Dang bai tap chung minh don dieu

CHỨNG MINH ĐƠN ĐIỆU A Phương pháp giải Nếu   0f x  với mọi  ;x a b thì hàm số f đồng biến trên  ;a b Nếu   0f x  với mọi  ;x a b và   0f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm của  ;a b[.]

CHỨNG MINH ĐƠN ĐIỆU A Phương pháp giải Nếu f   x   với x   a;b  hàm số f đồng biến  a;b  Nếu f   x   với x   a;b  f   x   số hữu hạn điểm  a;b  hàm số đồng biến khoảng  a;b  Nếu f   x   với x   a;b  hàm số nghịch biến  a;b  Nếu f   x   với x   a;b  f   x   số hữu hạn điểm  a;b  hàm số nghịch biến khoảng  a;b  Nếu hàm số f đồng biến  a;b  liên tục nửa khoảng  a;b  ;  a;b ; đoạn  a;b  đồng biến nửa khoảng  a;b  ;  a;b ; đoạn  a;b  tương ứng Nếu hàm số f nghịch biến  a;b  liên tục nửa khoảng  a;b  ;  a;b ; đoạn  a;b  nghịch biến nửa khoảng  a;b  ;  a;b ; đoạn  a;b  tương ứng Chú ý: 1) Dấu nhị thức bậc nhất: f  x   ax  b , a  x f  x   trái dấu a b a  dấu a 2) Dấu tam thức bậc hai: f  x   ax  bx  c , a  Nếu   f  x  ln dấu với a Nếu   f  x  ln dấu với a, trừ nghiệm kép Nếu   dấu "trong trái – ngồi " x f  x  x2 x1 dấu a trái dấu a  dấu a 3) Giả sử hàm số f xác định khoảng  a;b  x0   a;b  Hàm số f gọi liên tục điểm x0 nếu: lim f  x   f  x0  Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián x  x0 đoạn điểm x0 Hàm số f liên tục khoảng  a;b  liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số f liên tục nửa khoảng  a;b liên tục khoảng  a;b  lim f  x   f  b  x b Hàm số f liên tục nửa khoảng  a;b  liên tục khoảng  a;b  lim f  x   f  a  x a  Hàm số f liên tục đoạn  a;b  liên tục khoảng  a;b  lim f  x   f  a  , x a  lim f  x   f  b  x b B Ví dụ minh họa Bài toán Chứng minh hàm số sau đồng biến b) f  x   x  cos x  sin x a) f  x   x3  x  20 x  13 Giải a) f   x   3x  12 x  20 Vì   36  20  nên f   x   với x, hàm số đồng biến  b) y   sin x  cos x  1  sin x    cos x        1  sin  x     , với x    Vậy hàm số đồng biến Bài toán Chứng minh hàm số sau nghịch biến a) f  x   x   x : b) f  x   cos x  x  Giải a) Ta có f   x   Vì x x2  1 x   x  x  x , x nên f   x   , x hàm số f nghịch biến b) f   x   2  sin x  1  với x f   x    sin x  1  x     2k  x     k , k    Hàm f  x  liên tục đoạn    k ;    k  1   f   x   khoảng  4         k ;   k  1   nên hàm số nghịch biến đoạn   Vậy hàm số nghịch biến Cách khác: Ta chứng minh hàm số f nghịch biến x1 , x2  , x1  x2  f  x1   f  x2  :        k ;    k  1   , k  Thật vậy, lấy hai số a, b cho a  x1  x2  b Ta có: f   x   2  sin x  1  với x   a;b  Vì f   x   số hữu hạn điểm khoảng  a;b  nên hàm số f nghịch biến khoảng  a;b   đpcm Bài toán Chứng minh hàm số sau đơn điệu 3 : b) y   x5  x4  x3  12 a) y  x3  x  x  Giải a) D  Ta có y  x  x    x  1  với x y   x  Vậy hàm số đồng biến b) D  Ta có y  3x  x3  x   3x  x   x Vì   16  21  nên 3x2  8x   với x Do y  với x, y   x  Vậy hàm số nghịch biến Bài toán Chứng minh hàm số: a) y  x2 đồng biến khoảng xác định x2  x2  x  b) y  nghịch biến khoảng xác định x 1 Giải a) D  \ 2 Ta có y   x  2  với x  2 Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 2   2;   b) D  \ 1 Ta có y   x2  x   x  1  với x  1 (vì     ) Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  1;   Bài toán Chứng minh hàm số: y  f  x   x3  x  3x  a) nghịch biến đoạn  3; 1 b) đồng biến nửa khoảng  ; 3  1;   Giải a) D  Ta có f   x   x  x  f   x    x  x    x  3 x  1 BBT x –3  y + –1 –  + –1 y   7 / a) Ta có f   x   khoảng  3; 1 nên f nghịch biến khoảng  3; 1 f liên tục đoạn  3; 1 nên f nghịch biến đoạn  3; 1 b) Ta có f   x   khoảng  ; 3  1;   nên f đồng biến khoảng  ; 3  1;   f liên tục nửa khoảng  ; 3  1;   nên f đồng biến nửa khoảng  ; 3  1;   Bài toán Chứng minh hàm số: y  khoảng  ; 1 1;  x đồng biến khoảng  1;1 nghịch biến  x2 Giải Tập xác định D  y  11  x   x.x 1  x  2   x2 1  x  2 y   x  1 Ta có y    x   1  x  y    x   x  1 x  Từ suy đpcm Bài tốn Chứng minh hàm số: y  sin  x  a  sin  x  b   a  b  k ; k   đơn điệu khoảng xác định Giải Hàm số gián đoạn điểm x  b  k  k   Vì y   sin  x  b  cos  x  a   sin  x  a  cos  x  b  sin  x  b  sin  b  a   (do a  b  k ) sin  x  b  Vì y  y liên tục điểm x  b  k , nên y giữ nguyên dấu khoảng xác định, hàm số đơn điệu khoảng C Bài tập tự luyện Câu 1: Hàm số sau đồng biến R? A y = x3 – 2x – B y = x2019 + x2021 – C y = -x3 + x + D y = x2018 + x2020 – Câu 2: Hàm số sau đồng biến tập xác định A y  x 1 x3 B y  x  C y  x3  x D y  x 1 Câu 3: Biết hàm số y  x    x nghịch biến tập K Hỏi tập K chứa số nguyên A B C D Câu 4: Trong hàm số sau, hàm số có khoảng đơn điệu khác so với hàm số lại? A y  x 1 x2 B y  3x  2 x C y  x 5 x2 D y  2x  2 x Câu 5: Cho hàm số sau: 201x  211 ; x2 x2  2x  (4) y  ; 2019 x  (1) y  (2) y  (5) y   2x  ; x  1222 (3) y   2x  ; x 1 1119  1117 x  2023x Trong hàm số nói có hàm số đồng biến tập xác định nó? A.1 B C D Câu 6: Cho hàm số sau: (1) y  x  2; (2) y  2016 x  1; (3) y  x x  2; (4) y  x  x; (5) y  x x  2; (6) y  x  x Trong hàm số có hàm số ln đồng biến A B Câu 7: Cho hàm số sau: C ? D (1) y  3x  2; (2) y  sin x  x; (3) y  x 2017  2018 x; (4) y  x  2010; (5) y   x  2020; (6) y   x3  x   Trong hàm số có hàm số đồng biến tập xác định chúng? A B C D Câu 8: Cho hàm số sau: 2x 1 ; x2 (3) y  x3  10 x ; (1) y  (2) y  x2 1 ; x2 (4) y  2999 x  10 x Trong hàm số có hàm có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số nguyên? A B C D Câu 9: Cho hàm số sau: x2 ; x 1 (2) y  x3  3x  2; x2 ; x5 (5) y   x3  x; (1) y  (2) y  (3) y  x3  3x ; (6) y  1999 x  2019 x Có hàm số đồng biến tập xác định hàm số trên? A B C D Câu 10: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau: x - y' + Y 0 - + - + - -1 - Hàm số y  f ( x) nghịch biến khoảng đây? A (-2; 0) B (-; -2) C (0; 2) D (0; +)  ... tục khoảng  a;b  lim f  x   f  a  , x a  lim f  x   f  b  x b B Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh hàm số sau đồng biến b) f  x   x  cos x  sin x a) f  x   x3  x  20... cos x        1  sin  x     , với x    Vậy hàm số đồng biến Bài toán Chứng minh hàm số sau nghịch biến a) f  x   x   x : b) f  x   cos x  x  Giải a) Ta có f  ... k ;   k  1   nên hàm số nghịch biến đoạn   Vậy hàm số nghịch biến Cách khác: Ta chứng minh hàm số f nghịch biến x1 , x2  , x1  x2  f  x1   f  x2  :        k ;  