theo định lí: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiếp điểm) · OPM 90 (Theo định lí tiếp tuyến) · · · · OPM hai góc đối diện tứ giác OAM OPM 90 90 180 Mà OAM AMPO nên AMPO nội tiếp đường trịn đường kính MO (Theo định lí: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường trịn) µ1 µ » ) (1) M A1 (Hai góc nội tiếp chắn OP Tứ giác BOPN có: · OBN 90 (vì By tiếp tuyến (O) · OPN 90 (Định lí tiếp tuyến) · · · · OPN hai góc đối diện tứ giác BOPN nên OBN OPN 90 90 180 mà OBN BOPN nội tiếp đường tròn đường kính ON (theo định lí đảo định lí tứ giác nội tiếp) µ B µ1 (Hai góc nội tiếp chắn OP » ) (2) N ∆MON ∆APB có: µ1 µ M A1 (Theo (1) ∆MON ∽ ∆APB (g-g) µ B µ1 (Theo (2) N · APB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · APB 90 (Hai góc tương ứng hai tam ∆MON ∽ ∆APB (chứng minh trên) MON giác đồng dạng) Do ∆MON ∆APB hai tam giác vng đồng dạng b) Chứng minh AM.BN R2 Ta có MN OP (Định lí: Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm) = OP đường cao ứng với cạnh huyền MN ∆MON vuông O Từ ta có: OP2 PM.PN (Theo định lí hệ thức lượng tam giác vng: Trong tam giác vng bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền) Mà OP R PM AM (định lí: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: Điểm cách hai tiếp điểm) PN BN (Định lí: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm) Do AM.BN R2 c) Tính tỷ số diện tích ∆MON ∆APB Với giả thiết AM R kết câu b) AM.BN R2 BN 2R MN MP PN AM BN R 5R 2R 2 Lại có ∆MON ∽ ∆APB (chứng minh trên) nên: SMON SAPB 5R 25R 2 MN 25R 25 4 R 16 R2 AB R Vậy tỉ số diện tích ∆MON ∆APB là: 25 16 d) Tính thể tích: Nửa hình trịn APB đường kính AB 2R quay quanh AB tạo hình cầu có bán kính R nên là: Vcầu R3 ... có: · OAM 90 (Theo định lí: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiếp điểm) · OPM 90 (Theo định lí tiếp tuyến) · · · · OPM hai góc đối diện tứ giác OAM OPM 90 90 180... Coi khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Giải Khinh khí cầu có bán kính 11 : 5,5 m Diện tích mặt khinh... mặt đáy 1,80 : 0 ,9 m Chi? ??u cao bồn xăng hình trụ 3,62m Ta sử dụng cơng thức tính thể tích hình trụ: V Sh R2 h Thể tích bồn xăng là: V 0 ,9 3,62 0 ,9 12,26 m3