CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì 0 0f x Điều kiện đủ để hàm số có cực trị c[.]
CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y f x liên tục khoảng (a;b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ;b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 : Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực đại x0 Chú ý: 1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a;b) chứa điểm x0 2) Bài tốn đơn điệu, cực trị khơng đặt ẩn phụ II Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh hàm số f x x khơng có đạo hàm x đạt cực trị điểm Giải Hàm số xác định liên tục Ta có: x x 1 x f x f x x x 1 x Do hàm số khơng có đạo hàm x BBT x y + y Vậy hàm số đạt CT 0;0 2 x x Bài toán Chứng minh hàm số f x x sin x khơng có đạo hàm x đạt cực trị điểm Giải Hàm số xác định liên tục 2 x x Ta có: f x x cos x nên lim f x 2 lim f x , f khơng có đạo hàm x x 0 x 0 BBT khoảng ; x y + y Vậy hàm số đạt cực đại x yCĐ y Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x ax 1 b x 2a b 3ab với a, b Giải D Ta có y 3x 2ax b2 a 1 b 0, a, b nên y ln ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Bảng biến thiên: x y x1 + CĐ y x2 + CT Vậy hàm số ln có cực đại cực tiểu Bài tốn Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x a x b x c với a, b, c thỏa mãn a b c Giải D y x b x c x a x c x a x b 3x a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 a b b c c a với a b c 2 Do y có nghiệm phân biệt đổi dấu lần qua nghiệm nên ln ln có cực đại cực tiểu Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: x2 m x m2 y với m xm Giải D \ m Ta có: y x 2mx 2m x m Xét hàm số g x x 2mx 2m Ta có m2 2m 0, m g m m2 2m 0, m Do y ln có hai nghiệm phân biệt khác m , y đổi dấu hai lần qua nghiệm, hàm số ln có cực đại cực tiểu x 2m 1 x m m Bài toán Chứng minh đồ thị y ln ln có cực đại, cực tiểu x m khoảng cách cực đại, cực tiểu khơng đổi Giải D \ m Ta có y x 2mx m2 x m y x 2mx m2 0, x m Vì 0, m g m 4 0, m nên đồ thị hàm số ln ln có cực đại, cực tiểu Hai cực trị A m 2; , B m 2; 2 Khoảng cách AB 16 16 : không đổi ...Vậy hàm số đạt CT 0;0 2 x x Bài toán Chứng minh hàm số f x x sin x khơng có đạo hàm x đạt cực trị điểm Giải Hàm số xác định... BBT khoảng ; x y + y Vậy hàm số đạt cực đại x yCĐ y Bài tốn Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x ax 1 b x 2a b 3ab với a, b Giải D ... thiên: x y x1 + CĐ y x2 + CT Vậy hàm số ln ln có cực đại cực tiểu Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x a x b x c với a, b, c thỏa mãn a