50 bai tap khai niem ve the tich trong phan chia khoi da dien co dap an toan 12

NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC THỂ TÍCH TRONG PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN NHĨM TỐN VD – VDC Trong tốn thể tích khối đa diện diện , số toán vận dụng vận dụng cao thường đề cập đến việc phân chia đa diện , tính thể tích khối đa diện theo thể tích khối đa diện cho Thầy cần tạo tình cho học trị có tư việc so sánh thể tích khối chóp , khối lăng trụ từ tư đơn giản so sánh đường cao , so sánh diện tích đáy để đến định chuyển khối đa diện khó tính thể tích thành khối dễ , dễ so sánh với khối ban đầu Cũng cần tạo cho học sinh quen với tốn tính thể tích khối khơng chóp lăng trụ cách phân chia thể tích với yêu cầu học sinh quan sát tốt để phân chia khối đa diện thành khối dễ tính với giả thiết cho , từ hình thành kĩ tổng hợp có phản xạ tốt phân chia đa diện Trong phần thể tích khối đa diện việc đề ôn tập cho học sinh thường trọng đến toán phân chia khối đa diện thành phần khác Việc phân chia tính tốn khối đa diện thường dựa vào tỷ số thể tích, dựa vào việc dựng thiết diện, dựa vào việc lấy thêm điểm thỏa mãn hệ thức tỷ số vecto… A CÁC CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ÁP DỤNG Bài tốn Cho hình chóp S ABC Một mặt phẳng  P  cắt cạnh SA, SB , SC M , N , P hình vẽ bên VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Bài toán Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành, mặt phẳng  P  cắt cạnh SA, SB, SC , SD M , N , P, Q hình vẽ bên S M N Q P D A B https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang C NHÓM TỐN VD – VDC Khi ta có kết sau: NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC SA SB SC SD  x,  y,  z,  t Khi ta có kết sau: SM SN SP SQ + x z  y t VS MNPQ x  y  z  t +  VS ABCD xyzt Đặt AA ', BB ', CC ' M , N , P hình vẽ bên NHĨM TỐN VD – VDC Bài tốn Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Một mặt phẳng  P  cắt cạnh bên AM BN C P  x,  y, z AA BB CC  Đặt Khi ta có VMNP A ' B 'C ' x  y  z  VABC A ' B 'C ' Bài tốn Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C 'D' Một mặt phẳng  P  cắt cạnh bên AA ', BB ', CC ', DD' M , N , P, Q hình vẽ bên Khi ta có + x  z  y  t + VABCDMNQP VABCD A ' B ' C ' D '  x y  zt x z y t   2 B CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Bài tốn CHIA HÌNH CHĨP, HÌNH LĂNG TRỤ THÀNH PHẦN BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC TÍNH THỂ TÍCH MỘT TRONG HAI PHẦN HAY TỈ SỐ THỂ TÍCH https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NHĨM TỐN VD – VDC AM BN CP DQ  x,  y,  z, t AA BB CC  DD Đặt NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Ví dụ minh họa 1: Cho hình chóp S ABC G trọng tâm tam giác ABC Với hai số thực    x, y thay đổi tập hợp điểm M thỏa mãn GM  xSB  y AC mặt phẳng ( P ) Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp S ABC phân chia mp  P  20 B 27 C D Lời giải Chọn A S H NHĨM TỐN VD – VDC A C F K G A E B phẳng ( P ) qua G song song song với SA ; BC Nên thiết diện cắt hình chóp S ABC  P  hình bình hành EFHK hình vẽ Gọi V , V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC , khối đa diện SAEFHK BCEFHK 1 Ta có V2  VH BCEF  VK HCF  d  S , ABC  S ABC  d B , SAC   S SAC 3 3 20  V1  V   27 Chọn A  V  V  V  27 27 27 V  V  27 Ví dụ minh họa 2: Cho khối lăng trụ ABC ABC  Gọi E trọng tâm tam giác ABC  F trung điểm BC Tính tỉ số thể tích khối B.EAF khối lăng trụ ABC ABC  1 1 A B C D Lời giải Chọn D https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NHĨM TỐN VD – VDC    Với hai số thực x, y thay đổi tập hợp điểm M thỏa mãn GM  xSB  y AC mặt NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC B A F NHĨM TỐN VD – VDC C B' A' E M C' Ta có M trung điểm BC  S EAF  S AAMF d  B,  AAMF    d  B,  AEF   2 Vì VB AAMF  VABF ABM  VB ABF  VABF ABM  VABF ABM  VABF ABM 3 1 1 Suy VBEAF  VB AAMF  VABF ABM  VABC ABC   VABC ABC  2 3  BMN  chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) A B C D Lời giải Chọn A S N E H D C O B Giả sử điểm hình vẽ https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NHĨM TỐN VD – VDC Ví dụ minh họa 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng F A M NĂM HỌC 2019 – 2020 NHÓM TOÁN VD–VDC E  SD  MN  E trọng tâm tam giác SCM , DF // BC  F trung điểm BM      60  SO  a , SF  SO  OF  a Ta có: SD ,  ABCD   SDO 2 a a2 ; SSAD  SF AD  VMEFD ME MF MD     VMNBC MN MB MC 5 1 5a  VBFDCNE  VMNBC    d  M ,  SAD    S SBC   4h  S SAD  6 18 72 a3 7a VS ABCD  SO.S ABCD   VSABFEN  VS ABCD  VBFDCNE   36 Suy ra: VSABFEN   VBFDCNE NHĨM TỐN VD – VDC  d  O,  SAD    OH  h  Ví dụ minh họa 4: Cho lăng trụ ABC ABC tích V Gọi A1 , B1 hai điểm nằm hai cạnh AA BB  cho A1 trung điểm AA 5.B1 B  3.BB Tia CA1 cắt tia C A Q tia CB1 cắt tia C B P Thể tích khối đa diện lồi AA1QBB1 P bằng: 29 A V 30 B V 10 C 37 V 90 D 10 V Chọn A  Ta có: VC ABC C A C B 1      VC.QPC  5.VC ABC   V   V VC.QPC C Q C P 5 3   Mặt khác: VABC A1B1C  A1 A B1 B CC     A1 A B1B  ,             1  AA BB VABCABC  AA BB CC     10  VABCA1B1C  7 VABCABC  V 10 10 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC 29  VAA1QBB1P  VC.QPC  VABCA1B1C  V  V  V 10 30 khối tứ diện BMNP theo V A 2V B V C 5V 24 D 4V NHĨM TỐN VD – VDC Bài tốn : TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐƯỢC PHÁT TRỂN TỪ CÁC KHỐI CHO TRƯỚC BẰNG CÁCH LẤY THÊM CÁC ĐIỂM Phương pháp : với khối có đáy chóp , lăng trụ ta chuyển đáy khối mặt đáy khối ban đầu , sau so sánh đường cao khối với đường cao khối ban đầu Với khối khơng phải chóp lăng trụ ta dùng phân chia đa diện để tạo khối chóp lăng trụ , Cũng vào khối cho cộng trừ khối không thuộc , cộng thêm khối thuộc khối đa diện yêu cầu tính thể tích Ví dụ minh họa 1: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M, N trung điểm A ' B ', AC P điểm thuộc cạnh CC ' cho CP  2C ' P Tính thể tích Lời giải Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Gọi B diện tích tam giác ABC , h độ dại đường cao hình lăng trụ, suy V  B.h Gọi Q trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ABC Gọi V1 thể tích khối chóp BMNP , V2 thể tích khối chóp MBNE với E  QC  MP Ta có PE CE PC PC PC    PC // MQ PC  PC  nên   ME QF MQ MQ CC  Ta có V1 MP 1    V1  V2 V2 ME 3 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Do GC  QC , CE  2QC  GE  GC  CE  QC 3  Mà S AQN S ABC   AQ AN   SQBCN  S ABC S BNE  SQBNC  B AB AC 4 1 2V 2V Nên V2  S BNE h  2B.h   V1  V2  3 3 Ví dụ minh họa 3: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Gọi M , N , P, Q, E, F tâm hình bình hành ABCD, A ' B ' C ' D ', ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' Thể NHĨM TỐN VD – VDC Ta lại có V2  SBNE h Ta tính diện tích tam giác BNE theo diện tích tam giác ABC ta có 8 S BNE  S BGE  S NGE  S NQC  S BQC  SQBNC 3 tích khối đa diện có đỉnh M , P, Q, E, F , N A V B V C V D V Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC Gọi h chiều cao hình hộp ABCD A ' B ' C ' D '  V  h.S ABCD Thấy hình đa diện MPQEFN bát diện nên 1 VMPQEFN  2.VN PQEF  .h.S PQEF  h.S PQEF 3 1 AC; QE  PF  BD nên 2 1 V  h .S ABCD  h.S ABCD  6 Lại có: PQEF hình bình hành có PQ  EF  S PQEF  1 S ABCD Do đó: VMPQEFN  h.S PQEF https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Ví dụ minh họa 4: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P Q tâm mặt bên ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ' DAA ' D ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q B 30 C 18 Lời giải D 36 NHĨM TỐN VD – VDC A 27 Chọn B V , thì: V  VA1B1C1D1 A ' B ' C ' D '  VA '.QMA1  VB '.MNB1  VC '.PNC1  VD '.QPD1 8.9 V  4 24  V  30  Ví dụ minh họa 5: Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q, R trung NHÓM TOÁN VD – VDC Mặt  MNPQ  cắt cạnh AA', BB', CC', DD' A1 , B1 , C1 , D1 Thể tích khối đa diện cần tìm điểm cạnh AB, AD, AC , DC , BD G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC 2V B V V Lời giải C D V NHĨM TỐN VD – VDC A Chọn B NHĨM TỐN VD – VDC Gọi E trung điểm BC Gọi I giao AE với MP d  G ,  MPQR   GI 1  nên   VG MPQR  VE MPQR EI d  E ,  MPQR   3 V Gọi V1  VEMPQRN V1  V  4.VAMNP  V  V  Mặt khác MNQE hình bình hành nên EN cắt MQ trung điểm nên V VN MPQR  VE MPQR  V1  https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC V Mà VG MPQR  VE MPQR  12 Vậy VMNPQRG  VN MPQR  VG MPQR  Ví dụ minh họa 6:Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SH  2a Gọi I , J , K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S HAB , S HBC , S HCA Tính thể tích khối bát diện ABCIJK A a 3 B a3 C a3 D 4a 3 Lời giải Chọn C S S K K O I F O I J F C A C E B H M G E B Gọi G , E , F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB , HBC , HAC Suy G , E , F đối xứng với H qua AB, BC , CA Suy tam giác GEF cạnh a Gọi O trung điểm SH , theo I , J , K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp     S HAB , S HBC , S HCA nên ta có GI  EJ  FK  HO suy  IJK    ABC  Mặt khác có ABJK , ACJI hình bình hành nên IC  AJ trung điểm AJ Suy d  I ,  ABJK    d  C ,  ABJK   Vậy VABCIJK  2VC ABJK  4VC ABJ  2VSABC  a3 3 Dạng MAX- MIN THỂ TÍCH CÁC KHỐI KHI PHÂN CHIA Ví dụ minh họa 1: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC , SD M , https:/www.facebook.com/groups/toanvd NHĨM TỐN VD – VDC M G J A H Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC V V V   12 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Chọn D NHĨM TỐN VD – VDC Đặc biệt hóa ABCD A ' B ' C ' D ' thành hình lập phương có cạnh  V  216 Ta có V1  VA.MRLQ  VC TSPN  VB RMNT  VD.LSPQ  VBLQM TSPN 1 VA.MRLQ  S MRLQ d  A;  MRLQ       2.2  16 3 1 16 VD.LSPQ  S LSPQ d  D;  LSPQ    2.4  ; 3 VRLQM TSPN  S RLQM RT     2.2  48 16 V 11 Suy V1  16.2    48  88   3 V 27 NHĨM TỐN VD – VDC 1 VB RMNT  S RMNT d  B;  RMNT    2.2  ; 3 Câu 10: Cho hình hộp ABCD ABC D tích Gọi G trọng tâm tam giác ABC I  trung điểm AD Thể tích khối tứ diện GDC I  bằng: 7 A B C D 24 24 36 36 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 40 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC A' I' D' C' B' NHĨM TỐN VD – VDC K A B G D M C Qua G kẻ đường thẳng song song với AM, cắt AA’ K Khi đó: GK // AM // I’C’ GK // (DI’C’) 1  VGI C D  d  G, ( I C D)  S I C D  d  K , ( I C D)  S I C D  VKI C D 3 Và AK AG GK    AA AM AM  1 1 Ta có: S I ' KD  S ADAD  S AI K  S I DD  S KAD  S ADAD  1      S ADAD  6  12 NHĨM TỐN VD – VDC 1 Suy VGI C D  VKI C D  d  D, ( I C D)  S I ' KD  d  D, ( ADDA)  S ADAD 3 12 Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật AB  1, AD  SA vng góc với đáy SA  Gọi M , N , P chân đường cao hạ từ A lên cạnh SB , SD, DB Thể tích khối đa diện ABMNP 17 113 81 147 A B C D 130 130 130 130 Lời giải Chọn A Ta có SD  SA2  AD  13, SB  SA2  AB  10, BD  AB  AD  https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 41 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC S NHĨM TỐN VD – VDC M N B A O P D C Ta có SN SN SD SA2 SN      , 2 SD SD SD 13 SD 13 Tương tự ta có SM SA2 SM DP DA2 DP     ,     SB SB 10 SB 10 DB DB DB Ta tích khối đa diện VABMNP  VS ABD  VS AMN  VD ANP AS AB AD  +) VS AMN SM SN 9 81 81     VS AMN  VS ABD VS ABD SB.SD 10 13 130 130 +) VD ANP DN DP  SD  SN  DP   16 16    1     VD ANP  VS ABD  VD ASB DS DB  SD  DB  13  65 65 81 16  17 17    VS ABD   Vậy VABMNP  VS ABD  VS AMN  VD ANP  1  130 130  130 65  NHĨM TỐN VD – VDC +) Ta tích khối tứ diện VS ABD  Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M , N trọng tâm tam giác SAB SCD ; I trung điểm SO Biết thể tích khối chóp S ABCD 2020 , tính thể tích khối đa diện IMNABCD A 1010 B 18685 18 Chọn B https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 42 17675 18 Lời giải C D 4040 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC S M K A N D E O B F C Gọi E , F trung điểm AB, CD  MN //EF  MN //AD //BC Gọi V thể tích khối chóp S ABCD V  thể tích khối đa diện IMNABCD NHĨM TỐN VD – VDC I Ta có: V   VMNABCD  VI ADNM VMNABCD  VM ABCD  VMNCD 1 Vì M trọng tâm SAB  d  M ;  ABCD    d  S ;  ABCD    VM ABCD  V 3 Lại có d  M ;  SCD    2 d  E ;  SCD    d  A;  SCD   3 Từ suy VMNCD  VA.SCD  V 9 VI ADNM  VAMNI  VBAIN SSMN  1 1 S SEF ; S SMI  S SEO  S SEF ; S SNI  S SFO  S SEF 6 Suy S IMN  1 S SEF  VAMNI  VASEF  V 9 36 Gọi K giao điểm AN MD Vì MN  2 KM EF  AD    VDANI  VMANI  V 3 KD 24 1 1 37 18685 Vậy V   V  V  V  V  V  36 24 72 18 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 43 NHĨM TỐN VD – VDC Vì N trọng tâm SCD  S NCD  S SCD NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 45o thể tích 8a Mặt phẳng   thay đổi song song với mặt phẳng  ABCD  cắt cạnh SA, SB , SC , SD  ABCD  M , N , P, Q Biết tỉ số thể tích khối hộp MNPQ.M N PQ khối chóp cụt MNPQ ABCD A Tính chiều cao hình chóp cụt MNPQ ABCD ? a B a C a Lời giải Chọn A  x     45o , đó: SO  DO  x Ta có SD ,  ABCD   SDO x x 8a Mà VS ABCD  x    x  2a 6 Đặt MN  y h chiều cao hình chóp cụt MNPQ ABCD Suy VMNPQ.M N PQ  y h VMNPQ ABCD Theo bài: x  xy  y  h  S1  S1S2  S  h  3 VMNPQ.M N PQ VMNPQ ABCD  3y2 x  xy  y https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 44 NHĨM TỐN VD – VDC Đặt AB  x S ABCD  x DO  D a NHĨM TỐN VD – VDC M , N , P, Q Qua M , N , P, Q kẻ đường thẳng song song với nhau, cắt mặt đáy NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC  3y  4a  2ay  y  y  2ay  4a  y SO  h a    h x SO 2 Khi đó: NHĨM TỐN VD – VDC  ya Câu 14: Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành tâm O tích V Lấy điểm S ' đối xứng với S qua O Trên cạnh SA, S ' A lấy điểm M , E cho AM  2MS , AE  2ES ' Mặt phẳng   qua M song song với (ABCD) cắt cạnh SB, SC, SD N , P, Q Mặt phẳng   qua E song song với (ABCD) cắt cạnh S ' B, S ' C, S ' D F , G, H Thể tích khối đa diện có đỉnh M , N , P, Q, E, F , G, H A 4V B 2V C 4V D 4V 27 Lời giải Chọn A S P Q M C B A H E G F S' Ta có khối đa diện có đỉnh M , N , P, Q, E, F , G, H khối lăng trụ có đáy MNPQ EFGH VMNPQ EFGH S MNPQ d ( M ,( EFGH )) Do  VS ABCD S ABCD d ( S ,( ABCD )) Ta thấy MNPQ ABCD đồng dạng với theo tỷ số k  Suy S MNPQ S ABCD Mặt khác  k2  d ( M ,( EFGH )) d ( S ,( ABCD ))  2d ( M ,( ABCD )) d  S ,( ABCD )   MA   SA 3 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 45 MN SM   AB SA NHĨM TỐN VD – VDC N D NĂM HỌC 2019 – 2020 NHÓM TOÁN VD–VDC S MNPQ d ( M ,( EFGH )) 4 4V    VMNPQ EFGH  VS ABCD 9 S ABCD d ( S ,( ABCD )) Dạng MAX- MIN THỂ TÍCH CÁC KHỐI KHI PHÂN CHIA Vậy    Cho hình chóp tứ giác SABCD đáy hình bình hành,các điểm A, C  thỏa mãn SA = SA ,   V SC   SC Mặt phẳng  P  chứa A, C  cắt cạnh SB, SD B, D Đặt k= SABC D VSABCD , giá trị nhỏ k bao nhiêu? A 15 B 15 C 60 Lời giải Chọn C SA SB = a =b SA SB SC SD =c = d SC  SD  b, d  1 Ta có a  c  Áp dụng cơng thức tính nhanh tỉ lệ thể tích ta có: K= VSABC D abcd 16 = = ,với a  c  b  d  4abcd 60bd VABCD Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương b,d Ta có: 16 ≥ 60bd 16 bd  60     = 60 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 46 30 NHĨM TỐN VD – VDC Đặt D NHĨM TỐN VD – VDC Câu 1: VMNPQ EFGH NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Vậy k = Câu 2: Dấu = xảy  b  d  60 Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M , N , CD lấy hai điểm A MN PQ 3  Thể tích khối MNPQ đạt giá trị lớn CD AB V B V 16 C V 24 D V 32 Lời giải Chọn C A M NHĨM TỐN VD – VDC P, Q thỏa mãn N D B P C Gọi d1 ,  khoảng cách góc AB CD Gọi d ,  khoảng cách góc MN PQ Ta có VABCD  1 AB.CD.d1.sin  , VMNPQ  MN PQ.d sin  6 Do d1  d sin   sin   Ta có 2 VMNPQ VABCD  MN PQ AB.CD MN PQ MN PQ 3 2 CD AB CD AB VMNPQ MN PQ MN PQ MN PQ MN PQ 3 2       CD AB CD AB CD AB CD AB 24 VABCD 24 Vậy VMNPQ  V V  MaxVMNPQ  24 24 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 47 NHÓM TOÁN VD – VDC Q NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Câu 3: Trên cạnh AB, BC , CD, DA, AC BD tứ diện ABCD lấy điểm M , N , P , Q, S R Gọi V1 , V2 , V3 , V4 V thể tích khối tứ diện AMSQ, BMNR, CNPR, DPQR ABCD Giá trị nhỏ tỉ số B 256 C 64 Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC A 4096 V4 V1V2V3V4 D 1024 Chọn A A M Q D R B N S P C V1 AM AS AQ V2 BM BN BR V3 CN CP.CS V4 DQ.DR.DP  ; ; ;    V AB.AC AD V BA.BC.BD V CB.CD.CA V DA.DB.DC VV V V AM BM BN CN CP.DP DQ AQ AS CS BR.DR Suy 43  V AB BC CD DA2 AC BD V4 AB BC CD DA2 AC BD2  Do VV AM BM BN CN CP.DP DQ AQ AS.CS BR.DR 2V3V4 Ta có Tương tự ta có Từ suy AM BM  DA2 BC CD AC BD  4;  4;  4; 4; 4 BN CN CP.DP DQ AQ AS CS BR.DR V4 AB BC CD DA2 AC BD   46 VV AM BM BN CN CP.DP DQ AQ AS CS BR.DR 2V3V4 NHĨM TỐN VD – VDC AM  BM AB AB AB   AM BM    2 AM BM Dấu “=” xảy AM  BM Mặt khác, ta có Dấu “=” xảy M , N , P, Q, S R trung điểm AB, BC , CD, DA, AC BD Vậy giá trị nhỏ Câu 4: V4  4096 V1V2V3V4 Cho hình chóp S ABC có SA  , SA   ABC  Tam giác ABC vuông B AC  H , K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tìm GTLN thể tích chóp S AHK A 32 75 B 16 75 C Lời giải https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 48 24 75 D 40 75 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHÓM TỐN VD–VDC Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Gọi cạnh AB  x  BC   x Điều kiện  x  1 VS ABC  SA BC.BA  x  x 3 VS AHK SH SK SH SB SK SC SA2 SA2 256 64    2   2 VS ABC SB SC SB SC SB SC 16  x  20 16  x   VS AHK  64 128 x  x x.2  x 64 V   S ABC 15 16  x 16  x 75 16  x  VS AHK Dấu đẳng thức xảy x  16  x  x  16  x    0;  Câu 5: NHĨM TỐN VD – VDC x  16  x 64 5 x 16  x 64 32    2 75 16  x 75 16  x 75 Cho tứ diện S ABC G trọng tâm tứ diện Một mp   quay quanh AG , cắt cạnh SB , SC M N ( M , N không trùng S ) Gọi V thể tích tứ diện S ABC , V1 V thể tích tứ diện SAMN gọi m , n GTLN GTNN Hãy tính m  n V 17 18 19 A m  n  B m  n  C m  n  D m  n  18 19 20 Lời giải Chọn B https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 49 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC S G A' C A M I B +) Gọi A trọng tâm SBC , I trung điểm BC Ta có A , G , A thẳng hàng S , A , I thẳng hàng +) Đặt SM SN  x,  y với  x , y  SB SC +) Ta có: NHĨM TOÁN VD – VDC N V1 SM SN   xy V SB SC NHĨM TỐN VD – VDC +) Mặt khác: SB SC SI 1 x  2   3 y  SM SN SA x y 3x  +) Vì  y  nên ta có : +) Khi đó: f '( x )   x  V1 x2 x2  xy  ,  x 1 Xét f ( x)  V 3x  3x  3x  x  3x  1 , f '( x)   x  https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 50 NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC +) Bảng biến thiên: NHĨM TỐN VD – VDC 17 +) Từ bảng biến thiên suy ra: m  , n   m  n  18 Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi P trung điểm SC Mặt phẳng   chứa AP cắt hai cạnh SD, SB M N Gọi V  thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ số A B C V V D Lời giải Chọn B NHĨM TỐN VD – VDC Gọi O tâm hình bình hành ABCD H  SO  AP Khi ta có MN  SO  H Tam giác SAC có H trọng tâm nên    Trong tam giác SBD có SB  SD  2SO  Đặt SB  SD  SO  SB SD SO SM  SN  .SH     SM SN SH SM SN SH SB SD  x   x với x  1; 2 SM SN https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 51 SO  SH NĂM HỌC 2019 – 2020 NHĨM TỐN VD–VDC Ta có V SP SN VS AMP SM SP  S APN    VS ACD SC SD   x  VS ABC SB SC x  1        x  x  4x 3  x Vậy Câu 7: V 1 1 VS ABCD  S AMPN   VS ABCD VS APN  3  x  VS ABCD x   x  4x   x    x    V  Dấu xảy  x   x  x  Khi MN / / BD V NHĨM TỐN VD – VDC Khi VS AMP  Cho hình chóp S ABCD tích V , ABCD hình bình hành có tâm O Gọi I trung điểm SO ,  P  mặt phẳng qua I cho  P  cắt cạnh SA, SB, SC, SD điểm M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.MNPQ V V V V A B C D 12 Lời giải Chọn D SA SB SC SD ,b  ,c  ,d  SM SN SP SQ VSABD  VSBCD  V0  V ;VSMNQ  V1 ,VSNPQ  V2 Ta có kết a  c  b  d  SO 4 SI V0 V V V  a.b.d ;  c.b.d    b.d  a  c   4b   b   16 với  b  V1 V2 V1 V2 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 52 NHĨM TỐN VD – VDC Đặt a  NĂM HỌC 2019 – 2020 NHÓM TOÁN VD–VDC Mặc khác:  Câu 8: 2V VS MNPQ  16  VS MNPQ  V V Vậy giá trị nhỏ khối chóp S.MNPQ 8 NHĨM TỐN VD – VDC Do đó: V0 V0 V V V 2V 2V  2 0    V1 V2 V1 V2 V1V2 V1  V2 VS MNPQ Cho tứ diện ABCD có DA, DB , DC đơi vng góc với tích 36 , M điểm thay đổi tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với DA, DB , DC theo thứ tự cắt mặt phẳng  BCD  ,  CAD  ,  ABD  A1 , B1 , C1 Tìm thể tích lớn khối khối tứ diện MA1 B1C1 M thay đổi A B C D Lời giải Chọn D VMBCD d  M ,  BCD   MA1   VABCD AD d  A,  BCD   Tương tự  NHĨM TỐN VD – VDC Ta có VMADC MB1 VMABD MC1  ,  VABCD AD VABCD AD MA1 MB1 MC1 VMBCD VMADC VMABD      1 AD AD AD VABCD VABCD VABCD Do DA, DB , DC đôi vuông suy MA1 , MB1 , MC1 đôi vuông Như vậy: VMA1B1C1 VABCD https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 53 MA1 MB1 MC1  MA1 MB1 MC1  1       AD AD AD  AD AD AD  33 33 NHĨM TỐN VD–VDC  VMA1B1C1 VABCD  NĂM HỌC 2019 – 2020 V 36  VMA1B1C1  ABCD   3 3 3 Dấu "  " xảy M trọng tâm tam giác ABC giác ABC M trọng tâm tam NHĨM TỐN VD – VDC Vậy thể tích lớn khối khối tứ diện MA1 B1C1 NHĨM TỐN VD – VDC https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 54 ... MINH HỌA Bài tốn CHIA HÌNH CHĨP, HÌNH LĂNG TRỤ THÀNH PHẦN BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC TÍNH THỂ TÍCH MỘT TRONG HAI PHẦN HAY TỈ SỐ THỂ TÍCH https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang NHĨM TỐN VD... Lời giải Chọn A Đặt  AM AN sin DAB VS AMN S AMN AM AN Ta có  2    VS ABCD S ABCD AB AD yx AB AD.sin DAB Theo Suy Ta có AB AD 3   2x  y   x   y AM AN VS AMN  VS ABCD  ... max  Dấu xảy y  , x  V 16 16 V 16 https:/www.facebook.com/groups/toanvd Trang 12 NHĨM TỐN VD – VDC AB AD  x;  y , x, y  AM AN NHĨM TỐN VD – VDC Ví dụ minh họa 2: Cho tứ diện ABCD Hai