Đang tải... (xem toàn văn)
SỐ PHỨC Dạng toán 1 PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Tập hợp số phức Số phức (dạng đại số) z a bi ( ,a b ,i là đơn vị ảo, 2 1i ) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z Hai số phức bằng nhau , , , ,a[.]
SỐ PHỨC Dạng tốn PHÉP TỐN SỐ PHỨC Tập hợp số phức: Số phức (dạng đại số): z a bi ( a, b ,i đơn vị ảo, i2 1 ) Gọi a phần thực, b phần ảo z Hai số phức a bi a bi a, b, a, b a a, b b Cộng, trừ số phức, nhân hai số phức: a bi a bi a a b b i a bi a bi a a b b i a bi a bi aa bb ab ba i a, b, a, b Số phức liên hiệp số phức: z a bi a, b z a bi Kết z z; z z z z; zz z.z Môn đun số phức: z a bi z, b / z/ a2 b2 zz z Số phức nghịch đảo số phức z z : z1 z z z z Chia hai số phức: Phép chia z cho z 0: z.z1 Với hai số phức z a bi z a bi có: zz z zz zz z aa bb ab ab i i z a2 b2 a b2 Chú ý i2 1, i3 i2i i, i i2 i 1, , tổng quát i m 1, i m1 i, i 4m2 1, i 4m3 1 Do tính chất giao hốn, kết hợp phép nhân, tính chất phân phối phép nhân phép cộng nên phép nhân hai số phức thực theo quy tắc đa thức thông thường Tách lũy thừa bậc bao tích lũy thừa bậc thấp có : 1 i i 2i 2i; 1 i i 2i 2i Cơng thức tính tổng cấp số nhân: qn u1 u2 u3 un u1 ,q 1 q Bài toán Thực phép tính a) z 4i 2i b) z 2 5i 11 3i Giải a) Ta có: z 4i 2i 4i 2i 12 2i b) Ta có: z 2 5i 11 3i 2 11 5i 3i 13 8i Bài toán Thực phép tính: a) z 4i 5i 3i b) z 1 2i 3i 2i Giải a) Ta có: z 4i 5i 3i 10i 12i 20i2 28 21i 10i 12i 28 21i 54 19i b) Ta có: z 1 2i 3i 3 2i 4i 4i 4i 9i 6i 4i 4i 9i 3 4i 12 5i 15 i Bài toán Thực phép tính a) z 3i b) z 5i 3i Giải a) Ta có z 3i 36i 54i2 27i3 36i 54 27i 46 9i b) Ta có z 5i 3i 2i 25.i5 32i i 32i Bài tốn Thực phép tính a) z 1 i 12 b) z 1 i 2015 Giải 6 12 a) Ta có z 1 i 1 i 1 2i i 2i 64i 64 i b) Ta có z 1 i 1 i 2i i 1007 64 1 64 2015 1 i 1 i 2014 1007 1 i 1 i 1 i 2i 1007 1 i 21007 i1007 1 i 21007 i 503 i 21007 1 i i 21007 i 1 21007 1 i Bài tốn Tìm nghịch đảo số phức sau: a) z 4i b) z 3 2i Giải Ta có z.z z với z a bi thì: z.z a2 b2 z z a b2 Áp dụng: a) z 4i i z a b 25 25 25 b) z 3 2i i z a b 13 13 13 Bài toán Thực phép tính sau: A 1 i 3i B 5 6i 3i C Giải A 1 i 3i i 1 i 3i 1 1 16 50 50 2i 6i B 5 6i 5 6i 3i 39 i 3i 25 25 25 C 2i 2i 6i 11 29 i 6i 100 25 50 Bài tốn Thực phép tính: a) A 1 1 i 2i i 33 10 1 i b) B 1 i 3i 3i i 1 i Giải a) Ta có i i6 i i2 i 1 i i Nên A 1 1 1 1 1 1 i i 1 2i i 2i 2 i 2i i 1 i i 2i 2i i b) Ta có i i2 11 2 33 1 i 33 Nên i i 1 i 16 i i Và 1 i i 2i 2i Nên 1 10 2i 32i Từ tính B 13 32i 10 Bài toán Thực phép tính: T 1 i 1 i 1 i 1 i 20 Giải Dùng cơng thức tổng cấp số nhân có 21 số hạng: 1 i 1 i q21 C u1 1 q i 1 i 21 21 Ta có: 1 i i2 2i 2i Nên: 1 i 1 i 1 i 1 i 2i 1 i 210 210 i.210 21 Do đó: C 20 210 i.210 i 10 2 10 210 i Vậy C 210 210 1 i Bài toán Cho hai số phức z w Hãy phân tích thành nhân tử tập số phức: a) z2 w2 b) z4 w4 Giải a) Ta có z2 w2 z2 iw z iw z iw b) Ta có z4 w4 z2 w2 z2 w2 z2 w2 z2 iw z w z w z iw z iw Dạng toán CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC Số phức (dạng đại số): z a bi ( a, b ,i đơn vị ảo, i2 1 ) Gọi a phần thực, b phần ảo z z số thực phần ảo z z a z số ảo phần thực z z bi z số phức vừa số thực vừa số ảo z số thực z z ; z số ảo z z Số phức liện hiệp số phức: z a bi a, b z a bi Kết z z; z z z z; zz z.z Môn đun số phức: z a bi a, b z a2 b2 zz Kết z z z z zz z z ; ; z z z z Chú ý 2 1) z z2 ; z z2 z số thực 2) z với z z z 3) z z z z với z, z 4) Để kiểm tra số phức số thực hay số ảo, cách tính cụ thể phần thực, phần ảo ta tìm số phức liên hiệp so sánh Bài tốn Tìm số phức liên hiệp z z tính với: a) z 2 i b) z 2i Giải a) z 2 i nên số phức liên hiệp z 2 i môđun z a2 b2 b) z 2i nên số phức liên hiệp z 2i môđun z Bài tốn Tìm phần ảo số phức z biết z i 1 2i Giải 1 2i 2 2i 11 i 1 i 2i i 2i i Ta có z 2i Do z 2i Vậy phần ảo z 1 i Bài toán Tìm phần thực phần ảo số phức z 1 i Giải 1 i 1 i Ta có z 1 i 1 i 3 3i 9i 3i3 3i 3i 3i i 3i 3i i3 1 i 1 i 8 2i 2 2i i2 Vậy phần thực phần ảo Bài tốn Tìm mơđun số phức z biết: 2z 11 i z 1 i 2i Giải Đặt z x yi, x, y Ta có 2z 11 i z 1 i 2i x yi 1 i x yi 11 i 2i x yi 1 i x yi 1 i 2i x 2y 1 x y 1 i x y 1 x y 1 i 2i 3x 3y x y i 2i x 3 x 3y x y 2 y 1 3 Do z i Vậy môđun z Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z i Tính 1 i z z 1 Giải Đặt z a bi a, b Ta có: z i a2 b2 a bi b a 1 i z 1 a2 b2 a b a 1, b 2 b a a 2, b Với a 1, b 2 thì: 1 i z 1 i 1 2i 3i Với a 2, b thì: 1 i z 1 i 2 i 3i Bài toán Cho z 2a 1 3b 5 i với a, b Tìm số a, b để z số thực Tìm số a, b để z số ảo Giải a) z số thực 3b b b) z số ảo 2a a Bài toán Hỏi số sau số thực hau số ảo với z số phức tùy ý cho trước cho biểu thức xác định: a) z2 z b) zz z3 z Giải Ta tính số phức liên hiệp: a) z2 z z z2 z2 z Vậy z2 z b) zz zz z z z z 3 zz z z số thực zz Vậy z z số ảo Bài toán Chứng minh hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 z2 số ảo z1 z2 Giải Với điều kiện z1 z2 ta có: z1 z2 z z z z số ảo z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 Bài tốn Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) iz i b) 3i z z Giải a) Ta có: iz i iz i z 2 i 2i i Vậy z 2i b) Ta có: 3i z z 1 3i z 1 z 1 1 3i z i 3i 10 10 10 Bài tốn 10 Tìm số phức z thỏa mãn: a) z 3i z 9i b) z i z z 3i 2 Giải a) Đặt z x yi, x, y Ta có: z 3i z 9i x yi 3i x yi 9i x 3y 3x 3y i 9i x 3y x Kết z i 3x 3y y 1 b) Đặt z x yi, x, y Khi z i x y 1 i x yi x y 3 i 2 z z 3i 2 x y 1 x y 1 i ( x 2)2 y x y 3 x y 3 i 2 x y x 2 y2 x y 2 x y 1 4 x y 3 x y x 2 y2 x y 2 x y 7 y y x hay 2 y 10 y 21 497 x 497 4x 36 Vậy z 497 i 36 Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn a) z 3i 1 i b) i z Tìm môđun số phức z iz 1 2i 1 i 8i Tìm môđun số phức w z i Giải a) Ta có z 3i 1 i 3i 3i3 1 i 3i 3i 8 4 4i nên z 4 4i 1 i 1 i Do z iz 4 4i i 4 4i 4 4i 4i 8 8i Suy z iz b) Ta có i z 1 2i i z 7i z 1 i 8i i z i 8i 7i 2i 2i Do w z i 3i Kết w Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn: i Tính mơđun số phức w z z zi a) z 1 b) (1 i)(z 1) 2z 2i Tính mơđun số phức w z 2z z2 Giải a) Đặt z x yi, x, y Ta có i 5 x yi i i zi z 1 x yi 5x y 1 i i x yi 3x y x 7y i 3x y x x 7y y Do z i nên có: w z z2 i 1 i 3i Kết w 3i 13 b) Ta có 1 i z 1 2z 2i i z 1 3i z Do đó: w 1 3i i 3i z 2z i 2i 1 3i w 10 z2 i2 Bài tốn 13 Tìm số phức z thỏa mãn: a) z 1 z 3i z i zi b) z phần thực z hai lần phần ảo Giải a) Đặt z x yi với x, y Suy z1 z2 Ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 Mà z1 z2 2 1 nên z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 9 2 9 nên z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 Vậy z1 z2 3 Bài toán 18 Giả sử z1, z2 số phức thỏa mãn z12 z22 z1z2 Tính z1 z2 z1 z2 Giải Ta có z12 z22 z1z2 z1 z2 z1 z22 z1 z2 z1 z2 z12 z22 z1z2 z2 z1 z2 z12 z2 z1 z2 z1 z2 Do z1 z2 z1 z1 z2 2 3 z1 z2 z1 z2 nên z1 z2 z1 z2 Vậy z1 z2 z1 z2 Bài toán 19 Trong tất số phức z thỏa mãn z môđun nhỏ Giải Đặt z x yi x, y Khi z zz x 1 yi x x 1 y x 3 y x 2 zz ,hãy tìm số phức có Ta có z x y x x x 2 4 2 Dấu = xảy x 2 y Vậy số phức z 2 Dạng toán BIỂU DIỄN VÀ TẬP ĐIỂM Biểu diễn số phức: Số phức z x yi x, y biểu diễn điểm M(x;y) hay vectơ u x; y mặt phẳng toạ độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục hoành trục ảo trục tung Nếu z biểu diễn u z biểu diễn u z z biểu diễn u u z z biểu diễn u u Nếu z, z biểu diễn M , M z z biểu diễn OM OM , z z biểu diễn OM OM MM Nếu k số thực, z biểu diễn u kz biểu diễn ku Nếu k số thực, z biểu diễn điểm M kz biểu diễn kOM Tập điểm biểu diễn số phức: Gọi điểm M(x, y) biểu diễn số phức z x yi với x, y tìm quan hệ hồnh độ x tung độ y Các dạng phương trình: Ax By C 0, A2 B2 : đường thẳng y ax bx c : parabol đại số , dựa vào điều kiện đề để x a y b R2 : đường trịn tâm I(a,b), bán kính R x a y b R2 : hình trịn tâm I(a, b), bán kính R 2 x y2 1, a b : phương trình tắc elip a2 b2 x y2 :phương trình tắc hypebol a2 b2 y px : phương trình tắc parabol Chú ý tập điểm M MI R : đường trịn tâm I bán kính R MI MJ :trung trực đoạn IJ MF1 MF2 2a, F1F2 2c 2a : elip MF1 MF2 2a, F1F2 2c 2a : hypebol Bài toán 1: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng Oxy z 3i z 4 i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M 2;3 biểu diễn số phức z 3i Điểm M 4; 1 diễn số phức z 4 i Bài toán 2: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng z 4 z 5i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M 4; biểu diễn số phức z 4 Điểm M 0;5 diễn số phức z 5i Bài tốn 3: Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z b) z Giải a) Đặt: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z x y2 x y2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm O bán kính R = b) Đặt: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z x y2 x y2 Vậy tập hợp điểm M hình trịn tâm O, bán kính R = Bài toán 4: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z b) z z 4i Giải a) M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Giả sử: z x yi với x, y phức Ta có: z x y 1 i x y 1 x y 1 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm I 0;1 , bán kính R=1 b) Giả sử: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có z z 4i x yi x yi 4i x yi x y i x y x 3 y 2 x y x x 16 8y y x 8y 25 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x 8y 25 Bài toán 5: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả điều kiện: a) z2 số ảo b) z 1 i z Giải a) Giả sử: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có z2 x yi x y xyi Do đó: z2 số ảo x y2 x y x y x y hay x y Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng có phương trình: x y 0;x y b) Viết z x yi với x, y Ta có z i 1 i z x yi i 1 i x yi x y 1 i x y x y i x y 1 x y x y 2 x y2 2y x xy y2 x xy y2 x y2 2y Vậy tập hợp điểm M x; y ,biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 1 bán kính R Bài tốn 6: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) zi 1 zi b) 1 i z 1 i z z Giải a) Nếu z x yi x, y phức , M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Ta có zi z i z i x y 1 i x y 1 i zi x y 1 x y 1 y z số thực 2 Vậy tập hợp điểm M trục thực Ox b) Giả sử M x; y biểu diễn z x yi x, y Ta có z z x; z z 2yi Do 1 i z 1 i z z z z z z i z x 2y z x y x 1 y2 x y x y 2 x y xy x x y y 1 , x 2x Vì x y nên x 1 2x2 2x 0 x0 2x 2x Vậy tập hợp điểm M đồ thị hàm số y 1 với x 2x Bài tốn 7: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z i z z 2i b) z2 z 4 Giảỉ a) Gọi: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z z z 2i x y 1 i y 1 i x y 1 y 1 y 2 x2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z parabol y b) Gọi z x yi với x, y x2 M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức ... Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M 2;3 biểu diễn số phức z 3i Điểm M 4; 1 diễn số phức z 4 i Bài toán 2: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng z 4 z 5i Giải Trong mặt... Theo giả thi? ??t: z x y2 x y2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm O bán kính R = b) Đặt: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thi? ??t: z ... tra số phức số thực hay số ảo, ngồi cách tính cụ thể phần thực, phần ảo ta tìm số phức liên hiệp so sánh Bài tốn Tìm số phức liên hiệp z z tính với: a) z 2 i b) z 2i Giải a) z 2 i