BÀI TẬP CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I Phương pháp giải Với phương trình 2 0ax bx c (và 22 '''', '''' '''' )b b b ac * Nếu '''' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 '''' '''' '''' '''' ; b b x x a a [.]
BÀI TẬP CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I Phương pháp giải Với phương trình ax bx c (và b 2b ', ' b '2 ac) * Nếu ' phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a * ' phương trình có nghiệm kép x1 x2 b' a * Nếu ' phương trình vô nghiệm II Bài tập Bài 1: (17/49/SGK, Tập 2) Xác định hệ số a, b ', c dùng cơng thức nghiệm thu gọn giải phương trình: a) x x b) 1385 x 14 x c) x x d) 3x x Giải a) Khi giải ta phải vận dụng kiến thức nào? Muốn giải ta phải sử dụng kiến thức * Thế hệ số a, b ', c * Khi phương trình dạng ax bx c a nên có hệ số b số chẵn, ta dùng công thức nghiệm thu gọn để giải Công thức nghiệm thu gọn: ' b '2 ac x1 b ' ' b ' ; x2 a a nhớ được: * Nếu ' phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 * ' phương trình có nghiệm kép x1 x2 * Nếu ' phương trình vơ nghiệm Đây kiến thức buộc phải nhớ a) Phương trình x x có hệ số: a 4; b ' 2; c b' a Biệt thức ' b '2 ac 2 4.1 ' Do ' nên phương trình có nghiệm kép x1 x2 b ' 2 a b) Phương trình 1385 x 14 x hệ số a 1385; b ' 7; c Phương trình có biệt thức ' b '2 ac 7 1385.1 49 1385 Phương trình vơ nghiệm c) Phương trình x x có hệ số: a 5; b ' 3; c Biệt thức ' b '2 ac 3 5.1 Do ' nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: b ' ' 3 1 a 5 b ' ' 3 x2 a 5 x1 d) Phương trình 3x x hệ số là: a 3: b ' 6; c Biệt thức phương trình ' b ' ac 3 24 12 36 Do ' nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: b ' ' 2 a b ' ' 2 x2 a x1 36 3 36 2 6 3 3 Bài 2:.(18/49/SGK, Tập 2) Đưa phương trình sau dạng ax2 2b ' x c giải chúng Sau đó, sau dùng số máy tính đế viết gần nghiệm tìm (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai) a) 3x2 x x2 b) x x 1 x 1 c) 3x x 1 d) 0,5 x x 1 x 1 2 Giải Muốn giải ta phải sử dụng kiến thức nào? Muốn giải ta phải sử dụng kiến thức * Quy tắc chuyển vế đẳng thức * Định nghĩa số hạng đồng dạng * Quy tắc cộng, trừ số hạng đồng dạng * Hằng đẳng thức đáng nhớ * Quy tắc nhân số với tổng (hoặc hiệu) * Quy tắc nhân hai lũy thừa số * Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai a) 3x2 x x2 3x2 x2 x x2 x Phương trình x x có hệ số: a 2; b ' 1; c 3 Biệt thức phương trình là: ' b '2 ac 1 3 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: b ' ' 1 a 2 b ' ' 1 x2 a 2 x1 b) x x x 1 x x x 4x2 x2 2x 1 3x x Phương trình có hệ số: a 3; b ' 2 2; c Biệt thức phương trình b '2 ac 2 3.2 4.2 3.2 Do ' nên phương trình 3x2 2x có hai nghiệm phân biệt: x1 1 b ' ' 2 2 a 3 3 x2 1 b ' ' 2 2 2 a 3 3 c) 3x x 1 3x x 1 3x x 3x x có hệ số: a 3; b ' 1; c Biệt thức phương trình là: ' b '2 ac 1 3.1 2 Phương trình cho vơ nghiệm d) 0,5 x x 1 x 1 0,5 x 0,5 x x x 0,5 x 0,5 x x x 0,5 x 2,5 x có hệ số: a 0,5; b 2,5; c 1 Biệt thức phương trình b 4ac 2,5 0,5 1 6.25 4.25 Do nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b ' ' 2,5 4, 25 2,5 4, 25 a b ' ' 2,5 4, 25 x2 2,5 4, 25 a x1 Bài 3: (19/49/SGK, Tập 2) Đố: Đố em biết a phương trình ax bx c a vô nghiệm ax bx c với giá trị x? Giải Theo công thức nghiệm Phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm ' Hay b2 4ac b '2 ac Do b2 4ac b b 4ac ax bx c a x 0 4a 2a 4a Bài 4: (20/49/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình: a) 25x 16 c) 4, x 5, 46 x b) x d) x 3x Giải a) Phương trình 25x 16 nên giải phương trình tích Vận dụng đẳng thức: Hiệu hai phương trình: A2 B A B A B Ta có: 25 x 16 x 42 x x x 5 x 5 x 4 5 x 5 x x 4 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S ; 5 b) Phương trình x có: x x 0 x phương trình vô nghiệm: 30 c) 4, x 5, 46 x 4, x x 1,3 4, x x x 1,3 x 1,3 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S 0; 1,3 d) Phương trình x 3x Áp dụng quy tắc chuyển vế ta có: x 3x x 3x có hệ số a 4; b 2 3; c 1 b ' Từ ta có ' b '2 ac 3 3 44 3 44 4 2 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 x1 x2 3 2 3 3 2 32 4 2 3 2 4 1 1 Bài 5: (21/49/SGK, Tập 2) Giải phương trình An-Khơ-va-ni-mi (Tốn lớp 7) a) x 12 x 288 x x 19 12 12 b) Giải Muốn giải câu ta phải xác định hệ số số hạng có phương trình Xác định biệt thức phương trình áp dụng quy tắc chuyển vế Thực tốt công thức nghiệm Làm bước nêu giải câu a) câu (b) có thêm bước quy đồng mẫu số hai vế phương trình x x 19 x2 x 228 x x 228 12 12 Phương trình x x 228 có hệ số: a 1; b 7; c 228 Từ hệ số phương trình x x 228 có biệt thức: ' b 4ac 4.1 228 961 Do nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: b 7 961 7 31 24 12 2a 2.1 2 b 7 961 7 31 38 x2 19 2a 2.1 2 x1 Bài 6: (22/49/SGK, Tập 2) Khơng giải phương trình, cho biết phương trình sau có nghiệm? a) 15x x 2005 b) 19 x x 1890 Giải Dựa vào kiến thức để biết phương trình bậc hai ẩn có nghiệm? Muốn biết phương trình bậc hai ẩn có nghiệm ta dựa vào cơng thức nghiệm * Nếu ' phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm phân biệt * Nếu ' phương trình bậc hai ẩn có nghiệm kép x1 x2 * Nếu ' phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm a) Phương trình 15x2 x 2005 có biệt thức; b ac 22 15 2005 22 15.2005 nên phương trình x x 2005 có nghiệm phân biệt b) 19 x x 1890 có biệt thức: b 4.ac 19 19 1890 .1890 5 Do nên phương trình 19 x x 1890 có hai nghiệm phân biệt Bài 7: (23/50/SGK, Tập 2) Rađa máy bay trực thăng theo dõi chuyển động ô tô 10 phút, phát rằng: vận tốc V ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian công thức: V 3t 30t 135 (t tính phút) a) Tính vận tốc ơtơ t phút b) Tính giá trị t vận tốc ôtô 120 km/h (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Giải a) t phút vận tốc tơ V 3.52 30.5 135 60 (km/h) b) Công thức V 3t 30t 135 phương trình bậc hai ẩn Muốn tính giá trị t tức thời gian ô tô chạy với vận tốc 120 km/h ta phải giải phương trình bậc hai 3t 30t 135 120 t 10t Phương trình t 10t có hệ số a 1; b ' 5; c Từ ta có biệt thức phương trình là: ' b '2 ac 5 1.5 25 20 Do ' nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: b ' 5 20 20 20 9, 47 a 1 b ' 5 20 20 x2 20 0,53 a 1 x1 Vì rađa máy trực thăng theo dõi chuyện động ôtô 10 phút nên t 10 Vì hai giá trị t (t ẩn số) thích hợp Bài 8: (24/50/SGK, Tập 2) Cho phương trình (ẩn x) x m 1 x m2 a) Tính ' b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép, vô nghiệm Giải Muốn giải ta phải xác định hệ số phương trình Từ vận dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình cho Phương trình x m 1 x m2 có hệ số a 1; b ' m 1; c m2 có biệt thức ' là: ' b '2 ac m 1 1.m m 2m m 2m * Phương trình x m 1 x m2 có hai nghiệm phân biệt 2m ' 2m 1 2m (Theo tính chất bất đẳng thức: Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều) 2m m * Phương trình x m 1 x m2 có nghiệm kép ' 2m 2m 1 2m (Tính chất bất đẳng thức) m * Phương trình x m 1 x m2 vô nghiệm ' 2m 2m 1 2m (Tính chất bất đẳng thức) m Bài 9: Giải phương trình: a) x2 14 x 33 b) x 13x 36 c) 3x 5x 61 d) x x e) x2 x 30 f) x2 3x 76 Giải a) Phương trình x2 14 x 33 có hệ số: a 1; b ' 7; c 33 Từ hệ số phương trình có biệt thức: ' b '2 4ac 7 1.33 49 33 16 Do ' nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: b ' ' 7 16 11 a 1 b ' ' 7 16 x2 3 a 1 x1 b) Phương trình x 13x 36 Nhắc lại: Muốn giải phương trình bậc hai ẩn số cách thành thạo phải thuộc kiến thức nói chung Thuộc cơng thức nghiệm nói riêng Thuộc phải vận dụng thành thạo cẩn thận Phương trình x 13x 36 có hệ số: a 1; b 13; c 36 Từ hệ số phương trình có biệt thức: b 4ac 13 4.1.36 169 144 25 Do nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 13 25 13 9 2a 2.1 2.1 b 13 x2 4 2a 2.1 x1 c) Phương trình 3x 5x 61 có hệ số: a 3; b 5; c 61 Có biệt thức b2 4ac 52 4.3.61 25 732 707 Do nên phương trình cho vô nghiệm d) x x Phương trình cho có hệ số a 1; b 3; c 2 Có biệt thức b2 4ac 4.1. 2 11 Do nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 11 11 2a 2 x2 b 11 11 2a 2 e) Phương trình: x2 x 30 có hệ số: a 2; b ' 2; c 30 Biệt thức ' b '2 ac 22 30 60 64 nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b ' ' 2 64 2 3 a 2 b ' ' 2 64 2 10 x2 5 a 2 x1