50 bai tap goc co dinh o ben trong duong tron goc co dinh o ben ngoai duong tron co dap an toan 9

Trang 1

BÀI TẬP GểC Cể ĐỈNH Ở BấN TRONG ĐƯỜNG TRềN GểC Cể ĐỈNH Ở BấN NGOÀI ĐƯỜNG TRềN

I Phương phỏp giải

1 Gúc cú đỉnh ở bờn trong đường trũn

Hỡnh bờn, đường trũn O cú hai dõy AB và CD cắt nhau tại E nằm bờn trong đường trũn BEDcú đỉnh E nằm bờn

trong đường trũn nờn được gọi là gúc cú đỉnh ở bờn trong đường trũn

Mỗi gúc cú đỉnh nằm bờn trong đường trũn đều chắn hai cung, một cung nằm bờn trong gúc cũn cung kia nằm bờn trong gúc đối đỉnh của gúc đú

Định lớ:

Số đo của gúc cú đỉnh ở bờn trong đường trũn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

2 Gúc cú đỉnh ở bờn ngoài dường trũn

Hỡnh (1)

Gúc BEC cú hai cạnh cắt đường trũn  O Hai cung bị

chắn là hai cung nhỏ AC và BD

Hỡnh (2)

BECcú một cạnh là tiếp tuyến và cạnh kia cắt  Otại AB Hai cung bị chắn là hai cung nhỏ AC và BC

Hỡnh (3)

BEC cú đỉnh nằm trờn  O hai cạnh là hai tiếp tuyến của

đường trũn  Otại B và C Hai cung bị chắn là cung nhỏ BC

và cung lớn BC

Định lớ: Số đo của gúc cú đỉnh bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

II Bài tập

Trang 2

Cho đường trũn  Ovà hai dõy AB và AC Gọi M, N lần lượt là điểm chớnh giữa của cỏc cung AB và AC Đường thẳng MN cắt AB tại E, cắt dõy AC tại H

Chứng minh AEHlà tam giỏc cõn

Giải GT Đường trũn  ODõy AB và dõy AC ;AMMB ANNCMNABEMNACHKL AEHcõn Chứng minh

Bài này ta phải chứng minh AEH cõn

Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn ta sử dụng một trong cỏc cỏch đó nờu ở cỏc bài trờn

Bài này ta dựng cỏch nào để chứng minh AEHcõn?

Với giả thiết “Điểm chớnh giữa”, “của cỏc cung”, đó cú điểm chớnh giữa của cung thỡ cú cỏc cung bằng nhau Đó cú cung bằng nhau sẽ cú gúc bằng nhau Do thế: Muốn chứng minh

AEH

 là tam giỏc cõn ta phải chứng minhAEH AHE

AEH và AHElà hai gúc cú đỉnh ở trong đường trũn

Muốn chứng minh được AEH AHEta phải cú cỏc cung bị chắn bởi hai gúc này bằng nhau

Do M là điểm chớnh giữa của AB(giả thiết) nờn cũng do N là điểm chớnh giữa của cung AC

nờn: .AMBMAMCNBMANCNAN  2sủAEH sủANBM

(Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn)

2

sủAHEsủAM CN

mà AMCNBMAN(chứng minh trờn)

nờn AEH AHE AEHcõn tại A (Theo định lớ: Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ

tam giỏc đú là tam giỏc cõn)

Bài 2: (37/82/SGK T2)

Trang 3

Giải GT Đường trũn  ODõy AB = dõy AC Mcung nhỏ AC AMBCSAM n BC = s KL ASCMCAChứng minh

Bài này thuộc thể loại chứng minh hai gúc bằng nhau

Cú rất nhiều cỏch chứng minh hai gúc bằng nhau Chẳng hạn

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau ta chứng minh hai tam giỏc cú chứa hai gúc đú bằng nhau

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh tam giỏc chứa hai gúc đú là tam giỏc cõn

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh hai gúc đú là hai gúc so le trong (hoặc so le ngoài được tạo bởi hai đường thẳng song song là một cỏt tuyến)

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta

chứng minh hai gúc là cặp gúc đồng vị được tạo bởi hai đường thẳng song song là một cỏt tuyến

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh hai gúc đú là hai gúc đối đỉnh * Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh hai gúc đú cựng bự, hoặc cựng phụ với gúc thứ ba Hoặc cựng bự, cựng phụ với hai gúc bằng nhau

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh hai gúc đú cựng bằng gúc thứ ba * Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh hai gúc đú là hai gúc đối của một hỡnh bỡnh hành

Trang 4

* Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau, ta chứng minh số đo của hai gúc đú bằng hoặc bằng nửa số đo của một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau v.v

Thấy đú: cú rất nhiều phương phỏp chứng minh hai gúc bằng nhau

Ta cú: Dõy AB = dõy AC (giả thiết) ABAC(Theo định lớ: Trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau thỡ: Hai dõy bằng nhau, căng hai cung bằng nhau)

Lại cú AC CM AM.

Tương tự AB CMAM.

2sủ

sủASC AB CM

(Theo định lớ: Số đo của gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của gúc)

Vậy số đo của

.2

sủAM

ASC

(1) Số đo của ACM số đo của 2

AMhay 2sủsủACM  AM

(Theo định lý: Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta cú: ASCACM

Bài 3: (38/82/SGK T2)

Trờn một đường trũn, lấy liờn tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho 0

60



sđ ACsđCD sđ DB

Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Tiếp tuyến với đường trũn tại B và C cắt nhau tại T

a) Chứng minh AEBBTC

Trang 5

Giải GT Đường trũn  O060ACCDDB;CT OC BT OBKL * AEBBTC

* CD là phõn giỏc của BCT

a) Chứng minh AEBBTC

AEBvà BTClà hai gúc ở ngoài đường trũn  O

Muốn chứng minhAEBBTCta phải chứng minh được cỏc gúc này cú số đo bằng số đo của cỏc cung bằng nhau.

AEBchắn cỏc cung AB1800vàCD cú số đo 0

60 Mà

AEBlà gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn nờn:

 00001806012060 1222sủsủsủAEB AB CD    

BTC cũng là gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn và chắn cỏc cung lớn BCABACvà chắn cung nhỏ

BCBD CDnờn: 2sủsủBTCBCBDDC

 (Theo định lớ: gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn cú số đo bằng nửa

hiệu số đo của hai cung bị chắn)

    000000001806060602224012012060222sủsủBTCABACBDDC   Từ (1) và (2) ta cú 060 AEBBTC

b) Chứng minh CD là phõn giỏc củaBCT

Muốn chứng minh CD là phõn giỏc của BCT ta phải chứng minh đượcC1C2

1

Clà gúc được tạo bởi tia tiếp tuyến CT của đường trũn  Ovà dõy cung CD Nờn:

001603022sủ

sủC  CD  (Theo định lớ: Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dõy cung đi qua tiếp điểm, cú số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

002603022sủ

Trang 6

Từ (3) và (4) ta cú C1 C2 CDlà phõn giỏc của BCT

Bài 4: (39/83/SGK T2)

Cho AB và CD là hai đường kớnh vuụng gúc của đường trũn O Trờn cung nhỏ BD lấy một điểm M Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S Chứng minhESEM

Giải Đường trũn  OĐường kớnh AB và đường kớnh CD ABCDGT MBDMEOMMEABECMABSKL ESEMChứng minh

Bài toỏn này thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Trong cỏc thể loại toỏn, thể loại chứng minh hai đường thẳng bằng nhau là thể cú nhiều cỏch chứng minh vào bậc nhất

Cỏc bài trước đó nhắc đi nhắc lại cỏc cỏch chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài này chỳ ý: Hai đoạn thẳng đề bài yờu cầu chứng minh chỳng bằng nhau là hai cạnh của một tam giỏc Từ đú ta biết ngay muốn chứng minh ES EMta chứng minh EMS cõn Chứng minh EMS cõn bằng cỏch nào?

Với giả thiết: “Hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau” ta cú vuụng gúc thỡ cú cung bằng nhau, cung bằng nhau sẽ cú gúc bằng nhau

Và giả thiết: “Tiếp tuyến, dõy cung” cũng dẫn đến gúc bằng nhau

Với những giả thiết như vậy ta nghĩ ngay đến: Muốn chứng minhES EMta phải chứng minh

EMS

 cõn

Muốn chứng minh được EMS cõn ta chứng minh EMS ESM

EMSlà gúc tạo bởi tia tiếp tuyến ME và dõy cung MC chắn MBBCnờn

2sủ

sủEMS MBBC

(Theo định lớ: Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn) EMS là gúc cú đỉnh nằm bờn trong đường trũn nờn:



2sủ

sủESMACMB



Trang 7

Mà 14AC BC đường trũn  2 2sủsủsủsủMBBCEMSMBBCESM 

EMSESM EMScõn tại E (Theo định lớ: Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ

tam giỏc đú là tam giỏc cõn)ESEM

Bài 5: (40/83/SGK T2)

Qua điểm S nằm bờn ngoài đường trũn O, vẽ tiếp tuyến SA và cỏt tuyến BC của đường trũn

Tia phõn giỏc của BACcắt dõy BC tại D Chứng minhSASD

Giải GT Đường trũn  OS nằm ngoài  OSAOA SC O Bvà C

Phõn giỏc AE của BAC cắt BC tại D

KL SASD

Chứng minh

Bài này vẫn thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Cũng như bài 124, hai đoạn thẳng là hai cạnh củaSAD Muốn chứng minh SASDta chứng minh SAD cõn tại S

Do giả thiết cho dõy và tiếp tuyến ta nghĩ ngay đến cỏch chứng minh SAD bằng định lớ: “Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn”

Muốn chứng minh được SAD cõn tại S phải chứng minhSADSDA

SADlà gúc tạo bởi tiếp tuyến AS và dõy AD chắnABBE

SDAlà gúc cú đỉnh ở trong đường trũn chắn ABvàCE

Do AD là phõn giỏc của BACnờn A1 A2 BECE(Theo định lớ: Trong một đường trũn, hai gúc nội tiếp bằng nhau thỡ chắn hai cung bằng nhau)



2sủ

sủDASABBE



Trang 8



2sủ

sủSDAAB CE



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn) Mà CEBE (chứng minh trờn)

nờn sủABBE sủ AB CE  (2)

Từ (1) và (2) ta cú SADSDA SADcõn tạiSSASD

Bài 6: (41/83/SGK T2)

Qua điểm A nằm bờn ngoài đường trũn vẽ hai cỏt tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại điểm S nằm trong hỡnh trũn Chứng minh A BSM2.CMN.

Giải Đường trũn  OGT A nằm ngoài  O AC O Bvà C  AN O M và N BNMCSKL A BSM2.CMN.Chứng minh

Làm thế nào để chứng minh được A BSM2.CMN.

Ba gúc thuộc đẳng thức mà đề bài yờu cầu ta chứng minh thỡ Alà gúc cú đỉnh nằm ngoài đường trũn  O , BSMlà gúc cú đỉnh nằm ở trong đường trũn  O cũn CMNlà gúc nội tiếp Vậy cú vận dụng ba định lớ: Gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn, gúc cú đỉnh ở trong đường trũn là gúc nội tiếp để chứng minh đẳng thức này được khụng?

Ta cú: 

2sủ

sủACNBM



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn cú số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn)



2sủ

sủBSMBMCN



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của gúc)

Trang 9

Do đú ta cú: sủAsủBSM 2sủCMN hay A BSM2CMN.

Cỏc bạn hóy dựng định lớ: Gúc ngoài của tam giỏc để giải bài này

Bài 7: (42/83/SGK T2)

Cho ABCnội tiếp đường trũn  O P Q R,, lần

lượt là cỏc điểm chớnh giữa của cỏc cung BC, CA, AB

a) Chứng minh APQR;

b) AP cắt CR tại I Chứng minh CPIcõn

Giải GT Đường trũn  O;RARB AQQCBPPCAPCRIKL * APRQ* CPI cõn Chứng minh a) Chứng minh APRQ

Cõu này thuộc thể loại toỏn: Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau cú nhiều phương phỏp:

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đú tạo với nhau một gúc bằng 90°

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đú là hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đú vuụng gúc với một trong hai đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau ta chứng minh một đường thuộc cạnh đỏy cũn đường kia là phõn giỏc của gúc ở đỉnh cõn của một tam giỏc cõn

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đú chứa hai đường chộo của một hỡnh thoi

Trang 10

Cõu này ta sử dụng cỏch nào để chứng minh?

Cõu này cú nhiều cỏch chứng minh, ta chứng minh bằng hai cỏch:

Cỏch 1:

Gọi E là giao điểm của RQ và AB M là giao điểm của AP và RQ F là giao điểm của AC và RQ

Ta chứng minh AEFcõn tại A và AP là phõn giỏc củaEAF

Ta chứng minh AEF cõn tại A bằng cỏch sử dụng định lớ: Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng

nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn



2sủ

sủAEFAQBR



 (Theo định lý: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn)



2sủ

sủAFEAR CQ



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn)

Mà ARBR(vỡ R là điểm chớnh giữa của AB)

Và AQCQ(vỡ theo giả thiết Q là điểm chớnh giữa củaAC)

Do đú AEF  AFE AEFcõn tại A (Theo định lớ: Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ

tam giỏc đú là tam giỏc cõn) (1)

Theo giả thiết P là điểm chớnh giữa của BCnờn BPPCBAPPAC

 (Theo định lớ: Hai gúc nội tiếp một đường trũn chắn hai cung bằng nhau thỡ bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta cú APRQ(Theo tớnh chất của tam giỏc cõn: Tam giỏc cõn cú đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh cõn lại là đường cao của cạnh đỏy)

Cỏch 2:

Ta chứng minh AP tạo với RQ một gúc bằng 90° Gọi M là giao điểm của AP và RQ

AMQlà gúc cú đỉnh ở trong đường trũn nờn:



2sủ

sủARQAQRC



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn)

Trang 11

Vậy APRQ

b) Chứng minh CPIcõn

Làm thế nào để chứng minh được ICPcõn

Nhắc lại nhiều lần muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn, ta sử dụng một trong ba cỏch được vận dụng nhiều nhất để chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn

Cõu này ta sử dụng cỏch nào?

Với giả thiết: “Điểm chớnh giữa của cung”, từ “điểm chớnh giữa” dẫn đến cung bằng nhau, mà cung bằng nhau thường dẫn đến gúc bằng nhau Nờn ta chứng minh ICP cõn bằng định lớ: “Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn)

Ta cú:   2  224sủsủsủsủABBCBPBRABBCICP

 (Theo định lớ: Số đo của gúc nội tiếp

bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

  2  224sủsủsủsủABBCAR CPABBCICP (Định lớ gúc cú đỉnh ở trong đường trũn)

Từ (3) và (4) ta cú ICPPIC IPCcõn tại P

Bài 8: (43/83/SGK T2)

Cho đường trũn  Ovà hai dõy cung song song AB, CD (A và C nằm trong nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I Chứng minhAOC AIC

Giải GT Đường trũn  ODõy AB/ /dõy CD ADBCIKL AOCAIC

Bài này thuộc thể loại chứng minh hai gúc bằng nhau

AOClà gúc ở tõm chắn AC

AIClà gúc cú đỉnh ở trong đường trũn

Muốn chứng minh AOC AICta dựng định lớ: Gúc ở tõm và cung bị chắn: Định lớ gúc cú đỉnh ở trong đường trũn để chứng minh

Trang 12



2sủ

sủAICACBC



 (Theo định lớ: Gúc cú đỉnh ở trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn) mà ACBD(Theo định lớ: Trong một đường trũn hai cung chắn

giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau) 2

2

sủAICsủ AC sủAC (2)

Từ (1) và (2) ta cú AOC AIC

Bài 9: Cho đường trũn  Ođường kớnh AB Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường trũn Trờn Bx lấy điểm P bất kỳ Từ P kẻ tiếp tuyến PC với  O (C là tiếp điểm)

a) Tớnh BOCbiết 050 ;OAC b) TớnhCPB; c) Chứng minhAC/ /OP Giải GT Đường trũn  O đường kớnh AB 0,50Bx AB OACPBxPCOCKL * BOC?* CPB?* AC/ /OPChứng minh:

a) Tớnh số đo của BOC

Biết BOC là gúc ở tõm chắn cung BCMuốn tớnh được số đo của BOC ta phải tớnh được số đo của cung bị chắn làBC

Dựa vào giả thiết cho 0

50

OAC là gúc nội tiếp chắn BC

Theo định lớ: số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn nờn BCcú số đo là

00

22.50100

sủBCsủOAC Vậy 00

100100

BCBOC (Theo định lớ: Gúc ở tõm cú số đo bằng số đo của cung bị chắn)

b) Tớnh số đo của CPB

BFClà gúc cú đỉnh ở ngoài đường trũn nờn

22



sủBPC sủBAC sủBC

Trang 13

Mà 0180BA và 000018018010080 ACBCDo đú:  0000018080100260100222   sủ sủBPCBACBC00160802Vậy 080sủBPCc) Chứng minh AC // OP

Cõu này là thể loại toỏn chứng minh hai đường thẳng song song

Cú nhiều cỏch chứng minh hai đường thẳng song song, một cỏch chứng minh đó được nờu ở cỏc bài trước

Cõu này muốn chứng minh AC // OP ta dựng định lớ: Cỏch nhận biết hai đường thẳng song song

Do PO là tia phõn giỏc của BPC(Theo định lớ: hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm) nờn 0012804022PP P COP

 vuụng tại C (vỡ CP là tiếp tuyến của  O ) nờn 01190

O  P (Theo định lớ: Trong một tam

giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau) 0000

1901904050

O  P  (1)

Nờn ta chứng minh được C1O1thỡ CA // OP

AOC

 cú OAOC(cựng là bỏn kớnh của  O )  AOCcõn tại 0150

O AC  (2) Từ (1) và (2) ta cú AC // OP (vỡ O1 và C1 ở vị trớ so le trong)

Bài 10: Chứng minh định lớ: Hai cung chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau

Giải

Đọc kỹ đề bài, vẽ hỡnh ta thấy cú hai trường hợp xảy ra:

a) Hai dõy song song nằm cựng phớa đối với tõm của đường trũn chứa cung

b) Tõm của đường trũn nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai dõy song song

Chứng minh

a) Trường hợp tõm O của đường trũn nằm ngoài

phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng AB // CD (hỡnh a)

Trang 14

Muốn chứng minh được hai cung trong một đường trũn bằng nhau ta vận dụng cỏc kiến thức: * Trong một đường trũn, hai dõy bằng nhau thỡ căng hai cung bằng nhau

* Cỏc gúc nội tiếp bằng nhau chắn cỏc cung bằng nhau

* Hai gúc ở tõm bằng nhau, chắn hai cung bằng nhau của một đường trũn Ta dựng kiến thức nào để chứng minhACBD?

Ta nờn dựng kiến thức cơ bản núi về sự liờn hệ giữa gúc ở tõm và cung bị chắn Kẻ đường kớnh IK//AB//CD Ta cú: DCOCOI(hai gúc so le trong)

Và CDODOK(hai gúc so le trong)

COD

 cú OCOD(cựng là bỏn kớnh của một đường trũn)  CODcõn tại O (tam giỏc cú hai

cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn) DCOCDO(Theo định lớ: Tam giỏc cõn cú hai gúc ở đỏy bằng nhau) COI DOK(Hai gúc bằng hai gúc bằng nhau) IC KD(Hai cung bị chắn bởi hai gúc ở tõm bằng nhau)

Do IK // AB (cỏch vẽ) nờn A1O1và B1 O2

AOB

 cú OAOB(hai bỏn kớnh của một đường trũn)  AOBcõn O A1 B1(Tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau) O1 O2(hai gúc cựng bằng hai gúc bằng nhau)

AIBK

 (hai cung bị chắn bởi hai gúc ở tõm bằng nhau) Từ đú ta cú:

.

CIAI DKBKACBD

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau

b) Trường hợp tõm của đường trũn nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai dõy song song (hỡnh b) Kẻ đường kớnh IK//AB//CD Ta cú: 11A O (hai gúc so le trong); 12B O (hai gúc so le trong); Và C1O3(hai gúc so le trong); 14D O (hai gúc so le trong);

Muốn chứng minh được ACBD ta phải chứng minh được AI BKvàICKD

Trang 15

Muốn chứng minh O3 O4phải chứng minh C1 D1

AOB

 cú OAOB(hai bỏn kớnh của một đường trũn)  AOBcõn tại OA1 B1(Theo định lớ: Tam giỏc cõn cú hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Từ A1B1O1O2(vỡ A1 O1vàB1 O2) AI BK

(Hai cung bị chắn bởi hai gúc ở tõm bằng nhau) (1)

COD

 cú OCOD(hai bỏn kớnh của một đường trũn)  CODcõn tại OC1D1(Hai gúc kề đỏy mà một tam giỏc cõn)

34

OO

 (vỡ C1O3vàD1 O4 )

ICKD

 (Hai cung bị chắn bởi hai gúc ở tõm bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) ta cú AIICBKKDACBD.

Do đú: Hai cung bị chắn bởi hai dõy song song thỡ bằng nhau

Bài 11: Cho ABCđều nội tiếp đường trũnO R;  M là điểm bất kỳ thuộc cung BC

a) Chứng minhMAMBMC

b) Gọi D là giao điểm của MA và BC Chứng minh MDMD 1.

MB MC c) Tớnh tổng 222MA MB MCtheo R Giải GT ABC nội tiếp  OCú ABBCCA0 .60A B CMBCKL * AM MB MC* MDMD 1.MB MC * Tớnh 222MA MB MC theo R Chứng minh a) Chứng minhMAMBMC

Trang 16

Đến chương trỡnh hỡnh học lớp 9, chưa cú kiến thức cơ bản nào núi đến độ dài của một đoạn thẳng bằng tổng độ dài của hai đoạn thẳng khỏc Do đú bài này ta phải tạo ra một đoạn thẳng

trờn đoạn AM bằng đoạn BM

Trờn AM lấy điểm M sao cho MEMB(E nằm giữa A và M) (1)

Ta cũn phải chứng minhAEMC

Do MEMB(cỏch vẽ) nờn BMEcõn tại M

Lại cú 001206022sủAB

BME (Gúc nội tiếp cú số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn)

BME

  là tam giỏc đều (Theo định lớ: Tam giỏc cõn cú một gúc bằng 60° là tam giỏc đều)

BEEMMB

 Từ BMEđều ta lại cú: 0

1260

B B  Mà 0

3260

B B  (vỡ ABClà gúc nội tiếp chắn 0

120AC ) 13BB (vỡ cựng cộng với B2để bằng 60°) AEBvà CMBcú: 31

(hai cạnh của một tam giác đều) (chứng minh trên)(chứng minh trên)ABBCBBBEBM  AEBCMB   (c.g.c) AEMC

 (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) ta cúAEMEMCMBAM MBMC

b) Chứng minh MDMD 1.

MB MC 

Đó chứng minh đẳng thức cú liờn quan đến tỷ số ta phải sử dụng cỏc kiến thức cơ bản núi về tỷ số đó nờu ở cỏc bài trờn

Cõu này ta phải sử dụng tam giỏc đồng dạng (vỡ giả thiết cho tam giỏc đều, đó cú tam giỏc đều là cú đoạn bằng nhau và gúc bằng nhau)

MCD

 và MABcú: 0

60 (hai góc nội tiếp chắn hai cung có số đo bằng 120 ) (hai góc nội tiếp cùng chắn )

Trang 17

Do MCMBMA (chứng minh trờn) Do đú: MDMD MBMC MA1.MBMCMAMAc) Tớnh 222MA MB MCtheo R Theo cõu a) MAMCMBMCMA MB vàMBMA MC Đặt MAx MB; y Ta cú:  222222222.MA MB MC x y  x y  x  yxy (3) Kẻ CHAMta cú 060CMH  (gúc nội tiếp chắn 0120AC ) Nờn 030

MCH  (Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng, hai gúc nhọn phụ nhau)

2

yMH

 (Theo định lớ: Nếu tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn bằng 30° thỡ cạnh gúc vuụng đối diện với gúc đú bằng nửa cạnh huyền)

Do CHM vuụng tại H nờn 222

CM CH MH (định lớ Py-ta-go) 2 2 2 2 222222432444yyyyyMHCMCHy   y    2 2222322.24yyABAHBH x  xyxy    (4) Từ (3) và (4) ta cú 22222.MA MB MC  ABMà 22222 36.ABMA MB MC  R

Bài 12: ChoMAB, vẽ đường trũn  Ođường kớnh AB cắt MA tại C, cắt MB tại D Kẻ

,

APCD BQCD Gọi H là giao điểm của AD và BC

Trang 18

.BQCD QCDKL * CPDQ;*PD DQ PA BQ =. và QC CPPD QD; * MHAB.Chứng minh a) Chứng minh CPDQ;

Cõu này thuộc thể loại toỏn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Cú rất nhiều cỏch chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau như đó nờu ở cỏc bài trước cõu này với giả thiết “vuụng gúc”, cú hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ ba thỡ dĩ nhiờn cú hai đường thẳng

song song Cú song song dẫn đến hỡnh thang Cũn nữa “đường trũn đường kớnh AB dĩ nhiờn tõm O của đường trũn này phải là trung điểm của AB Từ trung điểm này cú thể dẫn đến

trung điểm khỏc Mà đó cú trung điểm thỡ tất nhiờn cú đoạn thẳng bằng nhau

Ta cú AP // BQ (cựng vuụng gúc với CD) APQBlà hỡnh thang (Theo định nghĩa: hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song)

Từ O hạ OKPQAP/ /OK/ /BQ(cựng vuụng gúc với CD) mà O là trung điểm của cạnh bờn AD nờn K là trung điểm của cạnh bởi PQ (Theo định lớ: Trong một hỡnh thang, đường

thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bờn và song song với hai đỏy thỡ đó qua trung điểm của cạnh bờn thứ hai)KPKQ. (1)

Với đường trũn  Ođường kớnh AB ta cú OKCDKCKD(2) (Theo định lớ: Trong một đường trũn, đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trung điểm của dõy ấy)

Từ (1) và (2) ta cú:PKCKQKDKPCDQ.

b) Chứng minh PD DQ PA BQ =. vàQC CP.PD QD. ; * Chứng minh PD DQ PA BQ =.

Muốn chứng minh tớch này bằng tớch kia cú nhiều cỏch chứng minh như đó nờu ở cỏc bài trước

Với giả thiết: “Đường trũn đường kớnh AB cắt MA tại C, cắt MB tại D” ta cú cỏc gúc nối tiếp

chắn nửa đường trũn, dẫn đến cỏc gúc phụ nhau, cỏc gúc bằng nhau từ đú dẫn đến tam giỏc đồng dạng Cú tam giỏc đồng dạng là cú tỷ số, cú tỷ lệ thức Cú tỷ lệ thức là cú tớch nọ bằng tớch kia: APD và PQB cú:  011290.    

 (cuứng phuù vụựi 

PQPDAPAPDDQB g cBQDQDBD∽ =.PD DQ AP BQ

Trang 19

* Chứng minh QC CP.PD QD. APC và CQB cú:  01290.   

 (cuứng phuù vụựi 

APCBQCQCBQAPCCQB g gAPPCCCBQC∽ PC QCAP BQ

 (Theo tớnh chất cơ bản của tỷ lệ thức)

Do PD DQ.PA BQ. (chứng minh trờn) (4) Từ (3) và (4) ta cú: QC CP.PD QD

c) Chứng minhMHAB

Muốn chứng minh MH ABta phải chứng minh H là trực tõm củaMAB 0

90

ADB (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng) ADlà đường cao ứng với cạnh

MB của MAB 0

90

BCA (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng) BClà đường cao ứng với cạnh

MA của MAB

Đường cao AD và đường cao BC của MAB cắt nhau tại HHlà trực tõm của MABMHcũng là đường cao ứng với cạnh AB Vậy MHAB

Bài 13: Cho đường trũn  Ođường kớnh AB Dõy cung CD cắt OA tại I Gọi H, E, K lần lượt là cỏc hỡnh chiếu của cỏc điểm A, O, B trờn CD Đường thẳng OE cắt BH ở F

a) Chứng minh F là trung điểm của BH

Trang 20

a) Chứng minh F là trung điểm của BH

Muốn chứng minh được F là trung điểm của BH, ta phải vận dụng được cỏc giả thiết “vuụng

gúc”, “đường kớnh”, “dõy”, “hỡnh chiếu” khi nào khai thỏc triệt để giả thiết thỡ sẽ giải bất kỳ bài toỏn nào cũng được

AHB

 cú O là trung điểm của cạnh AB

Lại cú OF // AH (vỡ cựng vuụng gúc CD) Flà trung điểm của BH (Theo định lớ: Trong

một tam giỏc, đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

b) Chứng minh

2

BKAHOE 

ABM

 cú O là trung điểm của cạnh AB (O là tõm đường trũn đường kớnh AB) F là trung điểm của cạnh BH (chứng minh trờn)

OF

 là đường trung bỡnh của

2

AHABHOF

 (Theo định lớ: Đường trung bỡnh của tam

giỏc thỡ song song và bằng nửa cạnh tương ứng)

BHKcú F là trung điểm của cạnh HB (chứng minh trờn) và FE // BK (vỡ cựng vuụng gúc với KH)

E

 là trung điểm của cạnh HK (Theo định lớ: Trong một tam giỏc, đường thẳng đi qua trung

điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai, thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

.2

BKEF

 (Theo định lớ: Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song và bằng nửa cạnh thứ ba) Suy ra 2BKAHOEEFOF   c) Chứng minh AI IK.IH IB.

Với giả thiết của bài này ta sử dụng định lớ về tam giỏc đồng dạng để chứng minh cú tam giỏc đồng dạng là cú tỷ số, cú tỷ số là cú tớch này bằng tớch kia

AHI và BKIcú:  01290.   

 (hai goực ủoỏi ủổnh baống nhau)

AHIBKIAHIBKI g gII∽ AIIHAI IKBI IHBIIK (Tớnh chất cơ bản của tỷ lệ thức)

Bài 14: Cho hai đường trũn  O và  O' tiếp xỳc ngoài tại A Đường nối tõm OO'cắt  Oở B,

cắt  O' ở C Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE của  O và  O' D O E; O' , hai tia BD và CE cắt nhau tại M

Trang 21

b) Chứng minh MD MB.ME MC

c) Tớnh độ dài đoạn DE biết bỏn kớnh của  O và  O' lần lượt là 4,5cm và 2cm

Giải GT Đường trũn  O và  O' tiếp xỳc ngoài tại A DEOD'DEO EBDCEM 'OO O B ''OO O CKL * MBC vuụng * MD MB.ME MC * Tớnh độ dài DE Chứng minh a) Chứng minh MBCvuụng

Muốn chứng minh MBC vuụng ta phải chứng minh 0

90

BMC hoặc 0

1190

B C 

Do DE là tiếp tuyến của  O nờn DEOD, tương tự 0

11

''180

DEO EO O  (vỡ O1và O'1là hai gúc trong cựng phớa củaOD/ /OE)

BOD

 cú OBOD  RBOD cõn tại OB1D1(Tam giỏc cõn cú hai gúc ở đỏy bằng nhau)

11



AODBD (Gúc ngoài của tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú) mà B1D1nờn AOD2B1.

Chứng minh tương tự của đoạn AOE2C1 2

1 00121180290222AODBAODAOIBCAOEC  MBC cú 01190B C  Suy ra 0  000111801809090BMC B C 

Vậy MBC vuụng tại M

Trang 22

b) Chứng minh MD MB.ME MC

Cú rất nhiều phương phỏp chứng minh tớch này bằng tớch kia

Với giả thiết của bài này nờn dựng định lớ về hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng để chứng minh

0

90

ADB (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng) 0

90ADMTương tự cũng cú 090AEM Lại cú 090

DME (chứng minh trờn)

ADME

 là hỡnh chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú 3 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật

DIIA

 (nửa hai đường chộo của một hỡnh chữ nhật) AMlà tiếp tuyến của  O hay

ABM

 vuụng tại A lại cú AD là đường cao thuộc cạnh huyền BM nờn:

2.

MA MB MD (Theo định lớ 1: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương mỗi cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền với hỡnh chiếu của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền) (1)

Tương tự cú ACMvuụng ở A, AE là đường cao ứng với cạnh huyền CM nờn 2

MA MC ME

(2)

Từ (1) và (2) ta cú MB MD.MC ME. (cựng bằng 2

MA )

c) Tớnh độ dài của DE khi R1,5cm R;'2cm

I là giao điểm của DE và AM

 24,5.29 AB OA cm 2 '2.24 AC O A cmMBC

 vuụng ở M (chứng minh trờn) cú

2DEMABC IA IDIE nờn: 2.MA  AB AC(Theo định lớ 2: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền) = 9.4 = 36

 

3666

=

MADEcm

  và DEMA(hai đường chộo một hỡnh chữ nhật)

Bài 15: Cho hai đường trũn tiếp xỳc ngoài tại A Kẻ hai bỏn kớnh OB và O C' sao cho

/ / '

OBO C

a) Chứng minh rằng khi cỏc bỏn kớnh OB và O C' thay đổi thỡ đường thẳng BC luụn luụn đi qua một điểm cố định I

b) Tớnh độ dài của IO và IO'biết bỏn kớnh của  O và  O' lần lượt cú độ dài là 5cm và 3cm

c) Tam giỏc ABC là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?

Trang 23

GT

O cm;5 tiếp xỳc ngoài với

O';3cm

Bỏn kớnh OB/ /bỏn kớnh O C''

BCOO I

KL

* BC luụn luụn đi qua điểm cố định I

* Tớnh độ dài IO và IO'

* ABCvuụng

a) Gọi I là giao điểm của OO' và BC Chứng minh I cố định

Cõu này thuộc thể loại chứng minh tớnh cố định của một điểm khi cỏc yếu tố liờn đới thay đổi

Muốn chứng minh một điểm cố định khi cỏc yếu tố tạo ra nú thay đổi ta phải tỡm mối liờn hệ của yếu tố này với cỏc yếu tố cố định và khụng đổi cú trong đề bài

OIB và O IC' cú: ''  (goực chung) (hai goực ủoàng vũ)

OIBO ICBOICO I '.''' OIB O IC g g  OI  OB  RO IO CR∽Hay: ' ' 1 ' ' '.'''''' O IOOROOROORRO IRO IRO IR Do đú ' ''OO R

RR khụng đổi (và OO' khụng

đổi; R' khụng đổi; R khụng đổi OB và O C' khụng đổi Iluụn luụn cố định khi BC thay

đổi)

b) Tớnh độ dài của IO và IO'

Từ '

''

OIOBOIO I

Trang 24

'

OKO

 và OBIcú: '

'

(goực chung) (hai goực ủoàng vũ)

KOOBOIOO KOIB   ''. OKO OBI g g OO OKOIOB∽Hay '   2OIOOOB  OKTừ (1) và (2) ta cú '' 3'OIO IOOOB O C  OKTứ giỏc BKO C' cú: / / ' ''/ / (giaỷ thieỏt) (caựch veừ)BKCOBKO CKOBC là hỡnh bỡnh hành

(Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành) KBO C' (Hỡnh bỡnh hành cú cỏc cạnh đối bằng nhau) = 3cm Do đú OKOBKB  5 32  cm ; OO'OAAO'  5 38  cmTừ đú ta cú: ' 5.8 40 2022 (cm)OB O COIOK' '3.824'1222O C OO  (cm)O IOK

c) Chứng minh ABClà tam giỏc vuụng

Với giả thiết bài này, muốn chứng minh ABC vuụng ta chứng minh 0

90

BAC 

Ta cú: 0

' 180

OABBAC CAO Nếu chứng minh được 0

'90

OAB CAO thỡ dĩ nhiờn 0

90

BAC 

AOB

 cú OAOBRnờn AOB cõn tại O

 018042AOBOAB 'AO C

 cú O A'O C'R' nờn AO C' cõn tại O'

 0180''52AO CO AC Cộng vế với vế của (4) và (5) ta cú: 00000360' 360 180 180'90222AOBAO COAB O AC 

Vậy ABCvuụng tại A

Trang 25

Giải GT Đường trũn OA ở ngoài đường trũn ABOBACOCQAQBNANCMQNMKOKKL MKMAChứng minh:

Gọi J là giao điểm của AO và QN ABC

 cú AB AC(Theo định lớ: Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ: a) Điểm đú cỏch đều hai tiếp điểm

b) Đường kẻ từ điểm đú qua tõm là phõn giỏc của gúc tạo bởi hai tiếp tuyến

c) Đường nối từ tõm đến điểm đú là phõn giỏc của gúc tạo bởi hai bỏn kớnh đi qua hai tiếp điểm

Do ABACnờn ABC cõn ở A

Vỡ AO là tia phõn giỏc của BACnờnA1A2

Với Q là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC (giả thiết) mà ABACnờn:

AQAN AQNcõn ở A cú AO là phõn giỏc của QAN(chứng minh trờn) AOQN(tớnh

chất của tam giỏc cõn) AJ vừa là đường cao ứng với đỏy QN vừa là trung trực của đoạn QN

(Tớnh chất của tam giỏc cõn)

MKOK (vỡ MK là tiếp tuyến của O )  MOKvuụng ở K nờn:

222

OM OK MK (Định 1ớ Py-ta-go) (1)

OJM

 vuụng tại J nờn 222

OM OJ JM (Định 1ớ Py-ta-go) (2) Từ (1) và (2) ta cú: 2222OK MK OJ JM (cựng bằng 2OM ) Mà 2222OK RR MK OJ JMAJM

 vuụng tại J nờn 222

AM AJ JM (3)

OJQ

 vuụng tại J nờn 222

Trang 26

Từ (1) ta cú 222

MK OM R liờn hệ với (2) ta lại cú



2222

MK  OJ JM ROBQ

 vuụng tại B (vỡ AB là tiếp tuyến của  O ) nờn 222

OQ BQ OB hay 222

OQ BQ R (5)

Từ (4) và (5) cú 2222

OJ JQ OB BQ

Thay cỏc số hạng bằng nhau vào cỏc đẳng thức và thỡ được

22

.

MK MA MKMA

Bài 17: Cho đoạn thẳng AB Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa đoạn AB

Kẻ tia Ax và By vuụng gúc với AB Trờn Ax và By lấy tương ứng hai điểm C và D sao cho

0

90

COD (O là trung điểm của AB)

a) Chứng minh CDACBD.

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh AB

c) Chứng minh2.4ABAC BD Giải GT Đoạn thẳng AB ;Ax AB By AB;CAx DByAOOB090CODKL * CD ACBD* CD là tiếp tuyến của  O đường kớnh AB * 2.4ABAC BDChứng minh a) Chứng minh CDACBD

Trong chương trỡnh trung học cơ sở chưa cú kiến thức cơ bản nào núi về số đo của một đoạn thẳng bằng tổng số đo của hai đoạn thẳng phõn biệt khỏc Từ đú ta dự

đoỏn CD là tổng của hai đoạn thẳng cựng nằm trờn đoạn CD Do vậy ta phải lập được hai

Trang 27

Với giả thiết thỡ chỉ cú ba tam giỏc vuụngAOC,BOD,COD Nhưng ba tam giỏc này khụng bằng nhau AOCcú đoạn AC nằm trong đẳng thức mà đề bài yờu cầu chứng minh CODcú

đoạn CD và BODcú đoạn BD là cỏc đoạn cú trong đẳng thức CD ACBD

Như vậy ta phải chia CD thành hai đoạn tương ứng bằng AC và BD Từ O hạOJ CD

Đến đõy chưa đủ điều kiện để chứng minh AOC KOCvàBOD JOD

Kộo dài DO cho cắt tia đối của tia AC ở I

AOI

 và BOD cú:

0

12

90

(hai goực ủoỏi ủổnh)

OAIOBDOAOBROO   . AOIBOD g c gAIBD

   (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) và

OI OD(Hai cạnh tương ứng)  CDIcú CO vừa là đường cao vừa là trung trực nờn CDO

cõn tại CCDCIvà D1I1 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau)

COI

 và CODvuụng tại O cú:

caùnh huyền = cánh huyền (chửựng minh trẽn) (caùnh chung)CICDCOCO COICOD   (cạnh huyền – cạnh chung)

 Đường cao tương ứng OAOJ

OJC

 và OACvuụng tại J và A cú





 

cánh huyền (caùnh chung) (chửựng minh treõn)OCOCJOOAOJCOAC   (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) CI  AC 1OJD

 và OBD vuụng tại J và D cú:

 



 

cánh huyền cánh huyền (cánh chung)

(ủều baống )ODODOJOBOAOJDOBD   (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) IDBD 2Cộng vế với vế của (1) và (2) ta cú CJDJ ACBD.Hay CD ACBD.

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường đường trũn tõm O đường kớnh AB

Trang 28

Lại cú CDOJ CD là tiếp tuyến của đường trũn tõm O đường kớnh AB (Theo định lớ: Nếu

một đường thẳng đi qua một điểm của đường trũn và vuụng gúc với bỏn kớnh đi qua điểm đú thỡ đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường trũn)

c) Chứng minh 2.4ABAC BD COD

 vuụng tại O (giả thiết) cú OJ là đường cao ứng với cạnh huyền CD nờn: 2

.

OJ JC JB

(Theo định lớ 2: Trong tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền)

Nhưng JCACvà JDBDvà 2ABOJ OA Do đú 2 22 24  ABABAC BDOJ Vậy 2.4ABAC BD

Bài 18: Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R Hai đường kớnh AB và CB vuụng gúc với nhau M

là một điểm nằm trờn cung nhỏ AC (M khụng trựng với A và C), kẻ tiếp tuyến với đường trũn tại M, tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB và CD theo thứ tự ở F và E

a) Chứng minhMEO2MBO

b) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn cung AC sao cho EFO 30

c) Tớnh theo R cỏc đoạn thẳng OF; MF; EF và SEFO.

Giải GT Đường trũn  OAB và CD là đường kớnh ABCDMcung nhỏ AC

Tiếp tuyến của  O tại

M cắt DC tại E MEBAFKL * MEO2MBO* Xỏc định vị trớ M đều 30 EFO  * Tớnh theo R: OF; MF; EF Tớnh SEFO.Chứng minh

Trang 29

Cú rất nhiều phương phỏp chứng minh hai gúc bằng nhau đó nờu ở cỏc bài trước Bài này ta phải sử dụng phương phỏp trung gian

Do khụng cú định lớ nào, tớnh chất nào núi đến số đo của gúc này lớn gấp hai lần gúc kia Trong chương trỡnh hỡnh học của trung học cơ sở chỉ cú định lớ: Gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú

Một cõu hỏi đặt ra để ta tư duy: Cú sử dụng định lớ và gúc ngoài của tam giỏc để giải cõu này được khụng?

Qua hỡnh vẽ ta thấy MEOkhụng phải là gúc ngoài của tam giỏc nào cả Một cõu hỏi khỏc lại được đặt ra: MEO cú thể bằng một gúc nào đú bằng MEO và lại bằng hai lầnMBO

Qua giả thiết và quan sỏt hỡnh vẽ ta cảm thấy O1E1vàO12B Ta phải chứng minh được điều này

Do ME là tiếp tuyến của  O (giả thiết) nờn OMEvuụng tại M MEO O2 90 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau) (1)

Lại cú O2O1 90 (vỡCDAB) (2) Từ (1) và (2) ta cú MEOO1(cựng phụ vớiO2)

BOM

 cú OBOM   RBOMcõn tại OB1M1(Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Lại cú O1B1M1hay O12B1 tức là O12MBOmà O1MEO

Do đú MEO2MBO

b) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn cung AC để EFO 30

Ta thấy EFOlà gúc nhọn của MOFvuụng tại M (vỡ MF là tiếp tuyến của  O )

Muốn cho EFO 30 thỡ MOF  60 (vỡ theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau) nờn MFO  30 MOF  60

Cựng 1

4

AC đường trũn sđ AC  30 Đề cho MOF 60 thỡ 20

60 3AM  ACVậy khi 060AM  thỡ 006030 MOF MFO

c) Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng OF, MF, EF theo R Tớnh SEFO * Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng

OMF

 vuụng tại M cú 0

30

MFO (điều kiện trờn) nờn 1

2

OM  OF(Theo định lớ: Nếu tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn bằng 30° thỡ cạnh gúc vuụng đốỡ diện với gúc đú bằng nửa cạnh huyền)

22.2

OFOMRR

Trang 30

OMF

 vuụng tại M (vỡ MF là tiếp tuyến của  O )

222OFOMMF (Định lớ Py-ta-go)  22222222243MFOFOMRRRRR233.MFRREOF

 vuụng tại O cú OM là đường cao ứng với cạnh huyền EF nờn ta cú: 2

.

OM ME MF

(Theo định lớ 2: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền)

2233OMRRMEMFR344 333333RRRRREFMEMFR 211 4 34 32 322363EOFRRS  EF OM  R R (đvdt)

Bài 19: Cho ABCnội tiếp đường trũn  Ocú CH là đường cao M, N lần lượt là hỡnh chiếu của C trờn cỏc tiếp tuyến tại A và B của đường trũn

a) Chứng minh ACH∽BCNvàBCH∽ACM; b) So sỏnh CMCNvới2CH;

c) ABC phải thỏa món điều kiện gỡ đểCMCN 2CH

Giải

GT

ABC

 nội tiếp đường trũn

 O

Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại Q ,CM  AQ CNBQCH ABKL *ACH∽BCNvà BCH∽ACM* CMCNC

* C là điểm chớnh giữa của ABthỡ CMCN2CH

Chứng minh

a) Chứng minh ACH∽BCN và BCH∽ACM

Trang 31

Muốn chứng minh hai tam giỏc đồng dạng với nhau, ta sử dụng một trong ba định lớ về tam giỏc đồng dạng

Muốn chứng minh ACH∽BCNta sử dụng giả thiết “hỡnh chiếu” và “tam giỏc nội tiếp” vỡ hỡnh chiếu dẫn đến vuụng gúc, cú vuụng gúc là cú gúc 90° Tam giỏc nội tiếp đường trũn dẫn đến cỏc gúc nội tiếp cú thể cựng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau

Đó cú cỏc gúc bằng nhau cú thể dẫn đến cỏc tam giỏc đồng dạng

ACH và BCN cú: 0119012 (Hai goực cuứng coự soỏ ủo baống sủ

AHCBNCABBC ACH∽BCN (g.g) * Chứng minh BCH ACM

Do AM là tiếp tuyến của  Ovà dõy AC đi qua tiếp điểm A của AM và  O nờn ta cú:

2sủ

sủCAM  AC (Theo định lớ: Trong một đường trũn, số đo của gúc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dõy đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn) (1)

ABClà gúc nội tiếp chắn cung AC nờn

2sủ

sủABC  AC(Theo định lớ: Trong một đường trũn số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta cú A2B2 BCH và ACM cú:  02290.    (chửựng minh treõn)BHCAMCBCHACM g gBA∽b) So sỏnh CMCNvới2CH

Dựa vào kiến thức cơ bản nào để so sỏnh được tổng độ dài của hai đoạn thẳng với 2 lần độ dài của một đoạn thẳng

Ta dựa vào tỷ số giữa cỏc đoạn thẳng với tỷ số của cỏc đoạn thẳng đó biết cú trong đề bài Trong ABCcúABACBC BC;ABAC AC;BC AB

Theo giả thiết ta lại cú CHAB BHCvuụng tại HBCBHvà BCCH(Theo định lớ: Trong 1 tam giỏc vuụng cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Do CM  AQnờn AMCvuụng tạiMACCM AC; AM;

CNBQnờn BCNvuụng tại NBCCNvàBCBN

Trang 32

Ta cú: 

(chửựng minh treõn) neõn

(chửựng minh treõn) neõn

CHACACHBCNCNBCCMACBCHACMCHBC∽∽2.CHCMCHCM CNCNCH.CHCM CN mà .2CMCNCM CN  (Bất đẳng thức Cụsi) Do đú 22CMCNCH   CM CN  CH c) Điều kiện để CMCN2CH

Muốn cú CMCN2CHthỡ ABCphải là tam giỏc cõn tại C

Bài 20: Cho đường trũn  Ođường kớnh AB Ở cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa đường kớnh AB, kẻ cỏc tiếp tuyến Ax và By với đường trũn Gọi M là một điểm nằm trờn

đường trũn (MABnằm cựng phớa với Ax và By đối với AB), cỏc đường thẳng AM và BM lần lượt cắt By và Ax tại B' và A'

a) Chứng minh 2

'.'

AA BB  AB

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với  O cho cắt AA' tại C và cắt BB' tại D

Chứng minh 1'' 2CD AABBGiải GT Đường trũn O, đường kớnh AB AxABtại A; By AB tại B ,';MAB AMByB'BMAxA;'MDOM MDAA tại C; 'MDBB DKL * 2'.'AA BB AB* 1''2CD AABBa) Chứng minh AA BB'.' AB2

Trang 33

Với giả thiết bài này ta dựng định lớ về tam giỏc đồng dạng để tạo ra tỷ số Cú tỷ số, cú tỷ lệ thức thỡ tớch này bằng tớch kia.

90

AMB  (vỡ AMBnội tiếp chắn nửa đường trũn nờn theo hệ quả: Trong một đường trũn, gúc nội tiếp chắn nửa

đường trũn là gúc vuụng).

'

AA AB (giả thiết: Ax là tiếp tuyến của đường trũn  Otại A)

'

AA B

 vuụng tại A và BO A' vuụng tại B cú:

0

''90

'' (Hai goực nhón coự cánh tửụng ửựng vuõng goực)

BAAABBAA BBAB   '.'.''''. AAABAB ABAA BBABAA BBABBBg g∽ hay AB2 AA BB'.'.b) Chứng minh 1''2CD AABB

AC và MC là hai tiếp tuyến của  O cắt nhau tại C nờn CACM(Theo định lớ: Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt

nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đều hai tiếp điểm) ACMcõn tại C

21

AM

 (Theo định lớ: Tam giỏc cõn cú hai gúc ở đỏy bằng nhau) '

AA M

 vuụng tại M (vỡ AMA' kề bự AMBnội tiếp chắn nửa đường trũn) A1A2= 900(Theo định lớ: Trong một

tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau).

012= 90

M M (vỡ 0

'90

AMA  ) mà A2M1 (chứng minh trờn)

2''AMA CM  cõn tại C ' (chửựng minh treõn)CACMCACM  'CACA (cựng bằng CM) ' 12AACM

Chứng minh tương tự cũng được '

2BBMD (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta cú 1''2CD AABB

Bài 21: Cho đường trũn  Ođường kớnh AB Gọi I là trung điểm của OA vẽ đường trũn tõm I đi qua A

a) Chứng minh đường trũn tõm O và đường trũn tõm I tiếp xỳc với nhau tại A

b) Một đường thẳng đi qua A gặp đường trũn tõm I tại M và đường trũn tõm O tại P Chứng

Trang 34

Giải GT Đường trũn  O đường kớnh AB IAIOĐường trũn  O đường kớnh OA   ; AP O M O AM PKL *  O và  Itiếp xỳc tại A * IM/ /OP* MAMP* OM/ /BP.Chứng minh

a) Chứng minh  I tiếp xỳc  Otại A

Muốn chứng minh hai đường trũn tiếp xỳc trong với nhau ta vận dụng kiến thức cơ bản nào? Muốn chứng minh hai đường trũn tiếp xỳc trong với nhau ta dựa hệ thức:OO'  R rO

Đường trũn tõm O đường kớnhABOAOBR

Đường trũn tõm I đường kớnh

2ROAIAIO r.2RIAOAOI Hay 2R

d   R r Đường trũn O bỏn kớnh OA và đường trũn tõm I bỏn

kớnh

22

OA R tiếp xỳc với nhau tại A

b) Chứng minhIM/ /OP MA;MP OM;/ /BP * Chứng minh IM/ /OP

AMI

 cú IAIM   rAMIcõn tại OM1A1(Theo định lớ: Tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Tương tự cũng được AOPcõn tại O nờn P1A1

11

M P (cựng bằngA1) Mà M1và P1 ở vị trớ đồng vị nờn IM / /OP

* Chứng minh M là trung điểm của AP AOP

 cú I là trung điểm của cạnh OA (vỡ I là tõm đường trũn đường kớnh OA) lại cú IM/ /OP

nờn:

Trang 35

Vậy M là trung điểm AP

* Chứng minhOM/ /BP

Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau cú nhiều cỏch chứng minh

Với giả thiết: “Đường kớnh AB; đường kớnh OA” dẫn đến gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là

gúc vuụng

Cú gúc vuụng là cú hai đường thẳng vuụng gúc với nhau Cú đường thẳng vuụng gúc cú thể dẫn đến song song

Với đường trũn  I cú 0

90

AMO (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng)OM AP

Với đường trũn  O cú 0

90

APB (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) BPAPOM/ /BP(cựng vuụng gúc với AP)

Bài 22: Cho đường trũn O R; đường kớnh AB và tiếp tuyến xAy Trờn xy lấy điểm M Kẻ tiếp tuyến thứ 2 MN Trờn Oz vuụng gúc với AB cắt tia BN tại P

a) Tứ giỏc OMPB và tứ giỏc OAMP là hỡnh gỡ? OMPN là hỡnh gỡ?

b) Gọi I là giao điểm của cỏc tia ON và MP; J là giao điểm MN và OD; K là giao điểm của OM và AP Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng

Giải

GT

Đường trũn O R;  đường kớnh

AB

Tiếp tuyến xAy Mxy;MNON OzABBNOzPONMPIOPMNJAPOMKKL * OMPB là hỡnh bỡnh hành và OAMP là hỡnh chữ nhật

OMPN là hỡnh thang cõn * I, J, K thẳng hàng

Chứng minh

Trang 36

Làm thế nào để chứng minh được tứ giỏc OMPN là hỡnh bỡnh hành?

Cú 5 cỏch chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành

* Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành ta chứng minh tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song với nhau

* Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành ta chứng minh tứ giỏc đú cú cỏc cạnh đối bằng nhau

* Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành ta chứng minh tứ giỏc đú cú hai cạnh đối song song và bằng nhau

* Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành ta chứng minh tứ giỏc đú cú cỏc gúc đối bằng nhau

* Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành ta chứng minh tứ giỏc đú cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Bài này dựng cỏch nào để chứng minh:

Ta dựng cỏch chứng minh thứ ba để chứng minh OMPB là hỡnh bỡnh hành

Do MA và MN là hai tiếp tuyến của đường trũn  O nờn MAMN(Theo định lớ: Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đều hai tiếp điểm)

AMN

  cõn tại Mphõn giỏc MO lại là đường cao thuộc đỏy AN HayMOAN 0

90

ANB (Theo hệ quả: Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng) BPAN

/ /

MOPB

 (cựng vuụng gúc với AN) (1)

Do MO/ /PBnờn O1B1(hai gúc đồng vị) AMO và POB cú: 01190 (chửựng minh treõn)MAOPOBAOOBROB   . AMO POB g c g MOPB

  (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta cú OMPB là hỡnh bỡnh hành (Theo dấu hiệu 3: Tứ giỏc cú hai cạnh đốỡ song

song và bằng nhau là hỡnh bỡnh hành)

* Chứng minh tứ giỏc OAMP là hỡnh chữ nhật

Cú bốn cỏch chứng minh một tứ giỏc là hỡnh chữ nhật

Cỏch 1:

OMPB là hỡnh bỡnh hành (chứng minh trờn) MP/ /AB(hai cạnh đối của một hỡnh bỡnh hành)  009090

(vỡ laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa

Trang 37

AMPO

 là hỡnh chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú 3 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật)

Cỏch 2:

Tứ giỏc AMPO cú AM/ /OP(cựng vuụng gúc với AB)

/ /

OAPM (chứa hai cạnh đú của hỡnh bỡnh hành MPBO) AMPO

 là hỡnh thang

Hỡnh thang AMPO lại cú 0

90

OAM  AMP nờn là hỡnh thang cõn

Hỡnh thang cõn AMPO lại cú 0

90

OAM  (vỡ AM là tiếp tuyến của O ) nờn là hỡnh chữ nhật (Theo dấu hiệu 3: Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật)

Cỏch 3:

Tứ giỏc AMPO cú / /

/ /

(cuứng vuõng goực vụựi ) (chửựng minh trẽn)AMOPABOAPMAMPO

 là hỡnh bỡnh hành (Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành)

Hỡnh bỡnh hành AMPO lại cú 0

90

OAM  (vỡ AM là tiếp tuyến của O ) nờn là hỡnh chữ nhật (Theo dấu hiệu 3: Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật)

Cỏch 4: Do MO/ /PB(cựng vuụng gúc với AN) nờn O1B1(hai gúc đồng vị)

AOM và OBPcú: 01190 (chửựng minh treõn)MAOPOBOAOBRAOMOBP g c gOMBPOB    

(hai cạnh tương ứng của hai tam

giỏc bằng nhau) và MAPO(hai cạnh tương ứng)

AMPO cú MA/ /PO(cựng vuụng gúc với AB) lại cú MAPOnờn AMPO là hỡnh bỡnh hành

(Dấu hiệu 3) (3)

POABtại trung điểm O của AB nờn PO là trung trực của đoạn ABPAPB (Tớnh chất trung trực của đoạn thẳng) MO AP(cựng bằng PB) (4)

Từ (3) và (4) ta cú AMPO là hỡnh chữ nhật (Theo dấu hiệu 4: Hỡnh bỡnh hành cú hai đường

chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật)

* Chứng minh OMPN là hỡnh thang cõn

Do MO/ /PB(chứng minh trờn) DN/ /MOOMPNlà hỡnh thang (Theo định nghĩa: tứ giỏc cú hai cạnh đối song song là hỡnh thang (5)

Lại cú OP AM(Hai cạnh đối của hỡnh chữ nhật AMPO)

Và MNAM(định lớ hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm)

OPMN

Trang 38

Từ (5) và (6) ta cú hỡnh thang OMPN là hỡnh thang cõn (Theo định lớ 3: Hỡnh thang cú hai

đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn)

b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Cú nhiều cỏch chứng minh ba điểm thẳng hàng như đó nờu ở cỏc bài trước Bài này nờn dựng cỏch:

Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh một điểm là đỉnh một điểm là giao điểm của ba đường chủ yếu, điểm cũn lại là chõn đường cao chủ yếu của tam giỏc đú

MPNO là hỡnh thang cõn (chứng minh trờn) IMOIOM (Hai gúc kề một đỏy của hỡnh thang cõn)  MIOcõn tại I (Theo định lớ: Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ tam

giỏc đú là tam giỏc cõn) MIOcú OP và MN là hai đường cao ứng với hai cạnh MI và OI J là giao điểm của MN và OP nờn J là trực tõm của MIOIJlà đường cao ứng với cạnh OM

MIO lại cõn tại IIJvừa là đường cao vừa là trung trực của cạnh OM IJ vuụng gúc với

MO tại trung điểm của cạnh này

Do OM là đường chộo của hỡnh chữ nhật AMPO nờn trung điểm MO là điểm KIJ phải đi

qua trung điểm K của OM Vậy I, J, K thẳng hàng

Bài 23: Từ một điểm P ở ngoài đường trũn O R; vẽ hai cỏt tuyến PAB và PCD

a) Chứng minhPAD∽APC

b) Chứng minh 22

PA PBPC PDPO R

c) Vẽ tiếp tuyến PM Chứng minhPM2PA PB. d) Chứng minhPMAPBM Giải GT Đường trũn O R; Cỏt tuyến PAB và PCD PM OMKL * PAD∽APC* 22 PA PBPC PDPO R* 2.PM PA PB* PMAPBMa) Chứng minh PAD∽PCB

Ta cú: A1C1(hai gúc nội tiếp cựng chắn BD) PADPCB(Hai gúc kề bự với A1C1)

PAD

Trang 39

(goực chung cuỷa hai tam giaực) (chửựng minh treõn)APDCPBPADPCB  . PAD∽PCB g gb) Chứng minh PA PB.PC PD.PO2R2

Muốn chứng minh tớch này bằng tớch kia cú nhiều cỏch như đó nờu ở cỏc bài trờn

Muốn giải được toỏn phải nhớ được cỏc cỏch chứng minh của từng thể loại toỏn với giả thiết của bài này nờn sử dụng tam giỏc đồng dạng để chứng minh Cú những bài toỏn cú nhiều cặp tam giỏc đồng dạng Ta chỉ sử dụng hai tam giỏc cú chứa những đoạn thẳng cú trong đẳng thức ta phải chứng minh

PAD∽PCB (chứng minh trờn) PAPD

PCPB

 (Áp dụng tớnh chất cơ bản của tỷ lệ thức: “Trong một tỷ lệ thức tớch cỏc ngoài tỷ bằng tớch cỏc trung tỷ” ta cú:

PAPD

PA PBPC PD

PC  PB 

Trong đẳng thức mà đề bài yờu cầu chứng minh cú PO và Rcỏt tuyến PCD phải đi qua O Nếu cỏt tuyến PCD đi qua tõm O của đường trũn và cắt đường trũn tại E và F, khi đú ta cũng

cú:  22  .. 1PA PBPE PFPORPORPORc) Chứng minh 2.PM PA PBPOM

 vuụng tại M (vỡ PM là tiếp tuyến của  O )

nờn 22PO PMOM (Định lớ Py-ta-go) 222PMPOOMHay 222PM PO R (2) Từ (1) và (2) ta cú 2.PM PA PB d) Chứng minh PMAPBM

Cõu này thuộc thể loại toỏn chứng minh hai gúc bằng nhau

Thể loại này cú nhiều phương phỏp giải như đó nờu ở cỏc bài trước:

Với bài này muốn chứng minh PMAPBMta dựng tam giỏc đồng dạng hoặc dựng định lớ gúc và cung bị chắn

Cỏch 1:

Muốn chứng minh PMAPBMta chứng minh PMAđồng dạng với PBM để rỳt hai gúc tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng thỡ bằng nhau:

PMA

 và PBM cú:

(goực chung) (keỏt quaỷ cuỷa caõu c)

Trang 40

 . 

 PMA∽PBM c g c PMAPBM (Hai gúc tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng)

Cỏch 2:

Muốn chứng minh PMAPBMta chứng minh số đo của hai gúc này bằng nửa số đo của một cung hoặc nửa số đo của hai cung bằng nhau

PMA là gúc tạo bởi tiếp tuyến MP và dõy cung MA nờn

2sủ

sủPMA AM (Theo định lớ: Số đo của gúc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dõy đi qua tiếp điểm cú số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

2sủ

sủPBM  AM (Theo định lớ: Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (4)