BÀI TẬP LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ DÂY ĐẾN TÂM I Phương pháp giải Định lí 1 Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Định lí 2 Trong hai[.]
BÀI TẬP LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ DÂY ĐẾN TÂM I Phương pháp giải Định lí 1: Trong đường trịn a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Định lí 2: Trong hai dây đường trịn a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn II Bài tập Bài 1: (12/106/SGK T1) Cho đường trịn O bán kính 5cm, dây AB 8cm a) Tính khoảng cách từ O đến dây AB b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI 1cm kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh CD AB Giải Đường tròn O , OA 5cm GT Dây AB 8cm I AB; AI 1cm CD AB I * Khoảng cách từ O KL đến AB ? * CD AB Chứng minh a) Tính khoảng cách từ O đến AB Kẻ OH AB H Do OH AB nên HA HB AB cm (Theo định lí: Trong đường trịn, đường 2 kính vng góc với dây qua trung điểm dây ấy) OAH vng H (cách vẽ) nên OA2 AH OH (Theo định lí Py – ta – go) OH OA2 AH 52 42 25 16 OH 3 cm b) Chứng minh CD AB Muốn chứng minh CD AB ta dựa vào định lí: Trong đường trịn, hai dây cách tâm Như ta phải chứng minh OH OK OK CD, K CD Tứ giác IHOK có IHO HIK IKO 90 IHOK hình chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có góc vng hình chữ nhật) OK HI (Hai cạnh đối hình chữ nhật) Mà IH AH AI cm IH OH 3cm nên IHOK hình vng (Theo dấu Lai có OH 3cm chúng minh tr ê n hiệu 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng) CD AB (Theo định lí: Trong đường trịn, hai dây cách tâm nhau) Bài 2: (13/106/SGK T1) Cho đường tròn O có dây AB CD nhau, tia AB CD cắt E nằm bên đường tròn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD a) Chứng minh EH EK b) Chứng minh EA EC Giải Đường tròn O GT Dây AB dây CD HA HB; KC KD AB CD E KL * EH EK * EA EC a) Chứng minh EH EK Câu thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đoạn thẳng Có nhiều cách chứng minh hai đoạn thẳng Trong cách chứng minh đó, có cách sử dụng nhiều là: Muốn chứng minh hai đoạn thẳng nhau, ta chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng Tam giác chứa đoạn thẳng EH tam giác chứa đoạn thẳng EK ? Tam giác OHE chứa đoạn EH, OKE chứa đoạn EK , OHE OKE có khơng? Ta thấy OHE OKE có cạnh chung OE Ta phải tìm yếu tố khác để đủ điều kiện kết luận OHE OKE Theo giả thiết HA HB OH AB (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây ấy) Tương tự có OK CD OHE vng H , OKF vng K Lại có AB CD (giả thiết) nên OH OK (Theo định lí: Trong đường trịn, hai dây cách tâm) Do ta có: OHE OKE vng H K (chứng minh trên) có: cạnh huyền OE cạnh huyền OE (cạnh chung) OH OK (chứng minh trên) OHE OKF (cạnh huyền – cạnh góc vng) HE KE (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) b) Chứng minh AE CE Câu thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đoạn thẳng Nhưng để có AE CE ta khơng chứng minh tam giác có chứa đoạn AE tam giác chứa đoạn CE , ta dùng phương pháp cộng đoạn thẳng Do H trung điểm đoạn thẳng AB (giả thiết) nên AH HB Tương tự có CK KD CD mà AB CD (giả thiết) nên AH CK (nửa hai đoạn thẳng nhau) Và HE KE (chứng minh trên) (1) (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta có: AH HE CK KE AE CE Bài 3: (14/106/SGK T1) Cho đường tròn O bán kính 25cm, dây AB 40cm Vẽ dây CD AB có khoảng cách đến AB 22cm Tính độ dài CD Giải GT Đường tròn O AB Bán kính 25cm Dây AB 40cm CD AB CD cách AB 22cm KL CD ? Kẻ OI AB I ; IO cắt CD K Do CD AB (giả thiết) mà OI AB OI CD K (Theo định lí: Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường kia) Vì OI AB nên IA IB (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ấy) IA IB AB AO 20 cm 2 AOI vuông I (cách vẽ) nên: OA2 IA2 OI (Định lí Py – ta – go) OI OA2 IA2 252 202 625 400 225 OI 225 15 cm Theo giả thiết IK 22cm OK IK OI 22 15 7 cm OKC vuông K (chứng minh trên) nên: OC2 OK CK (Theo định lí Py – ta – go) CK OC2 OK 252 72 625 49 576 CK 576 24 cm mà CK CD CD 24.2 48 cm Vậy CD có độ dài 48cm Bài 4: (15/106/SGK T1) Cho hình 70 hai đường trịn có tâm O cho biết AB CD Hãy so sánh độ dài: a) OH OK ; b) ME MF ; c) MH MK Giải Hai đường tròn đồng tâm O GT Dây AB > dây CD OH AB, OK CD * OH OK KL * ME MF * MH MK Chứng minh a) Chứng minh OH OK Làm để chứng minh OH OK Muốn chứng minh bất đẳng thức nghĩ đến định lí đường trịn có so sánh khoảng cách từ dây đến tâm Do AB CD (giả thiết) mà OH khoảng cách từ dây AB đến tâm O OK khoảng cách từ dây CD đến tâm O Từ ta có: OH OK (Theo định lí 2: Trong hai dây đường trịn: Dây lớn gần tâm hơn) b) Chứnh minh ME MF Vì OH OK (chứng minh trên) nên ta có: ME MF (Theo định lí 2: Trong hai dây đường tròn: Dây gần tâm dây lớn hơn) c) Chứng minh MH MK Và O, OE có MH ME (vì OH ME ) Tương tự có MK MF (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ấy) Mà ME MF nên MH MK Bài 5: (16/106/SGK T1) Cho đường tròn O điểm A nằm bên đường trịn Kẻ dây BC vng góc với OA A Vẽ dây EF qua A khơng vng góc với OA Hãy so sánh độ dài hai dây BC EF Giải Đường tròn O GT OA BC Dây EF qua A KL BC EF Chứng minh Từ O hạ OD EF D EF AOD vuông D (cách vẽ) OA OD (Trong tam giác vuông, cạnh huyền cạnh lớn nhất) BC EF (Theo định lí 2: Trong hai dây đường trịn, dây gần tâm dây lớn hơn) ... chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng Tam giác chứa đoạn thẳng EH tam giác chứa đoạn thẳng EK ? Tam giác OHE chứa đoạn EH, OKE chứa đoạn EK , OHE OKE có khơng? Ta thấy OHE OKE có cạnh... điều kiện kết luận OHE OKE Theo giả thiết HA HB OH AB (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây ấy) Tương tự có OK CD OHE vuông H , OKF vuông... vng) HE KE (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) b) Chứng minh AE CE Câu thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đoạn thẳng Nhưng để có AE CE ta khơng chứng minh tam giác có chứa đoạn AE tam