BÀI TOÁN THAM SỐ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Phương pháp giải 1 Biện luận theo m sự có nghiệm của 2 0 ax bx c (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) Xét hệ số a Có thể có 2 khả nă[.]
BÀI TỐN THAM SỐ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Phương pháp giải Biện luận theo m có nghiệm ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) Xét hệ số a: Có thể có khả a Trường hợp a với vài giá trị m Giả sử a m m0 ta có: (*) trở thành phương trình bậc ax c ** + Nếu b với m m0 : (**) có nghiệm x c / b + Nếu b c với m m0 : (**) vô định ↔ (*) vô định + Nếu b c với m m0 : (**) vô nghiệm ↔ (*) vơ nghiệm b Trường hợp a Tính Δ ' + Tính b2 4ac Nếu : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 Nếu : Phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b b , x2 2a 2a b 2a Nếu : Phương trình vơ nghiệm + Tính ' b '2 ac với b 2b ' Nếu ' : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 Nếu ' : Phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b ' b ' , x2 a a b ' a Nếu ' : Phương trình vơ nghiệm Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm Có hai khả để phương trình bậc hai ax bx c có nghiệm: + Hoặc a 0, b + Hoặc a 0, ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm phân biệt a a Điều kiện có hai nghiệm phân biệt ' 4.Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm Điều kiện có nghiệm: a a a b ' Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép a a Điều kiện có nghiệm kép: ' Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) vô nghiệm a a Điều kiện có nghiệm: ' 7.Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm a a a Điều kiện có nghiệm: b ' 8.Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có hai nghiệm dấu ' Điều kiện có hai nghiệm dấu: c c P a P a Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dương ' c c Điều kiện có hai nghiệm dương: P P a a b b S S 0 a a 10 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm âm ' c c Điều kiện có hai nghiệm âm: P P a a b b S a S a 11.Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P a c trái dấu 12 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x x1 Cách giải: Thay x x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 bx1 c m Thay giá trị m vào (*) → x1, x2 Hoặc x2 S x1 x2 P x1 13 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: a x1 x2 b x12 x22 k c 1 n x1 x2 d x12 x22 h x13 x23 t Điều kiện chung: ' (*) b x1 x2 a S 1 Theo định lí Viet ta có: x x c P a a Trường hợp x1 x2 b x1 x2 Giải hệ a x1 , x2 x x Thay x1, x2 vào (2) → m Chọn giá trị m thỏa mãn (*) b Trường hợp x12 x22 k x1 x2 x1.x2 k Thay x1 x2 S c b x1.x2 P vào ta có: a a S 2P k Tìm giá trị m thỏa mãn (*) 1 c Trường hợp n x1 x2 nx1.x2 b nc x1 x2 Giải phương trình b nc tìm m thỏa mãn (*) d Trường hợp x12 x22 h S 2P h Giải bất phương trình S 2P h chọn m thỏa mãn (*) e e Trường hợp x13 x23 t S 3PS t Giải phương trình S3 3PS t chọn m thỏa mãn (*) 14 Tìm hai số u v biết tổng u v S tích u.v P chúng Ta có u v nghiệm phương trình: x Sx P * (Điều kiện S 4P ) Giải phương trình (*) ta tìm hai số u v cần tìm B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: m 1 x2 m 1 x m Hướng dẫn giải *) m m=1 , phương trình trở thành: -1=0( vơ lý) *) m m Ta có: b2 ac m 1 m 1 m 2m m +) Để phương trình vơ nghiệm khi: 2m2 3m 2m 1 m 1 m 1 +) Để phương trình có nghiệm kép khi: m tm 2m 3m 2m 1 m 1 m 1 ktm Đối chiếu điều kiện m +) Để phương trình hai nghiệm phân biệt khi: m 2m 3m 2m 1 m 1 m m 1 Vậy với m phương trình vơ nghiệm; m phương trình có nghiệm kép; 2 m phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 m 1 x 2m 1 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để phương trình 1 có nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có: b2 4ac m 1 2m 3 m2 2m 8m 12 m2 6m 13 m2 6m m 3 m Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Áp dụng định lý vi-ét phương trình 1 ta b x1 x a m x2 m x1 c x x 2m x1x2 2m a 1 x2 m x1 x1 m 3 2m Giả sử phương trình 1 có nghiệm x1 , thay vào phương trình 3 ta được: 3 m 3 2m m Với m x2 Vậy với m phương trình có nghiệm x1 , x2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 mx m có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x1 1 x2 1 Hướng dẫn giải Ta có: b2 4ac m m 1 m 4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m2 4m m 2 m 2 Theo ta có: x 1 x2 1 x1x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 * b x1 x a m Áp dụng định lý vi-ét ta có: Thay vào phương trình * ta được: c x x m a * m m m 23 Vậy với m thỏa mãn điều kiện toán C Bài tập tự luyện Bài 1) Cho phương trình x m 3 x 2m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 độc lập m 2) Cho phương trình x m 1 x m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 độc lập m Bài 1) Tìm m để phương trình x x m có nghiệm 2) Tìm m để phương trình x x m có hai nghiệm x1 , x2 3) Tìm m để phương trình x 2mx m2 2m có hai nghiệm phân biệt Bài 1) Cho phương trình x m x 3m2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 x2 x1 2 2) Cho phương trình x m x m2 4m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 10 3) Cho phương trình x m 1 x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 3x1x2 4) Cho phương trình x x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1 14 x1 x2 5) Cho phương trình x x m2 4m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 6) Cho phương trình x x m2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 5x1 x2 7) Cho phương trình x m 3 x m2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 3x2 12 Bài 1) Cho phương trình x m 3 x Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn biểu thức A x12 x1x2 x22 đạt giá trị nhỏ 2) Cho phương trình x ax Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn biểu thức B x12 x1 x2 x22 đạt giá trị nhỏ 3) Cho phương trình x m x m2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn biểu thức C x1 x2 x1x2 2014 đạt giá trị lớn 4) Cho phương trình x 2a 3 x a Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn biểu thức D x12 x22 3x1x2 x1 x2 1 đạt giá trị lớn Bài 5: Tìm m để phương trình x2 3x m có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Tìm m để phương trình x2 x m2 có nghiệm kép Bài 7: Tìm m để phương trình m2x2 m 1 x vô nghiệm Bài 8: Cho phương trình: x2 mx m a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x Tính giá trị biểu thức x A x2 2x1x 2 x1x x1 x Từ tìm m để A b) Tìm giá trị m để biểu thức B x12 x22 đạt giá trị nhỏ Bài 9: Cho phương trình: x2 mx m Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tính giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: B 2x1x2 x12 x22 x1x 1 ... bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép a a Điều kiện có nghiệm kép: '' Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong. .. '' 8.Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có hai nghiệm dấu '' Điều kiện có hai nghiệm dấu: c c P a... điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax bx c (trong a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P a c trái dấu 12 Tìm điều kiện tham số m